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文档简介
沈阳市第120中学2023-2022学年度下学期高一年级考试
数学真题
一、单项选择题:本大题共8小题,每题5分,共计40分.在每小给出的四个选项中,只
有一个符合题目更求.
1.已知复数Z满足2+1=z(l-i),其中i为虚数单位,则复数Z在复平面内所对应的点为()
33j_3J_3
2522~22,22'2
(答案)A
(解析)
(分析)依据复数代数形式的除法运算化简复数z,再依据复数的几何意义推断即可;
1
(详解)解:因为2+±=z(l-i),所以2+《=z(l-i),所以2—i=z(l-i),
ir
所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为1万,/J;
应选:A
2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如下图的直角梯形,其中。'4=2,ZB'A'O'=45\
8'C'//ON'.则原平面图形的面积为()
A.372B.672
(答案)A
(解析)
(分析)
作出原平面图形,然后求出面积即可.
(详解)ZB'A'O'=45Q=ZB'O'A',则△O'N'8'是等腰直角三角形,
•1•A'B'=OB'=y/2'
又OCC®,zLC'O'B'=45°,B'c'=1>
在直角坐标系中作出原图形为:
梯形CM3C,OA//BC,OA=2,BC=T,高08=2拉,
••.其面积为S=;(2+1)x2&=3JL
应选:A
(点睛)
方法点睛:此题考查斜二测法画平面图形直观图,求原图形的面积,可能通过复原出原平面图形求得面
积,也可以通过直观图到原图形面积的关系求解:直观图面积为S',原图形面积为S,则?=也.
S4
-sina+cosa、冗兀
3.已知------------二-3,---<a<一,则sina-cosa=()
sina-cosa22
A』B亚3亚
rD,正
5555
(答案)D
(解析)
(分析)由理_3,得tana=2,再由-£<&<1,可得sina=25,cosa=Y5即可得结
sina-cosa2255
果.
、辽fe、,sma+cosa「.一…tana+10…,口-
(详解)因为=------------=3,所以-------=3,解得tana=2.
sina-cosatan。一1
兀兀JI,275V5
又因为——<a<一,tan«>0,所以0<a<一.sina=----»cosa=—,
22255
所以sina-cosa=•
5
应选:D
4.有如下命题,其中错误的命题是()
A.假设直线aua,且a〃尸,则直线。与平面夕的距离等于平面a、夕间的距离
B.假设平面a〃平面夕,点Nea,则点A到平面户的距离等于平面a、4间的距离
C.两条平行直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
D.两条异面直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
(答案)C
(解析)
(分析)依据线线距离、线面距离、面面距离定义逐项推断可得答案.
(详解)对于A,假设直线aua,且a〃/7,则直线。与平面夕的距离等于平面a、夕间的距离,故A
正确;
对于B,假设平面a〃平面/,点/ea,则点A到平面夕的距离等于平面a、/间的距离,故B正
确;
对于C,当两条平行直线所在的平面与两个平行平面垂直时则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间
的距离,当两条平行直线所在的平面与两个平行平面不垂直时,则这两条直线间的距离不等于这两个平行
平面间的距离,故c错误;
对于D,两条异面直线分别在两个平行平面内,则异面直线间的距离等于这两个平行平面间的距离,异面
直线间距离往往转化为平行平面间的距离,故D正确.
应选:C.
.37、
cos(a----)
5.假设tana=2tan',则---------=()
5sin(a-y)
A.1B.2C.3D.4
(答案)C
(解析)
.71.n.7i
sina+—sinycos—+cosasm「
55
所以原式=-7—-
.|TC.71.71
sina-sinacos-coscrsin
I555
7171
tana+tan3tan
=--------------=-^=3,
TC71
tana-tantan
55
应选c.
点睛:三角恒等变换的主要题目类型是求值,在求值时只要依据求解目标的需要,结合已知条件选用适宜
的公式计算即可.本例应用两角和与差的正弦(余弦〕公式化解所求式子,利用同角关系式使得已知条件
可代入后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用.
此题主要考查两角和与差的公式.
.(乃、
6.在△/BC中,角4,B,C的对边分别是a,b,c,已知46S=(a+b)2-c2,则sinC4——
I4J
()
.V6+>/2口V6—V2rV2n
442
(答案)A
(解析)
(分析)依据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角C,由此可求sin(c+?
