2023年新高考数学一模试题汇编02 函数性质及其应用（解析版）

专题02函数性质及其应用

一、单选题

1.(2023・福建•统考一模)设α=log58,b=213,c=0.713,则“，b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解.

【详解】因为1=log55<log58<logs25=2,所以1<α<2,

因为213>21=2,所以b>2,又因为0<0.7L3<0.7。=1,所以0<c<l,

所以C<a<b,

故选：D.

2.(2023•山东临沂・统考一模)已知IX=C)Jogiy=√x,x=logzz>则()

A.X<y<zB.y<X<zC.z<x<yD.z<y<x

【答案】B

【分析】构造/(x)=X—©)",由零点存在定理求得零点X的范围，即可结合指数函数、塞函数的性质比

较，=ɑ),y~G)二z~"的大小,

【详解】令/(χ)=X-Cy，则(0)在R上单调递增，

由/^(1)>0,fg)<0,则XeG,1)时/"(x)=0,即K=G)，而log。=五=>y=

Vx<√x,

∙∙∙χ-y=θC)”>C)=X>y∙

X=IogxZ=Z=X0=X.

综上：y<X<z.

故选：B.

3.(2023•山东潍坊♦统考一模)存在函数f(x)满足：对任意％∈R都有()

A./(∣x∣)=%3B./(sinx)=x2C./(x2+2x)=∣x∣D./(∣x∣)=x2+1

【答案】D

【分析】根据函数的定义∙•判断各选项中函数是否符合，即可判断出答案.

【详解】对于A,当％=1时，/(∣1∣)=/(1)=1；当％=-1时，/(∣-1∣)=/(1)=-1,

不符合函数定义，A错误；

对于B,令％=0,贝IJf(Sirι%)=/(0)=0,令%=π,则/(sin兀)=/(O)=π2,

不符合函数定义，B错误；

对于C,令X=O,则f(0)=0,令久=一2,则/(0)=f((-2)2+2(-2))=2,

不符合函数定义，C错误：

对于D,f(∣x∣)="+1=+ι,χeR,则阳工0,则存在X≥0时，/(χ)=X2+1,

符合函数定义，即存在函数f(x)=/+I,。≥0)满足：对任意XeR都有/(I0)=∕+ι,D正确,

故选：D

4.(2023•山东威海•统考一模)若函数f(x)=InX与g(x)=ax-l(α>0)的图像有且仅有一个交点,则关

于尤的不等式fG-3)<a-3xτ的解集为()

A.(-∞,4)B.(4,+8)C.(3,4)D.(3,5)

【答案】C

【分析】将条件f(x)与g(x)只有1个交点转换为函数∕ι(x)=Inx-ax+1只有1个零点，参数分离求出a,

再构造函数k(x)=In(X-3)+3xτ-1,利用其单调性求解即可.

【详解】/(X)与g(x)只有1个交点等价于函数∕ι(x)=InX-ax+1只有1个零点，

即a=*1l只有1个解，

X

令P(X)=W则p'(x)=要,p,(l)=0,

当0<xVl时，p'(%)>0,P(X)单调递增,当x>l时，p'(x)<0,p(x)单调递减，并且P(X)>0,

所以P(X)max=P(I)=1，p(e^2)<0，函数Pa)的大致图像如下图:

Va>0,ʌa=1,原不等式为：ln(x—3)<1—3x^4,即In(X—3)÷3x^4—1<0,

令k(x)=E(x-3)+3A4-i,显然仪工)在％>3时是增函数，又k(4)=0,

・•.k(x)<0的解集是3<%<4.

故选：C.

5.(2023•山东临沂・统考一模)已知集合A=[x∖(∣)x<1],B=[xIInX>0},则下列集合为空集的是()

A.A∩(CRB)B.(CR4)CiBC.AnBD.(CRA)C(CRB)

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合48,然后利用集合的运算逐项进行判断即可求

解.

【详解】集合4={x∣(∣)x<1}={x∣x>0},集合B={x∣lnx>0]=[x∖x>1},

所以CRB={x∖x<1},CRA={x∣x≤0},

对于A,A∩(CRB)={x∣0<X≤1},故选项A不满足题意：

对于B,(CRmnB=0,故选项B满足题意；

对于C,A∩B=(x]x>1),故选项C不满足题意；

对于D,(Cfiλ)∩(CRB)=(X∣X≤0),故选项D不满足题意,

故选：B.

