2023年全国高考数学真题汇编-导数

导数一2023年全国高考数学真题汇编

选择题(共4小题)

1.（2023•新高考H）已知函数f（x）阮r在区间（I,2）上单调递增，则a的最小值为（）

A.e2B.eC.e1D.e2

2.（2023•甲卷）曲线>=二_在点（1,且）处的切线方程为（）

'x+12

A.y=XrB.y=XrC.y=Xv+且D.y=Xx+-^-

'424424

3.（2023•甲卷）已知函数/（x）=Q-（X-1）2.记a=/（亚），b=f（近c=fCB-）,则（）

e222

A.h>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>h

4.（2023•全国）已知函数f（x）=9+苏+苫+匕在》=1处取得极小值1,贝（）

A.-1B.0C.1D.2

二.多选题（共1小题）

（多选）5.（2023•新高考II）若函数f（x）=Hnr+也•+_£-（“/（））既有极大值也有极小值，则（）

xx2

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.nc<0

三.填空题(共2小题)

6.(2023•乙卷)设“€(0,1),若函数/(x)=〃+(1+a)，在(0,+~)上单调递增，则a的取

值范围是.

7.(2023•全国)曲线y=2阮计/在(1,1)处切线方程为.

四.解答题(共9小题)

8.(2023•新高考I)已知函数/(x)=a(d+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当〃>0时，f(x)>2lna+—.

2

9.(2023•北京)设函数/(x)=x-曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程为y=-

x+1.

(I)求mb的值；

(II)设g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；

(III)求/(x)的极值点的个数.

10.(2023•甲卷)已知/(x)xE(0,―).

cosx2

(1)若。=8,讨论/(X)的单调性；

(2)若/(x)Vsin2x恒成立，求a的取值范围.

11.(2023•甲卷)己知函数f(x)=--sinx,xE(0,匹).

cosx2

(1)当4=I时，讨论/(X)的单调性；

(2)若/(x)+siar<0,求。的取值范围.

12.(2023•乙卷)己知函数/(x)=(A+a)In(1+x).

X

(1)当。=-1时，求曲线y=/a)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=/(工)关于直线对称，若存在，求a,b的值，若不存

x

在，说明理由；

(3)若f(x)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

13.(2023•乙卷)已知函数/(x)=(工+a)In(1+x).

x

(1)当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)若函数/(X)在(0,+8)单调递增，求a的取值范围.

14.(2023•天津)已知函数/(x)=(A+A)In(x+1).

x2

(1)求曲线y=/(x)在x=2处的切线斜率；

(II)当x>0时，求证：f(x)>1；

(JII)证明：—<ln(〃!)-(M+A)Inn+n^：1.

62

15.(2023•新高考H)(1)证明：当0cx<1时，x-fVsiiirCx；

(2)已知函数f(x)—cosax-In(1-x2),若x=0为/'(x)的极大值点，求a的取值范围.

16.(2023•上海)己知函数/(x)=ax3-(a+1)x2+x,g(x)=kx+m(其中a'O,k,n?6R),若

任意x@0,1]均有/(x)Wg(x),则称函数)，=g(x)是函数y=f(x)的“控制函数”，且对所

有满足条件的函数y=g(x)在x处取得的最小值记为彳(x).

(1)若a=2,g(x)=x,试判断函数y=g(x)是否为函数y=/(x)的“控制函数”，并说明

理由；

(2)若a=0,曲线y=/(x)在》=工处的切线为直线(x),证明：函数(x)为函数y

4

=f(x)的“控制函数”，并求彳(1)的值；

4

(3)若曲线y=f(x)在X=M),x()G(0,1)处的切线过点(1,0),且c€[x(),1],证明：当且

仅当C=XO或c=l时，f(c)=f(c).

导数一2023年全国高考数学真题汇编

参考答案与试题解析

一.选择题（共4小题）

1.（2023•新高考II）已知函数/（x）/nx在区间（1,2）上单调递增，则a的最小值为（）

A.e2B.eC.e'D.e-2

【答案】C

【解答】解：对函数/（x）求导可得，钎（x）=ae*」，

X

依题意，ae*」》0在（1，2）上恒成立，

X

即在（1,2）上恒成立，

xex

设g（x）T，xE（l,2），则g，（x）

xeIxe）kxe）

易知当xE(1,2)时,g‘易)<0,

则函数g（x）在（1,2）上单调递减,

则a>g(x)=g(1)=^=e-1-

JIK1A巳

故选：c.

