四川省达州市2023届高三二模数学（理科）试题(含答案)

达州市普通高中2023届第二次诊断性测试

数学试题(理科)

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合A={x∣—l<x<4},8=k∣f-5χ+4,,()},则AUB=()

A.[-1,4]B.(-1,4]C.(-1,4)D.[-1,4)

2.复数z=^+"i,则L=()

22Z

3.在等比数列｛4｝中，4=1,%=4,则%=（）

A.-128B.128C.-64D.64

4.命题〃：VX∈R,2'+χ2一χ+i>θ,则r7为（）

A.VX∈R,2v+—%+1„0B.Vx∈R,2'+x~—x+1VO

C.Ξ%θ∈R92"+XQ—xθ+1<C0D.3xθ∈R,2"+xθ—Λθ+1,,0

22

5.设耳，尸2是双曲线C:亍一A=I的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于尸，Q两点，则

IEpHKQH尸《=（）

A.5B.6C.8D.12

--3TT

6.已知。=23,/?=108023,。=1@11——，则（）

8

∖.c<b<aB.a<h<c

C.h<a<cD.b<c<a

7.果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周X（树干

横截面周长，单位：Cm）可用模型y=%+伪χ2一4模拟，其中％,伉,与均是常数.则下列最符合实际情

况的是（）

A./=。时，V是偶函数

B.模型函数的图象是中心对称图形

c.若乙,4均是正数，则y有最大值

D.苹果树负载量的最小值是优

8.已知向量a,。,C满足.=W=2,αJ∙一《=1,则|一Cl的最大值为（）

A∙2√2+lB.2√2-lC.√2+lD.√2-l

9.三棱锥A-38的所有顶点都在球。的表面上，平面ABDJ_平面

BCD,AB=AD^√6,AB±AD,BCD有两个内角分别为30和60，则球。的表面积不能是（）

A.12zrB.16τrC.32πD.48;T

TT

10.如图，在,ABC中，AB=3,ZABC=-,BABC=IS,平面ABC内的点。,E在直线AB两侧，

4

..ABD与dBCE都是以8为直角顶点的等腰直角三角形，G,2分别是UAB。,一BCE的重心.则O1O2=

（）

C

A.√26B.3√3C.5D.6

H.把腰底比为《!二'：l（比值约为0.618,称为黄金比）的等腰三角形叫黄金三角形，长宽比为后：1（比

值约为1.414,称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单

檐建筑中存在较多的J5：1的比例关系，常用的A4纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五

条对角线构成的图形)，AO=避二ɪAB.图二是长方体，Ef=J5,EG=2EH=2.在图一图二所有三角形

2

和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为()

2

12•点A(x0,y0)(x0＞l,y0＜0),且C均在抛物线y=4x±.,若直线AB,AC分别经过两定点

(—1,0),加(1,4),则BC经过定点N.直线BC,MN分别交X轴于DE,。为原点，记

a2b2

∖θE∖=a∖DE∖=b,则----------1-----------的最小值为()

Q+1Z?+3

111

A.-B.-C.-D.-

2435

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若卜T

展开式的二项式系数和为64,则展开式中X4系数为

14.函数/(力=25皿3+9)(勿＞0,|同＜5)的部分图象如图，4,3,。是曲线＞=/(x)与坐标轴的交

2乃

点，过点C的直线y=l与曲线y=∕(χ)的另一交点为0.若ICo=q，则IAw=.

15.如图，E,EG分别是正方体ABCD-ABCQ的棱ADAB,CO的中点，”是AG上的点，GG〃平

面EFH.若AB=6，则4/=.

为G

.AB

DGC

16.5,是数列｛为｝前〃项和，01=3,an+1,给出以下四个结论:

4〃一1

a2

②q+GW++4/n=^+2∕7.

③S〃>π÷ln（2π÷l）.

Θ5,,>√+ln（2∕j2+l）.

其中正确的是（写出全部正确结论的番号）.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

村民把土地流转给农村经济合作社后，部分村民又成为该合作社职工.下表是某地村民成为合作社职工，再经

过职业培训后，个人年收入是否超过10万元的人数抽样统计：

年收入超过10万元年收入不超过10万元合计

男45550

女7525100

合计12030150

（1）是否有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关？

（2）根据合同工期要求，合作社要完成A,B,C三种互不影响的产品加工，拟对至少完成其中两种产品加

工的职工进行奖励（每个职工都有加工这三种产品的任务），若每人完成A,B,C中任何一种产品加工任务

的概率都是0.8,求某职工获奖的概率（结果精确到0.1）.

n(ad-bc)

附①参考公式：K,〃=〃+Z?+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(∕+d)

②K?检验临界值表:

k02.7066.63510.828

18.（12分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCo是平行四边形，平面R4£）J_平面

ABCD,ZBAD=60,A。=2AB,PA=PDE分别是AD,BC中点.