6.(2023•山东日照•统考一模)已知x>0,y>0,设命题p：2工+2〉≥4,命题q：Xy≥1,则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】取特值，x=∣,y=2,满足2%+2y≥4,不满足xy≥l;运用基本不等式得1≤xyW(等丫，

即x+y>2,由指数函数的单调性得2>y≥22=4,运用基本不等式和充分必要条件的定义判断可得选项.

【详解】解：当X=T,y=2时12三+2?≥4满足2*+2丫24,但Xy=TX2=：<1,不满足久y≥l,所

以P不是q的充分条件；

当Xy≥1,X>0,y>0时，1≤%y≤(号)»即x+y≥2,当且仅当％=y时取等号，所以2%+'≥22=4,

即/['N*又442x∙2'≤(H∕)2,当且仅当X=y时取等号，

解得2'+2'≥4,所以P是q的必要条件，

因此，P是q的必要不充分条件.

故选：B.

7.(2023•湖南岳阳•统考一模)已知集合4={x∣log2%<1}，B=[x∖x>1),则力UB=()

A.(1,2)B.(0,2)C.(0,+8)D.R

【答案】C

【分析】先解不等式log2X<1，即0<x<2,再根据并集的运算求解即可.

【详解】因为log2%<1=log22,

所以0V%<2,即A={%∣0V%<2},

又B={x∖x>1},

所以AUB={"x>0},

故选：C

8.（2023•湖南岳阳•统考一模）已知正实数X,），满足x+y=l,则下列不等式恒成立的是（）

A.X2+y2≥yB.xxyy≤xyyxC.xx∙yy≤∣D.yx-xy

【答案】D

【分析】利用特殊值判断AC,利用不等式性质及指数函数单调性判断B,根据排除法判断D.

【详解】取X=y=；，则/+y2=：+；=；≥£不成立，故A错误；

24422

由募=（》工一乙当l>χ>y>。时，］>l,χ—y>0,所以©尸一〃>（令°=1，

x

即/yV>χyy9故B错误；

取X=Iy=I时，/∙"=（J（Iy=GXJ=（裁，≡⅛'>Q）3=?

所以户∙yy>（故C错误;

由ABC错误，排除法知，故D正确.

故选：D

9.（2023•湖南长沙•统考一模）已知Q=Iog2l∙8,b=log43.6,c=5则（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质可得α=log“.82,即可得出α-b=l0g4穿<0,则α<R又α>log2√2=c,

3.6

即可得出b>a>c.

2

【详解】a=log2l.8=Iog41.8,

［只2

所以Q—b=log1.82—log3.6=log^-<IogI=0,所以Q<b.

4443.64

a=log2l.8>log2V2=∣=c,所以α>c.

所以有b>a>c.

故选：C.

10.（2023・广东深圳•统考一模）己知/（无）为奇函数，且x<0时，f（x）=ex,则/（e）=（）

A.eeB.-eeC.e-eD.-e^e

【答案】D

【分析】由奇函数性质及解析式求解即可.

【详解】f（x）为奇函数，且X<0时，/（x）=ex,∕∙（e）=-/（-e）=-ee.

故选：D

ɪɪ.(2023•江苏南通♦统考一模)已知函数/(x)的定义域为R,且/(2x+l)为偶函数，/(x)=/(x+1)-

f(x+2),若/(1)=2,则/(18)=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【分析】设/(x)=2SingX+》，满足题意，即可求解.

【详解】因为/(2x+l)为偶函数，所以/(2x+l)=∕(-2x+l),

则/(%)关于X=1对称，

设/(%)=2sin(∣x÷0,

/(1)=2sin(：+；)=2,关于X=1对称，/(x)÷/(x÷2)=2sinCX+：)+2sinL(x÷2)+

=2[sin(∣x+^+singx+∣π)]

ππ,兀.n,.Tr5π,π5πlCπ

sɪn-XCos-+cos-xsιn-÷sɪn-Xcos—Fcos-xsιn—=2cos-X.