L1
(详解)因为4jiS=(a+b)?-。2,又S=i而sinC,
所以26absinC-2ab=a2+b2-c1
所以GsinC—1="一+"一,又cosC
2ab2ab
所以GsinC-cosC=1,
所以sin又Ce(O,%),
TT
所以。=2,
3
山”।nn.nV6+V2
所以sin|C+—=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=-------
I4)U4)34344
所以sinC+?=瓜+6
4
应选:A.
7.如图,四边形四点共圆,其中8。为直径,43=4,BC=3,ZABC=60°,则△/CO的面
积为()
5737百
~6~~6~
(答案)C
(解析)
(分析)先在口N8C利用余弦定理求出边NC,再利用正弦定理求出直径8。,进而利用直角三角形求出
AD、CQ,再利用三角形的面积公式进行求解.
(详解)在EI/8C中,因为48=4,BC=3,N4BC=6。。,
所以由余弦定理,得4C=,42+32-2x4x3xg=JI5,
ATV132V39
由正弦定理,得BD=———
sinZABCsin60°-3
在Rt^ABD和Rt口BCD中,
"I必一初=殍短,
又ZADC=180u-ZABC=120".
所以的面积为,朱哈
应选:C.
8.在△/8C中,\AB\=4,且|C4|=G|C8|,则△/8C面积的最大值是
A.2KB.4百C.6月D.88
(答案)B
(解析)
(分析)
2-Jcos^可得cos"手
设乙4c8=6,设|C8|=x,则|C4|=Gx,依据余弦定理求出f=
1I-4>/3sin0sin6
,依据面积公式可得与=一x・、GxsinJ-----,令y=—7=—依据辅助角公式可得
°"“。22-VJcos。2-j3cos。
2y=J1+3/sin(6+e),其中tan°=Gy,由|2)区J1+3y之可求得结果.
(详解)设/ACB=6,设|C"|二x,则|。|二后,
8
由余弦定理得42=X2+(百x)2—2x-由XcosB,X2=,
显然2-Gcos6>0,cos0<,
3
S^Bc=;x.百xsin<9=乎sin夕f;蓝曲”,
222—,3cos夕
sing厂
令一百、a,则sin。=2y-J3ycos6,
所以2y=sine+Viycos6=Jl+3y2sin(,+夕)>其中tan*=
所以|2y区J1+3y2,解得一
所以乂侬=1,
此时sine+V5cose=2,sin[e+§
=1,0=—,x=4.满足cos6
63
所以(53,)2=4百・
应选:B.
(点睛)此题考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查了辅助角公式,
二、多项选择:本大题共4小题,每小5分,共计20分.在每题给出的四个选项中,至少
有只有一个符合题目要求,每道题全对得5分,局部选对得2分.
9.以下关于直线/,点A,8与平面a的关系推理正确的选项是()
A.Ael,Aea,Bel,BnIua
B.Aea,AG0,Bea,BG0,=ac/3=AB
C.I<ta,Ael,=>A^a
D.Ael,!ua,nAea
(答案)ABD
(解析)
(分析)对于选项A,可推出/ua,所以选项A正确;
对于选项B,A,8两点必定在a与夕交线上,所以可得到=所以选项B正确;
对于选项C,点A可以在直线/与平面a的交点处,即ac/=Z,所以选项C错误;
对于选项D,A必定在平面a内,所以可得到Zea,所以选项D正确;
(详解)解:由题意可知,
对于选项A,A,8两点均在直线/上,且A,B两点均在平面内a,则可推出/ua,所以选项A正
确;
对于选项B,A,8两点既在a内,又在夕内,则必定在a与夕交线上,所以可得到。口S=/8,所
以选项B正确;
对于选项C,点A在直线/上,但是直线/不在平面a内,则点A可以在直线/与平面。的交点处,即
ac/=Z,所以选项C错误;
对于选项D,点A在直线/上,直线/在平面a内,则A必定在平面a内,所以可得到Zea,所以选项
D正确;
应选:ABD.
10.已知正方体的棱长为“,则()
A.正方体的外接球体积为虫/兀B.正方体的内切球外表积为41无
2
C.与44异面的棱共有4条D.三棱锥4-ABD与三棱锥4-BQQ体积相等
(答案)ACD
(解析)
(分析)对于A、B:正方体外接球的半径尺=也°,内切球的半径尸=1a,代入球体的体积和外表积公
22
式计算;对于C:依据异面直线的定义进行判定;对于D:利用等体积转换处理.