2.（2023•甲卷）曲线_在点（1,且）处的切线方程为（

-X+12

A.y=—xB.y=—xC.y=-^x+—D.y=—x+-^-

-42-44-24

【答案】C

【解答】解：因为)，=_£_,

x+1

z=e'(x+1)-e，(x+1)'=xe'

(x+1)2(x+1)2

故函数在点（1,且）处的切线斜率4=且，

24

切线方程为丫一旦=旦（x-I）,即），=且、他.

24-44

故选：C.

3.（2023•甲卷）已知函数/（x）=Q-（XT）2.记a=f（JL）,b=f（近c=/（近），则（）

e222

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解答】解：令g(x)=-(x-1)2,则g(x)的开口向下，对称轴为x=1,

••娓l(]+V3_4；

而(V6+V3)2-42=9+6V2-16=-7>0,

.•.近_卜(1巫)避+氏4〉

.工1〉1巫，

22__

二由一元二次函数的性质可知g(迎)<g(返)，

__22

,:垣"一(1五)避用.

而(V6+V2)2-42=4V3-8<0'

.噜一1〈邛•，4(亨)〉g殍)，

综合可得g(喙)<g(除)<g(喙)，又)="为增函数，

>\a<c<hf即h>c>a.

故选：A.

4.(2023•全国)已知函数/(x)=/+以2+式+〃在兀=1处取得极小值],则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

2

【解答】解：f(x)=x^+ax+x+bf

则/(x)=3/+2or+l,

:函数f(x)=x3+or2+x+/?在x=l处取得极小值1,

.J1+a+1+b=1,解得(a=W

l3+2a+l=0lb=l

故f(x)=J？-2/+X+1,

f(x)=3x2-4x+l,

令/(x)=0,解得•或x=l,

3

/(X)在(-8,A),在(1,+8)上单调递增，在(1_,1)上单调递减，

33

故f(x)在1=1处取得极小值,

故匕=1,符合题意.

故选：C.

多选题（共1小题）

（多选）5.（2023•新高考n）若函数/（x）以计电+上（〃W0）既有极大值也有极小值，则（）

xx2

A.bc>0B.ab>0C.庐+8ac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解答】解：函数定义域为（0,+8）,

由题意，方程/(%)=0即ox2-fcv-2c=0有两个正根，设为xi,X2,

则有xi+x2=—>0.XIJQ=N£>0,A=b2+Sac>0,

aa

.\ab>0,ac<09

：.ah'ac=(rhc<0,即hc<0.

故选：BCD.

三.填空题（共2小题）

6.（2023•乙卷）设坯（0,1）,若函数/（x）=〃+（1+〃），在（0,+8）上单调递增，则a的取

值范围是1）.

2

【答案】。的取值范围是［近二L1）.

2

【解答】解：•.•函数/（x）=〃+（1+a）X在（0,+8）上单调递增，

:.f（x）=/加。+（1+a）xln（1+〃）20在（0,+°0）上恒成立，

即（1+a）x/〃（1+«）/加7,化简可得（上旦）_Ina_在（0,+8）上恒成立,

aIn（1+a）

而在（0,+8）上卢包）X>1,

a

故有——中J

由（0,1）,化简可得/〃（1+。）^ln—f

In(1+a)a

即-12o,

a

解答告《a〈l，

故。的取值范围是［V5-11).

2

故答案为：［运11,1).

2

7.(2023•全国)曲线y=2勿x+x2在(1,1)处切线方程为v=4x-3

【答案】y=4x-3.

【解答】解：由)，=2/3+，可得y'=—+2X，x>0,

x

曲线在点(1,1)处的切线斜率为&=4,

所以所求切线方程为y-1=4(x-1)即y=4x-3.

故答案为：y—4x-3.

四.解答题(共9小题)

8.(2023•新高考I)已知函数/(x)=a(e'+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(%)>2lna+l.

2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)f(x)=a(/+a)-x,

则/(x)=aex-1,

①当。W0时，f(x)V0恒成立，f(x)在R上单调递减，

②当。>0时，令/(%)=0得，x=11r

a

当工E(-°°,In—)时，f(x)<0,f(x)单调递减；当xEUn—,+°°)时，f(x)>0,f(x)

aa

单调递增，

综上所述，当aWO时，/(X)在R上单调递减；当〃>0时，/(X)在(-8,妨工)上单调递减,

a

在Un—f+8)上单调递增.

a

2

证明：(2)由(1)可知，当。>0时，f(x)min=f(In—)=a(1+。)-ln—=\+a+lnaf

aaa

要证f(x)>2lna+—,只需证1+〃2+/〃4>2松+旦，

22

只需证a2-lna-1->6

2

设g(a)=a-lna-^-.«>0.