[36363636J3

/(%÷1)=2sin(1+：)=2cos∣x,：,f(x÷1)=/(x)+f[x÷2),

即/(x)=2sinɑπx+J满足条件,/(18)=2sin(6兀÷ŋ=1.

故选:A.

12.(2023•重庆・统考一模)已知函数/(x)=∣αx3+x2+x+4,则“a≥0”是“/(x)在R上单调递增”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】求得/(x)在R上单调递增的充要条件即可判断.

[详解】由题/'(%)=ax2+2x+1

若/(x)在R上单调递增，则f'(x)≥。恒成立，[λ：>2/C即a≥1，

IA=4-4QSU

故“a≥0”是“/(x)在R上单调递增”的必要不充分条件

故选:C.

二、多选题

13.(2023•山东临沂•统考一模)已知If(X)=%3g(χ)为定义在R上的偶函数，则函数g(χ)的解析式可以为()

A.5(x)=ɪg-B.g{x^)=3x-3-x

C.g(x)=T+*D.5(x)=ln(√x2+1+x)

【答案】BD

【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断.

【详解】因为/(χ)=χ3g(χ)是偶函数，所以/"(-x)=f(x),即g(-χ)=-g(χ),所以g(χ)是奇函数.

对于A,定义域为所以不满足题意；

对于B,定义域为R,g(-χ)=3~x-3x=-g(χ)＞符合题意；

对于C,定义域为R,g(-χ)=：+'n=1+总=I-*τ≠-g(χ),不符合题意；

对于D,定义域为R,g(—x)=ln(Vx2+1—x),而g(—x)+g(x)=ln(Vx2+1—x)+ln(√x2+1+x)=O,

符合题意.

故选：BD.

14.(2023•山东威海•统考一模)已知函数/(x)及其导函数r(X)的定义域均为R,记g(x)=∕,(x),若/(X+2)

为偶函数，g(x)为奇函数，则()

A./(χ)=/(4-x)B.g(χ)=-g(4-x)

c./(x)=-f(x+4)D.g(x)=g(x+4)

【答案】ABD

【分析】对于ABD,利用已知条件与复合函数的求导法则，结合f(x+2)与g(x)的奇偶性，逐一分析判断

即可；对于C,举反例排除即可.

【详解】对于A,因为f(x+2)为偶函数，所以f(2-x)=∕(2+x),

所以/(x)=/(4-X),故A正确；

对于B,因为f(x)=f(4—x),左右两侧分别取导数可得,尸(X)=-Jf(4—x),

所以g(x)=-g(4τ),故B正确：

对于D,因为g(x)=-g(4-%),又g(x)为奇函数，则g(x)=-g(-x),

所以一g(r)=-g(4-X),即g(-X)=g(4-x),贝!Jg(X)=g(x+4),故D正确；

对于C,令f(x)=cosπx,则f(x+2)=cosπ(x+2)=cos(πx+2π)=cosπx为偶函数,g(x)=∕,(x)=

-sin也为奇函数，满足题干，

当X=I,时，/(1)=cosπ=—1,/(x+4)=cos5π=cosπ=—1.

所以f(l)κ-∕(l+4),即存在x=l,使得/(X)=-f(x+4)不成立，故C错误.

故选：ABD.

15.(2023・湖南长沙•统考一模)已知函数y=程与y=H相交于A,B两点，与y=Inx相交于C,。两点，

若A,B,C,£)四点的横坐标分别为巧，X2,X3,x4f且％3<%4，则()

ʌ.ɪɪ+%2=OB.%3久4=1

xι

C.x1lnx3=1D.x4e=1

【答案】ABD

x

【分析】根据e"ι=lm⅛=上斗分别代入一%i，工即可判断A,B,根据y=二，y-∖nχfy=e关于

直线y=x的对称，因此可知4C对称，8,D对称，即可根据对称性判断CD.