(详解);正方体外接球的半径/?=工2%内切球的半径r=二。
22
•••正方体的外接球体积为P=2兀叱=走/兀,内切球外表积为s=4口2=a\
32
A正确,B不正确:
与异面的棱有3C,C0,4G,CQ,共有4条,c正确:
•••〃-汹产匕)-城出,则三棱锥A-ABD与三棱锥D-444的高四=DDX,底面积SABD=SAM
,故体积相等,D正确;
应选:ACD.
11.在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的准确性,曾经出现过以下两种三角函数:定义
1—cos。为角。的正矢,记作versine,定义1-sin。为角。的余矢,记作conersin。,则以下命题正确
的选项是(〕
.16万1
A.versin---=—
32
B.versin---0-coversin6
(2)
coversinx-1,.1
C.假设-----:-----=2,贝coversinx-versinx)2=—
versinx-1''5
D.函数/(x)=versin12020x-ij+coversinl2020x+zj的最大值为2+加
(答案)BC
(解析)
(分析)利用诱导公式化简可得A错误,B正确;
化简已知等式得到tanx,将所求式子化简为正余弦齐次式,由此可配凑出tanx求得结果,知C正确;
利用诱导公式化简整理得到/(x)=2—2sin(2020x+/],由此可知最大值为4,知D错误.
.16^167rl(L乃、,兀3
(详解)对于A,versin---=1-cos----=1-cos5乃+—=l+cos—=—,A错误;
33I3J32
对于B,=1-sin=coversin0,B正确;
coversinx-I1-sinx-l3
对于C,-----:-----=:---------=tanx=2,
versinx—11-cosx-1
(coversinx-versinx)2=(1-sinx-1+cosx)2=l-2sinxcosx=1——
'7V7sin2x+cos2x
.2tanx.41-一
1----z----=1—=_,C正确;
tanx+155
对于D,v,/(x)=1-cosf2020%-yj+1-sin(2020x+
2-cos--+2020x+--sin2020x+-=2-2sin2020x+-
[2I6〃I6)I6
.,.当sin(2020x+^J=—W、h/(x),*、=2+2=4,D错误.
应选:BC.
(点睛)关键点点睛:此题考查了三角函数的新定义的问题,解题关键是能够充分理解已知所给的定义,
结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来推断各个选项.
12.已知三棱锥/-BCD的全部棱长都为2,且球。为三棱锥/-88的外接球,点M是线段8。上靠
近。点的四等分点,过点M作平面a截球。得到的截面面积为S,则S的可能取值为()
nc3兀厂3兀一5叮
A.-B.—C.—D.—
2423
(答案)BC
(解析)
(分析)求出三棱锥Z-88的外接球半径A,可知截面面积的最大值为兀R2,当球心。到截面的距离
最大时,截面面积最小,此时球心。到截面的距离为,截面圆的半径的最小值为JFU77,进而
可求出截面面积的最小值,然后可得答案
(详解)因为三棱锥/-BCD是正四面体,棱长为2,所以将其放置于正方体中,可得正方体的外接球就
是三棱锥〃一BCD的外接球,
因为三棱锥4-88的棱长为2,所以正方体的棱长为近,
可得外接球直径为2R=J2+2+2=瓜,所以R=巫,
2
//7A2o
所以截面面积的最大值为万代=%—=—,
因为点用是线段8。上的点,
所以当球心。到截面的距离最大时,截面面积最小,
此时球心。到截面的距离为OM,UOBD为等腰三角形,
过点。作8。的垂线,垂足为“,
所以0河2,=0“,2+.2,=1_+1_3=e
244
633
则所得截面半径的最小值为加一OM
4~4
3兀
所以截面面积的最小值为万T
所以截面面积的范围为
应选:BC
三、填空题:本大顺共4小题,每题5分,共计20分.
13.已知sin0=---3,3n〈兴一^1J^L,则tan—0=.
522---
(答案)-3
(解析)
Osinf)
(分析)依据角。的范围,求出COS0后代入公式tan彳=;------计算即可.
21+cosO
_3
……、..3八7)但八4“h0sin。5
(详解)由sin0=--->3n<0<--->得cos0=--->从而tan-=------------7*--3.