2

则g'(a)=2a--=a,

aa

令g，(a)=0得，

2

当花(0,LL)时，g'(a)<0,g(〃)单调递减，当(乂2,+8)时，£(a)>0,g(a)

22

单调递增，

所以g(a)2g(^-^)=—_i-—=-

22irr222

即g(a)>0,

所以a2Tna-/〉。得证，

即/G)>2打〃+3得证.

2

9.(2023•北京)设函数/(x)叫曲线尸/⑴在点(1,/(1))处的切线方程为y=-

x+1.

(I)求a,b的值；

(H)设g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；

(III)求f(X)的极值点的个数.

【答案】(I)a=-1,b=\.

(II)在(-8,o)和(3-M，3+我)上单调递增，在(0,3-V3)和(3+愿，+8)上

单调递减；

(III)3个极值点.

【解答】解：(I)因为函数/(x)

所以/(x)=1-(3/6。""+加才状”=1-(3+ax)*/户外

因为/'(X)在点(1,/(I))处的切线方程为y=-x+1,

所以「⑴=°,即［卜产=。

a4b

If'(1)=-1l-(3+a)e=-l

解得a=-1,b=l.

(II)由(I)知，/(x)=x-x3©二计1所以/(%)=1-(3/-/)/"1,

所以g(x)=/(x)=1-Ox2-x3)/户1

所以g'(x)=-(6x-3?)一户1+(3x2-?)/户1=-x(?-6x+6)/户】，

令g'(x)=0,解得x=0或x=3土百，

所以/(x)与g(x)的关系列表如下：

X(-0(0,3-3-V3(3-3+V3(3+V3，

V3)V3.

3+V3)

g'(x)

g(x)单单调递减单调递增单调递减

增

所以g（x）在区间（-8,0）和（3-45,3+V3）上单调递增，在区间（0,3-近）和（3+禽,

+8）上单调递减；

（III）由（II）知，当xe（-8,0）时，/（X）单调递增，

当X<-1时，/'（x）<f（-1）=1-4e2<0,，（0）=1>0,

所以存在xi€（-8,o）,使得/Cxi）=0,

又因为/（x）在（-8,xi）上单调递减，在（xi,0）上单调递增，

所以XI是/（X）的一个极小值点；

当xe（0,3-百）时，，（x）单调递减，且/（3-73）</（1）=1-2<0,

所以存在X2C（0,3-愿），使得/（A2）=0,所以/（x）在（0,X2）上单调递增，在（X2,3

-V3）上单调递减，

所以X2是/（X）的一个极大值点；

当xe（3-通，3）时，f（x）单调递增，

又因为/（3）=1>0,所以存在X36（3-V3，3）,使得/（X3）=0,

所以/（x）在（3-我，%3）上单调递减，（与，3）上单调递增，

所以X3是/（X）的一个极小值点，

又因为当x>3时，/（x）>0,所以/（X）在（3,+8）上单调递增，无极值点；

综上，/（x）在定义域R上有3个极值点.

10.（2023•甲卷）已知=℃-巨号一，%e（0,A）.

cosX

（1）若4=8,讨论/（X）的单调性；

（2）若/（x）<sin2x恒成立，求。的取值范围.

【答案】（1）当OVxV三时，于（x）单调递增；当匹VxV匹时，/（x）单调递减;

(2)(-8,3].

【解答】解：(1)已知/"(X)=ox-sinx，函数定义域为(0,21),

39

cosx乙

若〃=8,此时/(x)=8x-sinx,

cosx

32

可得,(X)=8_cosx-cosx+sinx/3cocx'sinx

6

cosx

_(4COS2X+3)(2COS2X-1)