【详解】由题意可知与是方程铲==的一个根，则e%=",将一Xi代入得e-巧=F=5，所以

X—1Xj-I-XJ-IX^-rl

一九1也是方程e*=二的一个根，所以一Xl=不，故%1+%2=0，故A正确，

X-I

2_+1

由题意可知巧是方程InX=N的一个根，则InX3=J，则In上=TnX3=一串=帛一，所以上也是方

X-l%3—ɪK3%3—ɪ~,ɪ*3

×3

程Inx==∙的一个根，所以上=%4，故%3%4=1，故B正确，

工一1×3

设点P(%o,yo)在函数y=E上，则满足Vo=即y0%o-Yo-％o-1=0点PoO，Yo)关于直线V=%的对

X—1XQ-I

称点为P'(yo,%o),将P'(yo,χo)代入y=引得XO=”■，即可y0χo-yO-Xo-I=°，因此可知P'(y°,Ko)在

函数y=言上，即y=言关于直线y=%的对称，又y=lnx,y=e”关于直线y=%的对称，因此可知4C

对称，B,。对称，

故户=乃=ɪnɪɜ和产==ln⅞,

X12

(%3=%=e(χ4=y2=eɪ

e1

所以e”〔=X3=—,X4^=1，故D正确，

x4

由于Xi=lnx3.Xi≠±1，故C错误，

A./(SinX)是周期函数B.函数f(x)在定义域上是单调递增函数

C.函数y=/(%)—2是偶函数D.函数f(x)的图象关于点(0,2)对称

【答案】ABD

【分析】根据正弦函数周期判断A,由指数函数、反比例函数的单调性判断B,根据奇偶性定义判断C,

由函数中心对称充要条件判断D.

【详解】令g(x)=f(sinx)=端，则g(x+2π)=；£；；：：：；：==黑^=9(0，所以函数为周期函数，

故A正确；

因为"X)=熬=南，

因为y=C在定义域上单调递减，且Gy+ι>ι,

所以由复合函数的单调性质可得/(x)在定义域上是单调递增函数，故B正确；

令∕ι(x)=/(X)-2=&言,XeR,则∕t(-x)==三去=-h(x),所以函数y=f(x)-2是奇函数，

故C错误；

因为/^G)+∕(—X)=矢+总T=W+τ⅛=4,所以函数/(%)的图象关于点(0,2)对称，故D正确.

故选：ABD

17.(2023•湖南邵阳・统考一模)己知/(x),g(x)都是定义在R上的函数，对任意x,y满足/(x-y)=

f(χ)g(y)-g(χ)f(y),且/(—2)=f(i)≠0,则下列说法正确的有()

A.g(0)-1

B.函数/(2%一1)的图象关于点0,0)对称

C.g(l)+g(-l)=1

D.若/⑴=今则说肾/(n)=f

【答案】ABD

【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC,对于D,通过观察选项可以推断“灯很可能为周期

函数，结合/(x)g(y),g(x)f(y)的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令y=-1和y=1时可构建出

两个式子，两式相加即可得出f(x+1)+fix-I)=-/(x),进一步可得出/(x)是周期函数，从而可得出

E黔/6)的值.

【详解】对于A,令x=y=0,代入已知等式得/(O)=f(O)g(O)-g(O)∕(O)=O,得f(0)=0,

再令y=0,χ=l,代入已知等式得f(l)=f(l)g(O)-g(l)∕(O),

可得/(1)口-g(0)]=-g(l)f(O)=O,结合f(l)≠0得l-g(0)=0,g(0)=l,故A正确；

对于B,再令X=0,代入己知等式得f(-y)=f(O)g(y)-g(O)f(y),

将/(0)=0,g(0)=1代入上式，得/(一y)=-f(y),函数Fa)为奇函数,

.∙.函数f(2X-1)关于点G，0)对称，故B正确；

对于C,再令χ=l,y=-l,代入已知等式，

得f(2)=/(1)5(-1)-g(l)f(T),//(-I)=一/⑴，.∙./⑵=+g(l)],

又∙.∙f(2)=-/(-2)=-/⑴，.∙.-f(I)=/(1)[5(-1)+5(1)].