52521+cos。]_4
-5
故答案为:-3
14.己知函数/(x)=(-2cos2x-sin2x,/⑴在区间0,《工上有个零点.
(答案)6
(解析)
(分析)由三角恒等变换公式化简,转化为两函数的交点个数求解
(详解)令人(8)=((,(x)=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=V2sin2x+j+1
即/(x)在区间0,-—上有6个零点.
O
故答案为:6
15.在口力8。中,角4B、。所对的边分别为a、b、。,且8=34,则2的取值范围是
a
(答案)(1,3)
(解析)
JTB
(分析)由三角形的内角范围可得OVZV:,注VcosZVl,运用正弦定理和三角函数的二倍角的正弦
42
公式和余弦公式,结合余弦函数的单调性,可得所求范围.
(详解)由8=34可得C=Jt48=n44,
由0<8,,0<C<n,
可得0</<2,则①Vcos4<l,
42
hsinBsin3AsinlAcosA+coslAsinA
—=--------=-----------=------------------------------------------=2COSM+COS2J=4COSM.1,
asinAsinAsinA
[y]
由---Vcos/4<1,可得一Vcos2/4<1,
22
即有IV4cos241V3,
则2的取值范围为(1,3),
a
故答案为:(1,3)
(点睛)关键点点睛:关键是将2利用正弦定理转化为角A的函数,注意角的范围
a
16.如图,点/是半径为1的半圆。的直径延长线上的一点,0A=58为半圆上任意一点,以AB为
一边作等边口/BC,则四边形。4c8的面积的最大值为.
(答案)2G
(解析)
(分析)
设N/O3=6,表示出口48。的面积及口0/8的面积,进而表示出四边形。4cB的面积,并化简所得面
积的解析式为正弦函数形式,再依据三角函数的有界性进行求解.
(详解)四边形O4C8的面积的面积+△48。的面积,设乙408=9,
AB2=0A2-i-OB2-2OAOBcos0=3+l-2xlxy/3cos0=4-243cos0
则口/BC的面积.力C・sin600=@Z82=6_3COS®
242
\OAB的面积=LOAOB-sin^=—x1xV3sin=立sine,
222
四边形。4cB的面积=G-3cos(9+立sin®
22
।苗
=G+G(—sin,-----cos。)=G+6sin(,一60°)>
22
故当6-60。=90。,即6=150。时,四边形。4c8的面积最大值为道+百=2道,
故答案为:2也.
(点睛)方法点睛:应用余弦定理肯定要熟记两种形式:(1)a2=〃+c2_2bccos/;(2)
>222
cos)=+c—a,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.其它,在解与三角形、三角函数有关的问
2bc
题时.,还需要记住30°,45°,60°等特别角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
四、解答题:本大题共6小题,共中17题总分值10分,其余各题总分值12分.
17.已知复数z=(/w—l)(〃?+2)+(加一l)i(meR),其中i为虚数单位.
(1)假设z是纯虚数,求实数,〃的值:
(2)假设加=2,设=■=a+M(a,beR),试求a+b的值.
z-i
(答案)(1)〃?=一2
(2)a+b=—
2
(解析)
(分析)依据复数的定义以及复数相等的意义即可求解.
(小问1详解)
假设z是纯虚数,则八八),解得〃?=—2:
机一1/0
(小问2详解)
假设m=2,则z=4+i,
4+i+i4+2i
a+b\=l+-i
4+i-i42
,1
・•・q=1,b=—
2
L3
:・a+b=一;
2
3
综上,m=-2,〃+b=一
2
37t
18.⑴已知sin。一,且。是第三象限角,求cos|二+6的值;
567
(2)已知tana='八7T7Tc、
0<a<一,—</3<7i,求tan(a—尸)及a+6的值.
3(22J
3-47337r
(答案)⑴(2)tan(cr-^)=7,cr+/?=—
10
(解析)
(分析)⑴求出cos仇利用余弦和角公式即可求;
[2)依据正切的和差角公式即可求.