---------------------------,

4

COSX

因为4cos2X+3>0,COS4X>0,

所以当cosx>*2,即0VKV»ZL时，f(x)>0,f(x)单调递增；

24

当cosxV义工，即-ZLvxvE』寸，f(x)<0,f(x)单调递减；

242

(2)不妨设g(x)=or-si*_sin2x,函数定义域为(0,—),

39

COSX乙

2

/(x)=a-3-2c°sx_2cos2x=。-3-2c°sx_2(2cosx-1),

44

COSXCOSX

令COS2*=30<r<1,

此时g'Ct)=a+2-4/4-2.__3_；

tt2

不妨令k(r)=a+2-4r+--W-,

tt2

可得k'(r)=-4-2+_§_=-,2(T)(2j+2t+3)->O,

所以无(r)单调递增，

此时“(r)<jt(1)=a-3,

①当aW3时，g'(x)=k(f)<a-3W0,

所以g(x)在(0,21)上单调递减，

2

此时g(x)<g(0)=0,

则当。<3时，f(x)Vsin2x恒成立，符合题意；

②当43时，

当1-0时，2-2=-3(A-A)2+A--8,

tt2t33

所以k(/)-—8,

又k(1)=〃-3>0,

所以在区间(0,1)上存在一点m,使得左(«))=0,

即存在xo€(0,-2L),使得g'(xo)=0,

2

当ZO<Z<1时，k(力>0,

所以当0<X<J«)时，g'(x)>0.g(x)单调递增，

可得当0<》<次时，g(x)>g(0)=0,不符合题意，

综上，a的取值范围为(-8,3].

11.(2023•甲卷)已知函数/(x)=-—-s/xxE(0,

cosx2

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)+sinx<0,求〃的取值范围.

【答案】(1)/1)在(0,2L)上单调递减；(2)(-8,0].

2

【解答】解：(1)当。=1时，/(x)=X-s/j,xC(0，三>

cosx2

./(x)=[‘osxcos'x-Zcosx(-sinx)sinx

cosx

2,.23.2

cosx+2osinx=cosx+c。sx-2o

cos3xcos3x

7T

令'=(:08^,(0,(0，1)'

/.cos3x+cos2x-2=P+?-2

=(t-1)(?+2r+2)=(t-1)[(r+1)2+l]<0,

又cos3x=/3>0,

=cos%+cos』x-2=(t-1)(t：+2t+2)

(x)<0,

：.f(x)在(0,2L)上单调递减；

2

snx,xE

(2)设g(x)=f(x)+sirLr=ax^+sinx(。，

cos^x2

.2

则g,(x)二a」$1；*+cosx，xE(0，?)'

COSX/

2sinxcoS4X+3(1+sin2x)cos2xsinx.一八

g(x);------------------g----------------sinx、u,

cosx

・・・/(x)在(0,―)上单调递减，

2

若g(x)=f(x)+sinx<0,又g(0)=0,贝ijg'(0)=a-1+1^0,：.a^0,

当a=0时，sinx-=sinx(1-------A

cosxcosx

又xW(0,/.0<sinx<l,0<cosx<l,----------->1，

2cos2x

f(x)+sinx=sinx—0，满足题意；

cosx

当。<0时，VxG(0,2L),：.ax<09

2

.*./(x)+sinx=axsinx+sinx<sinxVsinx_sinx.〈0,满足题意；

cosxcosx

综合可得：若/(x)+sinx〈0,则〃W0,

所以a的取值范围为(-8,0J.

12.(2023•乙卷)已知函数/(x)=(!+。)In(1+x).

x

(1)当〃=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)是否存在a,6使得曲线>=/(▲)关于直线x=〃对称，若存在，求a,b的值，若不存

x

在，说明理由；

(3)若f(x)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

【答案】(1)y=-/〃2(x-1)；(2)a=工，匕=」；(3)(0,A).

222

【解答】解：(1)a=-I时，/(I)=0,

f'(x)=—In(x+1)+(A-1)(—^),f(1)=-Ini,

x?xx+1

・・・曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程为y=-历2(x-1).

(2)f(A)=(x+a)In(311),定义域为(-8,-1)U(0,+«>),

XX

要使函数/(上)的图像关于x=6对称，则由XW0,且xw-l,可知人=」，

x2

即/(上)=(x+a)/〃(三包)的图像关于x=」对称，

xx2

则/(I)=(1+a)ln2,/(-2)=(-2+a)%=(2-a)ln2,

得l+a=2-a,解得

2

综上，a=工，b—」；

22

(3)f(x)=」/〃(x+1)+(A+a)=^-L[ln(x+1)-ax+x],

22

xxx+1xx+1

2a

要使fG)在(0,+8)存在极值点，则方程历(x+1)・&X+x,=。有正根,

x+1

2

记g(x)=ln(x+1)-x-,x>0,g'(x)=-------~~-X(ax+2a-l)'

x+1(l+x)?