∙.∙∕(l)≠0,.∙.g(l)+g(-l)=-1,故C错误;

对于D,分别令y=-l和y=l,代入已知等式，得以下两个等式：

f(χ+1)=/(χ)g(-i)-g(χ)∕(-I)J(X-1)=f(χ)g(i)-gθ)f⑴,

两式相加易得/(χ+1)+/(x-1)=一f(X),所以有∕ɑ+2)+fix)=-/(X+1),

即S/(x)=-f(x+1)-f(x+2),

有：-f(x)+/(x)=f(x+1)+f[x-1)-f(x+1)-f(x+2)=0,

即:/(x-l)=f(x+2),.∙.∕(x)为周期函数，且周期为3,

∙∙7(l)=γ,.∙√(-2)=^,.,.∕(2)=-∕(-2)=-^,/(3)=/(0)=0,

.寸⑴+/⑵+f⑶=0,

2023ʃɔ

fCn)=/⑴+/⑵+f(3)+…+/(2023)=/(2023)=/(1)=争

Σn=ι2

故D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：对于含有X，y.的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以

及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有X,y双变量,

需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这

就需要观察题设条件以及选项来决定.

18.(2023・湖南邵阳•统考一模)随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、

密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，/(X)=

y4当WR的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是()

Z-Ii=l21-1

A.函数f(x)的图象关于直线X=I寸称

B.函数/(x)的图象关于点(0,0)对称

C.函数/(x)为周期函数，且最小正周期为π

D.函数/(x)的导函数/(X)的最大值为4

【答案】ABD

【分析】由题可知/(x)=Sinx+警+喑+等，根据诱导公式可得/'0+70=/(-》)=—/(行可判断

AC,根据奇偶性的概念可判断B,根据导数公式及三角函数的性质可判断D.

___4

【详解】因为函数f(x)=>警孚I=Sinx+吟+华+手，定义域为R,

Z-Uf=I21-1357

对于A,/(7t+χ)=sin(π+x)+则亚出+列乌里+闻”3

.=-Ssiin3xx----s-i-n-5-xsin7x_sE(—χ)+SE(-3%)+sin(-5∙)+sin(-7κ)

37一I,357=/(τ),

所以函数/(X)的图象关于直线X=：对称，故A正确;

aτcz∙z、.z、，sin(-3x).sin(-5x).sin(-7x).sin3xsin5xsin7x∙、

对于)zz

B,/(-X=sm(-x)+---ɔ--+ɔ+-/--=-Sinx--ɔ--------ɔ---------/=-/(x),

所以函数/(x)为奇函数，图象关于点(0,0)对称，故B正确；

对于C,由题知f(x+兀)=-/(x)≠f(x),故C错误；

对于D,由题可知f'(x)=cos%+cos3x+cos5x+cos7x≤4,故D正确.

故选：ABD.

19.(2023•广东梅州・统考一模)对于定义在区间。上的函数/(x),若满足：Vx1,%26。且/<%2,都有

/(x1)≤/(x2),则称函数/(%)为区间。上的“非减函数”,若f(x)为区间[0,2]上的“非减函数”，且f(2)=2,

/(x)+∕(2-x)=2,又当xe[∣,2]时，/(x)≤2(x-1)恒成立，下列命题中正确的有()

A./(1)=1B.Bx0∈[∣,2],/(x0)<1

c∙∕G)+f(l)+f(tD+∕(3=4D.∀x∈[θ,∣]./(/(x))≤-Λx)+2

【答案】ACD

【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.

【详解】A.因为f(x)+∕(2-x)=2,所以令X=I得/(1)+八2-1)=2,所以/(1)=1,故A正确；

B.由当Xet同,/(x)≤2Q-1)恒成立，令χ=∣,则/(∣)≤1,由f(x)为区间[0,2]上的“非减函数”,则

/(I)≥/(1)=1.所以/(∣)=1,则Vxe[∣,2],/(x)≥∕(∣)=l,故B错误；

CVxe图，z(i)≤fω<∕g),W(I)+/(D=2,

所以/G)=/(1)=i'fa)=ι,

由黑)+∕(>2,L,全氏]，贝"(∣)=∕(Ii)=I，则∕G)+fG)+f(∣i)+∕(9=%

故C正确；

当Xe[0*]时，/(0)=OjQ)=1,f(x)∈[0,1],

令t=/(x)∈[0,1],则/(t)∈[0,1],-t+2∈[1,2],

则f(t)≤-t+2,BP∕(∕(x))≤-fix')+2,故D正确.

