2022-2023学年北京延庆县姚家营中学高二数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年北京延庆县姚家营中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若命题“”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（

）①命题“”是真命题；

②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；

④命题“”是假命题.A.①③

B.②④

C.②③

D.①④参考答案：命题“”是假命题都是假命题都是真命题，选A.2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有()．A．1个

B．2个C．3个

D．4个参考答案：A略3.已知角的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角的最小正值为()A.B.

C.

D.参考答案：A4.曲线与曲线的

（

）

A、长轴长相等

B、短轴长相等

C、离心率相等

D、焦距相等参考答案：D5.已知圆x2+y2+x–6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx–y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（

）．（A）y=–x+ （B）y=–x+或y=–x+（C）y=–x+ （D）y=–x+或y=–x+参考答案：D6.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种 B．147种 C．144种 D．141种参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用；D3：计数原理的应用．【分析】由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．【解答】解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．【点评】本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．7.已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（

）

A.

B.

C.或

D.或参考答案：C8.有两个问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3人参加座谈会．则下列说法中正确的是（）A．①随机抽样法②系统抽样法 B．①分层抽样法②随机抽样法C．①系统抽样法②分层抽样法 D．①分层抽样法②系统抽样法参考答案：B【考点】收集数据的方法．【分析】简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是事先按照一定规则分成几部分；分层抽样是将总体分成几层，再抽取．【解答】解：1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，总体的个体差异较大，可采用分层抽样；从20名学生中选出3名参加座谈会，总体个数较少，可采用抽签法．故选B．9.在复平面内，复数（i为虚数单位）等于A. B. C. D.参考答案：B略10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinC=acosB+bcosA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形参考答案：C考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，解答：解：已知等式csinC=acosB+bcosA，利用正弦定理化简得：sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，∴sinC=1，∴C=90°，则△ABC为直角三角形，故选：C．点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别是1，2，3，则此球的表面积为____________参考答案：略12.设，，是单位向量，且=+，则向量，的夹角等于

.参考答案：60°13.命题“存在，使得”的否定是

.参考答案：，14.已知整数数对如下排列：，按此规律，则第个数对为__________参考答案：（5,7）15.一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为

.

参考答案：

16.一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为．参考答案：1﹣【考点】几何概型．【分析】根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件构成的区域面积，由几何概型可得P（），进而由对立事件的概率性质，可得答案．【解答】解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，边长为4的等边三角形的面积为S=×42=4，则事件构成的区域面积为S（）=3×××π×12=，由几何概型的概率公式得P（）==；P（A）=1﹣P（）=1﹣；故答案为：1﹣．17.将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率___________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，直线与曲线切于点，且与曲线切于点.

（Ⅰ）求，的值和直线的方程；

（Ⅱ）证明：参考答案：见解析：（Ⅰ），，

则，，又，.

则曲线在点处的切线方程为；

曲线在点处的切线方程为，即，

则，直线的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

设，则，由，可得，当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增，所以设，则，当且仅当时等号成立.由上可知，，且两个等号不同时成立，故.19.已知函数在与处都取得极值。（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值参考答案：列表如下：x-2（－2，－）－（－，1）1（1，2）

2f￠（x）

＋0－0＋

f（x）-6-极大值ˉ极小值-

2

20.（本题满分8分）已知的内角、、的对边分别为、、，，且（1）求角；

（2）若向量与共线，求、的值．参考答案：（1）

，即，，，解得（2）共线，。由正弦定理，得，，由余弦定理，得，②联立方程①②，得

。

21.（本小题共12分）在长方体中，，，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．

参考答案：

证明：侧面，侧面，，………3分在中，，则有，

A1，，

又平面．…………6分（2）证明：连、，连交于，

连结OE，，四边形是平行四边

………10分又平面，平面，平面．

……12分

略22.

某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题．（1）求的值及样本中男生身高在[185,195]（单位：cm）的人数．（2）假设一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高．（3）在样本中，从身高在[145,155)和[185,195]（单位：cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．参考答案：（1）由题意：，

-------------2分身高在的频率为0.1，人数为4．

------------4分（2）设样本中男生身高的平均值为，则：

---------6分，所以，估计该校全体男生的平均身高为．

---------8分（3）在样本中，身高在（单位：cm）内的男生有2人，设为B和C，身高在（单位：cm）内的男生有4人，设为D、E、F、G，从身高在和（单位：cm）内的男生中任选两人，符合古典概型