①当aWO时，g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增，g(x)>g(0)=0,不符合

题意；

②当时，g'(x)<0,故g(x)在(0,+8)上单调递减，g(x)<g(0)=0,不符合

2

题意；

③当0<4<工时，令屋(x)<0,0<x<-~^令g'(x)>0,x>-l2a,

2aa

故g(x)在(0,上&_)上单调递减，在（上至，+8）上单调递增,

aa

故g(x)在工=1一22时,取得最小值，令相(x)=1-x+lnx(0<x<l),则机'(x)=-"1>

ax

0,

函数(x)在定义域内单调递增，m(x)<m(1)=0,

据此可得17+阮cVO恒成立，

则g'(lz2a)=1-2。+伍2。<0,

a

2

令人(x)=lnx-x2+x(x>0),则(x)="2x+x+1,

x

当(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

当(1,+°°)时，hr(x)<0,h(x)单调递减，

故h(x)Wh(1)=0,即依rWx2-x(取等条件为x=l),

所以g'(x)=2ax-In(x+1)>2ax-[(x+1)2-(x+1)]=2ax-(Phx),

g’(2a-\)>2a(2«-1)-[(2〃-1)2+(2〃-1)]=0,且注意到g'(0)=0,

根据零点存在性定理可知：g'(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点刈，

当联(0,xo)时，g'(x)<0,g(x)单调减，

当xE(刈，+8)时，gf(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(%o)<g(0)=0,

令n(x)=lnx-^/x»贝(x)=—-----1_=2-Vxy

则函数”(x)在(0,4)上单调递增，在(4,+8)上单调递减，

所以〃(x)W”(4)=加4-2,所以/以〈。彳，

所以g(-4..)—(-4-+1)[(a(-4一+1)-In(-4-+1)-~-2(/+1]

22224,

aaaa—+1

a

>(-^-+1)|(A+«-In(_A+1)+«-1-2a+l]

2o2

a"a

所以函数g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点，符合题意；

综合上面可知：实数。得取值范围是(0,.1).

2

13.(2023•乙卷)已知函数/(x)=(A+a)In(1+x).

x

(1)当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)若函数/GO在(0,+8)单调递增，求a的取值范围.

【答案】(1)(加2)x+y-/n2=0；

⑵[1.叼

【解答】解：(1)当〃=-1时，

则f(x)=(A-1)In(1+x),

x

求导可得，f(x)=一yin(1+x)+(―-1)

X/Xx+1

当x=l时，/(I)=0,

当x=1时，/(1)=-ln2,

故曲线y=/(x)在点(1,/(l))处的切线方程为：y-0=-/〃2(x-1),即(加2)x+y-ln2=0；

(2)f(x)=(工+a)In(1+x),

x

则/(工)=(y)In(x+1)+(—+a)*—

VNXx+l

函数/(X)在(0,+8)单调递增，

则(一、)如(x+1)+(工+a)•—^―》0，化简整理可得，-(x+1)G+1)+X+O¥220,

2

xxx+1

令g(x)=ax1+x-(x+1)In(x+1)(x>0),

求导可得，g'(x)=2ax-In(x+1),

当时，

则2orW0,In(x+1)>0,

故p(x)<0,即g(x)在区间(0,+8)上单调递减，

g(x)<g(0)=0,不符合题意，

令m(x)=g'(无)=2奴-加(1+1),

则加(x)=2a-——,

x+1

当4W，即2Q21时，

—-—<],ni(x)>0,

x+1

故m(x)在区间(0,+8)上单调递增，即/(X)在区间(0,+8)上单调递增，

所以戈(x)>g'(0)=0,g(x)在区间(0,+8)上单调递增，

g(x)>g(0)=0,符合题意，

当0V〃V』时，令/(x)=Oo-——=0,解得x=—L.i，

2x+12a

当犬6(0,时，ni(x)<0,m(x)在区间(0,1一_])上单调递减，即g，(x)单调递

2a2a

减，

g'(0)=0,

当xe(0,J__])时，g'(%)<g'(o)=0,g(%)单调递减,

2a

•:g(0)=0,

・••当xW(0,2」_])时，g(%)<g(0)=0,不符合题意,

2a

综上所述，a的取值范围为［a,-KO).