故选：ACD

20.(2023•广东茂名•统考一模)已知函数f(x)对VX∈R,都有/(x)=/(-x),f(x+1)为奇函数,且X∈[0,1)

时，f(X)=X2,下列结论正确的是()

A.函数/(x)的图像关于点(1,0)中心对称

B./(x)是周期为2的函数

C./(-1)=0

D∙∕("

【答案】ACD

【分析】根据"久+1)为奇函数得/(-X+1)=-/(X+1),推出f(-x)+f(X+2)=0,判断A；结合f(r)=

“X),推出f(x+4)=-f(x+2)=f(x),判断B；采用赋值法求得f(―1)=0,判断C;利用函数的周期

性结合题设判断D.

【详解】由题意/(x+l)为奇函数得"-x+l)=-f(x+l),即f(-x)+f(x+2)=0,

故/(x)的图像关于(1,0)中心对称，故A正确；

由f(τ)=/(ɪ)-f(-x)+/(x+2)=0得/(x)=-f(2+X),.∙.f(x+2)=-/(x).

所以/(久+4)=—f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的函数，故B错误：

由f(r+l)=-∕(κ+l),令X=0,则/⑴=一/⑴⑴=0,

故/(一1)=/(1)=0，故C正确；

X∈[0,1)时,f[x}=X2,

∙.∙f(x)的周期为4,.∙.∕Q=f(-m=fG)=;,故D正确，

故选：ACD

三、填空题

21.(2023•福建・统考一模)写出一个同时满足下列三个性质的函数/(X)=_________.

①若Xy>0,贝∣J∕Q+y)=f(χ)f(y);②f(%)=f(τ);③f(%)在(0,+8)上单调递减.

【答案】⅛(答案不唯一)

【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可.

【详解】比如f0)=岛f(χ+y)=⅛∙J(χ)∕(y)=⅛∙⅛=/p故/^(χ+y)=∕W∕(y)>又f(-χ)=

⅛=⅛=∕W>也即fW=ZX-%)成立，

又/(χ)在(O,+8)上单调递减.

故答案为：西.

22.(2023•山东日照•统考一模)对任意正实数a,记函数/(%)=IIgXI在[见+8)上的最小值为TnQ,函数g(%)=

Sin曾在[0,a]上的最大值为Ma，若Ma-πia=点则a的所有可能值_____.

【答案】9或√TU

【分析】根据f(x)和g(x)函数图像，对a分类讨论求解即可.

【详解】f(x)和g(x)的图像如图:

当0<a<1时，m=0，M=sin—,ʌM-τn=sm-=->a=-；

aa2aa223

当Q≥1时，ma=IlgɑI=Iga,Ma=1,ʌMa-ma=1-∖ga==√10；

故答案为：I或VTU.

23.(2023・湖南长沙•统考一模)已知函数=若关于X的方程/(八»)=a恰有两个

不相等的实数根比1，冷，且与<%2,则空的取值范围是______.

【答案】*,eeT)

【分析】根据给定分段函数，求出函数f(∕(x))的解析式，确定给定方程有两个不等实根的a的取值范围,

再将目标函数用a表示出即可求解作答.

【详解】函数/(x)=[.ɪtɪlɪfl在(一8,0)上单调递增，/O)<1，在[0,+8)上单调递增，/(χ)≥0,

当/(x)<0,即久<一1时，/(/(x))=x+2,且f(f(X))<1,

当一l≤x<0,即OWf(X)<1时，f(∕(X))=In(X+2),且0≤/(/<))<M2,

当％≥0,即f(x)≥O时，/(/(X))=ln[ln(x+l)+l],且f(f(x))≥0,

X+2,x<-1

因此/(/(%))=In(X+2),-1≤%VO,在坐标系内作出函数y=f(f(x))的图象，如图，

ln[ln(x+1)+l],x≥0

两个不同交点，

观察图象知方程f(∕(x))=Q有两个不等实根占,%2(%1<%2)，当且仅当ln2≤a<lt

eα1

此时XL+2=α,且In(In&+1)+1)=Q,即勺+2=α,且Λ⅛+1=e-^,则有上三=----,

Xj+2Q,

令g(%)=^^/n2≤XV1，求导得g'(x)=^——~1∖令九(X)=Xe*-1,

当ln2<x<l时，∕ι,(x)=(x÷l)ex>0,即函数九(X)在(In2,1)上单调递增，

当ln2<X<1时,h