（1）证明：平面尸BD，平面P0E；

（2）若AB=2,PA=2下,求平面PQE与平面PCo所成锐二面角的余弦值.

19.（12分）

在qABC中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,∙一■+'一=一△+—吆一

cosBcosCCOSAcosβcosC

⑴求tanBtanC；

（2）若历=3,求ABC面积S的最小值.

20.（12分）

已知AF分别是椭圆C:工+亡=l（g>8>0）的左顶点和右焦点，过尸的直线/交C于点。,E.当A至U

crb1

的最大距离为4时，|。同=£.

（1）求C的标准方程；

（2）设C的右顶点为8,直线Ao的斜率为4，直线BE的斜率右-若K+%2=1，

①求口的值；

K2

②比较Iba与k2∖FE∖的大小.

21.（12分）

1M

设函数/（x）=Iru+-VWC——（加,〃均为实数）.

2X

(I)当m=2时，若/(x)是单调增函数，求〃的取值范围;

(2)当〃>0时，求/(x)的零点个数.

(二)选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系XOy中，以原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为

尤=Sina+V∑cosα,

(。为参数).

y=sina-√2cos6Z

(1)写出C的普通方程和极坐标方程;

(2)设直线e=AGo∈R)与C交于点45,求IAM的最大值.

23,选修4-5：不等式选讲］(K)分)

已知函数/(X)=ɪɪ-l,^(x)=∣x-m∣+∕77,Vx∈∕J,∕(x),,g(x).

(1)求实数机的取值范围;

(2)当加取最小值时，证明：/(x)+g(尤)x+L

达州市普通高中2023届第二次诊断性测试

理科数学参考答案

一、选择题：

1.B2.B3.D4.D5.C6.C7.C8.A9.C10.A11.B12.D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-1214.2〃15.116.①②

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17.解：(1)由表知K?观测值Z=变竺丝=4.688<6.635.

120×30×50×10016

没有99%的把握认为经过职业培训后，合作社职工年收入超过10万元与性别有关.

(2)由题意，设某职工获奖概率为=Xθg(l—0.8)+OWa0.9.

所以某职工获奖的概率为0.9.

18.(1)证明：PA=PD,O是AD的中点，.∙∙PO›LAD.

平面平面ABCz)，平面尸ADC平面ABCO=AD,POU平面尸AO，

.∙.PO，平面ABCZλ

BDU平面ABCD,;.POlBD.

设AB=α,则AO=2α∕BAO=60，在SAB。中，由

余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosZBAD=3a2，

.∙.AB-+BD2=AD-,.∙.ABlBD.

E是BC中点，四边形ABC。是平行四边形，

:.OE//AB,:.BDLOE.

PO,OE是平面POE内两相交直线，

平面POE.

■；BDU平面PBD,平面PBD，平面POE.

(2)解：由(1)知POLQE.

以过点。平行于BO的直线为X轴，分别以直线OE,。尸为丫轴和Z轴建立如图所示的空间直角坐标系

■：\AB\=2,∖PA∖=2√5,.∙.A(√3,-1,0),D(-√3,1,0),C(-√3,3,0),P(0,0,4),

r√31ɔ

,歹是Rl中点，/二-,一二S.

、22,

半DC=(0,2,0).

.∙.DF=

22)

设平面CDF的一个法向量为m=(x,y,z),

DF∙m=0,Xɜy+2z=0/∣-∖

，即《2'2''不妨取x=2,得加=(4,0,-36).

DCTn=

。2y=0∙

根据条件〃=(1,0,0)是平面PoE一个法向量.

m∙n44√43

cos(m,n

∣zn∣∙∣n∣43'

所以平面PoE与平面CDF所成锐二面角的余弦值为生匡.

43

ca3。

19.(1)证：」一+——+--------

cosBcosCcosAcosBcosC

.∙.(ZTCOSC+CCoS3)cosA=a(CoSBcosC+3cosA).

由正弦定理得(SinBCoSC+cos3sinC)cosA=sinA(cosβcosC+3cosA).

.∙.Sin(JB+C)cosA=SinA(COSBCOSC+3∞sA).