14.(2023•天津)已知函数/(x)=(1+_1)In(x+1).

x2

(I)求曲线y=/G)在尤=2处的切线斜率；

(II)当x>0时，求证：f(x)>1；

(Ill)证明：—<ln("!)-(«+—)

62

【答案】(I)工上运；(H)证明过程见解答；(IID证明过程见解答.

34

【解答】解：(I)对函数f(x)求导，可得，(X)=—/J"一lln(x+l)，

2

2x(x+1)x

则曲线(x)在x=2处的切线斜率为/(2)

34

(II)证明：当x>0时，/(x)>1,即年三1n(x+1)>1/即g(x)=ln(x+1)—^

2xx+2

2

而((x)=------------>0,g(x)在(0，+°0)上单调递增，

(x+1)(x+2)2

因此g(x)>g(0)=0,原不等式得证；

(IIP证明：设数列｛〃”｝的前〃项和%=ln(n!)-(n蒋)lnn+n，

则G=S1=1;

当"》2时，an=Sn-Sn-l=l+(nT)ln^=l-(-4-4)ln(l^T)=l-f(；)，

nnni2n]2n-1n-1

n-l

由(2),〃〃V0(〃22),

故S〃WSi=l,不等式右边得证；

11

rn1li

要证|<Sn，只需证：对任意的心2,£(-ak)=r(f(zT)-1)《春，

6k=2k=2『16

2

令h(x)=ln(x+l)-少:誉则h'(x)=广~~2'

2(x+l)2(x+l)2

当x>0时，h'(x)<0,函数力(x)在(0,+°°)上单调递减,

x(x+2)

则h(x)<0,即In(x+1)<

2(x+l)

则f(x)-l〈等x(x+2)

2(x+l)14(x+1)4

因此当上22时,-i<——±——<-----±-----

fk-14(k-l)24(k-l)2-l22k-32k-l

当时，累加得

五(-ak)=£(f(S)-1)<7]+(尹会+…+(吉为

oo

又-a9=f(l)-l^-ln2-l<-^-X0.694-1=0.041

乙//

・1-0.693)-1=0.0175*

nn1-I

故£(-ak)=-a2-a3+S(-aQR.041+0.0175七方二0.1585即得证•

k=2k=4iUb

15.(2023•新高考II)(1)证明：当OVxVl时，x-x2<sinr<x；

(2)已知函数/'(x)=cosax-In(1-x2),若x=0为/(x)的极大值点，求Q的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：设g(x)=x-?-sinx,xG(0,1),

贝！Jg'(x)=1-2x-cosx,:・g"(x)=-2+sinxVO,

：.gr(x)在(0,1)上单调递减,

：.gr(x)<g'(0)=0,

：.g(x)在(0,1)上单调递减，

:.g(x)<g(0)=0,

B|Jx--sinx<0,xE(0,1),

**.x-x2<sinx,xE(0,1),

设力(x)=x-sinx,xE(0,1),

则h'(x)=1-cosx>0,

：.h(x)在(0,1)上单调递增,

：.h(x)>h(0)=0,xG(0,1),

BPx-sinx>0,xE(0,1),

sinx<x,xE(0,1),

综合可得：当0<x<l时，x-/<sinr〈x；

2

22+2

(2)解：'：f(x)=-asinax+.-2%,：.f"(x)=-acosax+-^—,

1-x2(1-x2)2

且/(0)=0,f(0)=-6Z2+2,

①若/(0)=2-/>(),即~\历<&</5时，

易知存在fl>0,使得(0,八)时，f"(x)>0,

：.f(x)在(0,fi)上单调递增，：.f(x)>f(0)=0,

•V(x)在(0,")上单调递增，这显然与尤=0为函数的极大值点相矛盾，故舍去;

②若f"(0)=2-/<(),即或时，

存在Z2>0,使得x€(-(2,12)时，f(x)<0,

：.f(x)在(-⑵f2)上单调递减，又/(0)=0,

...当-r2cx<0时，f(x)>0,f(x)单调递增；

当OVxVa时，f'(x)<0,/(x)单调递减，满足x=0为/(x)的极大值点，符合题意；

③若尸(0)=2-42=0,即〃=±&时，・./(X)为偶函数，

...只考虑。=加的情况，

此时f'(x)=-V2sin(V2x)+-^7>友(0,1)时，

1-x

f'(X)>-2x+-^7=2x(-^y-1)>0>

]-x，1-X

：.f(x)在(0,1)上单调递增，与显然与x=0为函数的极大值点相矛盾，故舍去.

综合可得：a的取值范围