34
(详解)(1),・飞由。=一],且。是第三象限角,・・・cose=—不
717r
7兀1A..e百413、3-473
/.cos一+夕=cos—cossin—sine/=——x—x
666252510
(2)Vtana=-,tan/?=-2,
-+2
...tan(f)=tan"ta“J=7
1+tanatanp1二’
3
1-2
tan(a+0=tana+tan1J
1-tanertanp
3
C兀兀c
*.*0<a<—,—<p<兀,
22
兀八3兀
,5<。+/<耳,
◎3兀
:•a+0=.
19.已知/(%)=)石一1,其中G=(sin2x,2cosx),b=(V3,cosx)(xGR).
⑴求/(x)的最小正周期和最小值;
、
,假设/传21+」一的
[2]在△ZBC中,角4、B、C的对边分别为〃、b、c5bac,求
(47tanAtanC
值.
(答案)(1)〃x)最小正周期为乃,最小值为-2
⑵孚
(解析)
(分析)(1)向量内积展开后利用倍角公式和辅助角公式整理成正弦型函数,并依据正弦函数图像性质得
解;
jrsina
12)依据函数值先求出8=不,利用正弦定理将边化角,结合tana=^——,以及两角和的正
3cosa
弦公式和诱导公式解出答案.
(小问1详解)
f(x)=a-b-l=(sin2x,2cosx)♦(百,cosx)-1
=Gsin2x+2cos2x_1二百sin2x+cos2x=2sin^2x+—
2万
・.•/*)的最小正周期为T=—=万,
2
2,xH—eR,
6
pd
na^e+-±
siM-
D60的最小值为-1,
••・函数/(x)的最小值为-2.
(小问2详解)
/1)=2sin《+£|=VL
7T
;・B=3或B=7U(舍去)
,«*b2=ac,
**•sin25=sin/4-sinC-
11cosAcosC
-----1-----=-----1-----
tan4tanCsin/sinC
_sinCcosA+cosCsinJ_sin(4+C)
sin4sinCsin/sinC
sin8sin51
sinAsinCsin2Bsin5
1
20.已知:直四棱柱ZBCO-ZSGA全部棱长均为2,ZC%8=60。.在该棱柱内放置一个球O,设球。的
体积为匕,直四棱柱去掉球。剩余局部的体积为匕.
U)求三棱锥的4一4与2的外表积S;
(2)求?的最大值.(只要求写出必要的计算过程,不要求证明)
(答案)(1)s=4+退+V7;
,、冗
⑵----.
8-乃
(解析)
(分析)(1)求出三棱锥的力-的各个面的面积即得解;
(2)设直四棱柱48CD-44CQ的体积为JZ,当球半径R最大时,匕最大时,V■取到最大值,求出匕
最大值即得解.
(小问1详解)
解:因为直四棱柱/8C。-48cA,
所以平面4为2,44为三棱锥的2-4\口的高,
由ND43=60。,全部棱长为2,口4用。1为等边三角形,
所以5A445=¥'22=百'
RtfU/B-RtEJN/A中,也叫=;x2x2=2,S“㈤=;*2*2=2,
口盟A中,BR=2,4稣=AD1=2也,过A作4H上BQ1于H,AH=5,
5:典q=;x2xg=V7,2,SLS9=;x2x2=2,
.",s-4+V3+V7.
(小问2详解)
匕;匕一1
解:设直四棱柱48CD-44CQ的体积为%,所以匕V-V,£_p
匕
所以当匕最大时,,取到最大值,
即求棱柱内放置一个球。体积匕最大,即球半径R最大,
假设球。与棱柱侧面相切,则半径R即为菱形48co的内切圆半径,连接NC与8。交于点E,
AC1BD,
△Z8E中,AE=y/3,BE=\,7?,=^—1-=—,
22
假设球。与棱柱上、下底面相切,则半径为4=1,&>&,
所以球0半径最大为R=等,此时球0体积匕最大,匕=g万[等]当兀.
V=AAy-SABCD=2xx2V3x2=473,%=V一匕=4百一旦兀,
21.已知口*3。的内角A,B,。的对边分别为〃,b,c,且c=2(a-6cosC).
(1)求3;
(2)假设口48C为锐角三角形,求sir?4+sin2c的取值范围.
71
(答案)(1)一
3
<53-
⑵匕5_
(解析)
(分析)(1)依据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
(2)用二倍角公式降基,然后利用辅助角公式合并,依据角的范围求解.
(小问1详解)
/+62-2
2("bcosC)及cosC
2ab
a2+b2-c2"
,化
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