A+B+C=τr,/.sin(B+C)=sinA,cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-CoSBCOSC,

.∙.2sinBsinC=CoSScosC,即tanβtanC=—

2

(2)解：由(1)得tan3tanC=L,tan3>0,tanC>0.

2

/.tanΛ=-tan(β÷C)=⑦“-+⑦”---2(tanS+tanC),,一4JtarLBtanC=一2五,等号在

`7tanBtanC-1`7

tanθ=tanC=—时成立.且A为钝角.

2

SinA..3叵,等号在tanB=tanC=时成立.

32

,.∙bc=3,.∖S=^bcsinA的最小值是血.

20.解：(1)设椭圆。的焦距为2c,则c?=/+/.

Q+C=4,

,A到/的最大距离为4,∣DE∣=3,.∙.2/16

3----=—.

；a3

解得β=3,Z?=2JΣ.

22

所以。的标准方程为土+匕=L

98

(2)①解：分别设RE的坐标为(χ,χ),(w,%)∙因为直线/过定点尸(1，°)，所以当K=O时，网=0；

当上2=o时，匕=0,都与K+攵2=1矛盾，因此y%7°，芭X±3,%2/±3.

22

设直线/的方程为x=9+l,将x=O+l代入匕+乙=1，化简得

98

(8z2+9)∕+16ty-64=0

⑹64

∙f+%=一Ey%=一中.

，阴％=4%+4%.

X

由(1)得A(—3,O),B(3,O),.∙.3=^∙^=^^≡^==》％-2乂=2y+4%=ɪ

h%®+4)%%+4y24%+8%2

々一3

12

②.k↑-Vk2=1,.*.kx=—,Zr9=—.

12

•••直线Ao与直线BE的方程分别为y=-(%+3),y=-(Λ一3).

12

y=-(x+3),y=-(x-3),(

分别由方程组23，和4232解得。1am

∙r+Jλɪʃ--113

9898

16

.四=C=2

''|F£|83

3

所以IEDl=&怛耳.

ɪ〃

21.(1)解τm=2,.∙.J'(X)=IrLI+]∕-2x——.

.∙.x>0,且/'(x)=J+x-2+?,即/(x)=1-2x；+x+”.

设g(x)=χ3-2f+χ+〃(χ.θ),则g'(x)=3χ2-4x+l,即g'(x)=(3x—I)(X-1).

不等式g'(x)>O的解集为(Oq)D(1，+00)，8'(“<0的解集为&，1)所以8(%)在区间(°，与上单调递

增，在区间上单调递减，在区间(I,+")上单调递增.

g(o)=g(ι)=〃，•'•g(χ)m⅛=〃.

/(x)为单调增函数，∙∙∙∕'(x)∙∙0恒成立，即"∙∙0

,./X12力八/口Inx1n

(z2)解:由,/(X)=1InXH厂-ITlX=0得721=----1X.

2XX2X

2

…、∖nx1niC∖l-lnʃ12nCJrlΛ∣I-Inx+ɪx∣+2n

⅛A(x)=-+-X--J,则X>0,/(X)=^→5+7,BP,ʌI2J.

令MX)=I-1∏Λ+Lχ2,则χ>0,S(χ)=-□+χ=('^t^l)('D.当()VXVI时,%'(x)<0,

2XX

3

MX)单调递减；当x>l时，/(x)>O,Z(x)单调递增.F(I)=0,Λ⅛(x)min=/:(1)=->0,

/.Zc(x)>O.

%>0,/?>O,.∙.hr(x)>O,.,.Λ(X)在区间(θ,+∞)单调递增.

设夕(X)=J-I-InX,则d(x)=l--,当Ovxvl时,"(%)<0,9(X)单调递减，φ(x)>^(1)=0,

…1,/∖ɪ-l1n3〃+1-CIC.f2π+21.

即InX4≤X-1,.*.h(X)<------1--------=-----------.V1<0,当。<x<tπiπʌ11,(时，

X2X2X[3"-2fJ

MX)<"【注：这一段可用x→o时，MX)→-8替代】.

]nY1M1

当x>l时，∕z(x)=—+-X一-y>-x-n,∖∕t>Q,当x>2(f+")时，MX)>九【注：这一段可用

X→+∞时，MX)-»+8替代】.

・•・对任意实数相，方程∕z(x)=m只有一个解，即/(x)的零点个数是1.

x=Sina+Λ∕2COS6Z,

r(。为参数)

Iy=sincr-√2cosa

.x+y

得SIna=-----COSa

22√2

m2÷⅛j=1,