2022-2023学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省漳州市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知向量方=(4,2),b=(x,3).且五〃b，则X等于()

A.9B.6C.5D.3

2.如果直线α和b没有公共点，那么ɑ与伙)

A.共面B.平行

C.可能平行，也可能是异面直线D.是异面直线

3.已知Z］=α+i,Z2=l+i,aER,若］是纯虚数,则］+(2)?+(含＞+…+

(3产23=()

A.1B.—1C.iD.—i

4.福建省第七次人口普查统计数据显示，漳州市11个县(市、区)常住人口数据如下表所示,

则这11个县(市、区)人口数据的第80百分位数是()

地区苔城区龙文区龙海市「云霄县漳浦县诏安县

常住人口638060301883952000411558847535560969

地区长泰县东山县南靖县平和县华安县

常住人口228235219511305259455042134276

A.638060B,560969C.455042D,411558

5.已知直线m,H与平面Q,β,y,则能使α/?的充分条件是()

A.a1y,B.m1n,aC∖β=m,naβ

C.m∕∕α,m∕∕βD.m//a,m1β

6.利用公式cos(α+∕?)=cosacosβ—sinasinβ,cos(α—∕?)=cosacosβ+SirlaS沅夕可得

cosacosβ=ɪ[cos(α+∕?)+cos(α—/?)].则COSl.0°CoS500+Sin20。CoS70。=()

3C1D1

A.4-2-4-

7.己知向量行与石垂直，若五=(6,—8),∣B∣=5，且b与向量(LO)的夹角是锐角，则B=()

A.(4,3)B.(-4,-3)C.(3,4)D.(-3,-4)

8.仇章算术少卷五僭功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的

四棱锥”,在阳马P-HBCD中，PA_L平面48CD,PA=1,ABAD=2,点E,F分别在棱AB,

BC上，则空间四边形PEFZ)的周长的最小值为()

A.3+√^5B.4+ΛΓ5C.5+∖Γ5D.6+√T

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.在以下调查中，适合用抽样调查的有()

A.调查某品牌的冰箱的使用寿命

B.调查某个班级10名学生每周的体育锻炼时间

C.调查一批炮弹的杀伤半径

D.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例

10.正方体ABCe-&BiCiA中，Oi为底面AIBIClCl的中心，则()

A.直线Bal与CG所成的角等于30。B.直线Bal与AC所成的角等于60。

C.直线AOl与CCl是异面直线D.直线Aol与BD所成的角等于90。

11.设4B为两个随机事件，以下命题正确的为()

A.若A,B是互斥事件，P(A)=IP(B)=T,贝IJPOIUB)

B.若A,B是对立事件，贝IJP(AUB)=I

C.若4,B是独立事件，P(A)=M(B)=|,则P(而哥

D.若P(4)=Q(B)=：,且P(AB)=；,则4,B是独立事件

12.已知AABC的重心为G,外心为0,内心为/,垂心为“，则下列说法正确的是()

A.若M是BC中点，则4G：GM=2：1

B.若I荏I=1，则荏•布=：

c∙而与l⅛+i⅛不共线

D.若I同I=1,|而I=2,∆BAC=lπ,AI=λAB+μAC(λ,μ∈R),则；I+〃=TC

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下：

5667777889

则其射击成绩的方差S?=.

14.△4BC的内角4,B,C所对边的长分别为α,b,c,若α=4,A=30°,试写出一个b值,

使该三角形有两解，则满足题意的b的值可以是

15.龙文塔位于漳州市龙文区步文镇鹤鸣山，是漳州古城的标志

性建筑，某研究性学习小组想利用正弦定理测量龙文塔的高度，

他们在塔底B点的正西处的C点测得塔顶4点的仰角为30。，然后沿

着东偏南67。的方向行进了64τn后到达。点(B,C,D三点位于同一

水平面内)，且B点在。点北偏东37。方向上，由此可得龙文塔的高

度为m.(参考数据：取Sin53。=0.8)

16.已知正四棱锥S-4BCD的底面边长为，侧棱长为2,则该正四棱锥相邻两个侧面所

成二面角的余弦值为;该正四棱锥的外接球的体积为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，在△4BC中，ZD=^AB,点E是C。的中点，设荏=乙方=正

(1)用五是表示而,荏;

(2)如果I矶=3∣BCD,AE有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

A

18.(本小题12.0分)

某调研机构从某校2023届高三年级学生中随机抽取60名学生，将其某次质检的化学科赋分后

的成绩分成七段：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并制

作了相应的频率分布直方图.

频率

(1)根据频率分布直方图，估计该校高三年级学生在这次质检考试中化学科赋分后成绩的众数、

平均数、中位数(小数点后保留一位有效数字)；

(2)用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则［70,80)分数段

抽取的人数是多少？

19.(本小题12.0分)

下图是函数f(x)=Asin(‹ωx+(P)G4>0,ω>0,0<<p<Tr)的部分图象.

(1)求/(X)的解析式；

(2)解不等式/(%)>

20.(本小题12.0分)

如图，由X到y的电路中有4个元件，分别为4,B,C,D,每个元件可能正常(用1表示元件的

“正常”状态),也可能失效(用0表示元件的“失效”状态).分别用修,犯，久3和%表示元件4

B,C和。的可能状态，则这个电路的工作状态可用Q1,X2,X3,X4)表示.

(1)记M="恰有两个元件正常”，用集合表示M；

(2)若4B,C,。能正常工作的概率都是:，记N="X到丫的电路是通路”，求P(N).

X一ɪdɪp一γ

D

21.(本小题12.0分)

△ABC的内角4,B,C所对的边分别为α,b,c.若b=√^?,且α=√^3cosC+csinB.

(1)求B；

(2)求2α+c的最大值.

22.(本小题12.0分)

如图，正方体ABCD-AlBleICl中，44ι=l,点M,N分别为棱AD,DDl上的点(不与端点

重合)，且4M=DN.

(1)求证：4M_L平面4BN；

(2)求三棱锥B-MoN的体积的最大值；

⑶点P在平面4BCD内运动(含边界)，当AlPIBC时，求直线AlP与直线Bcl所成角的余弦值

的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•••五〃a∙∙∙2x-12=0,解得％=6.

故选B.

利用向量共线定理即可得出.

熟练掌握向量共线定理是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：••・直线α和b没有公共点，.•・直线α与b不是相交直线.

.∙.直线α与b可能是相交直线或异面直线.

故选C

根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断.

本题主要考查空间直线的位置关系，空间直线平行和异面都没有公共点.

3.【答案】B

【解析】解：z1=a+i,z2=1+i,

AJ

Z2(1+0(1-02T2

咤是纯虚数,

竽=0

解得α=-1,

手≠0

-S=i>

ʌS+⅛2+⅛3+'"+⅞)20z3=i+i2+i3+…+i2023=505×0+i+i2+i3=-l.

故选:B.

根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解:将11个数从小到大排列可得：134276,219511,228235,301883,30525,411558,

455042,560969,638060,847535,952000,

由11X80%=8.8,

根据百分位数的定义可知，第80百分位数是第9个数：638060.

故选：A.

将11个数从小到大排列后，根据百分位数的定义，计算即可.

本题考查百分位数的应用，属于基础题.

5.【答案】。

【解析】

【分析】

本题考查了四个条件的应用，涉及到空间中直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理，考

查了学生的理解能力，属于中档题.

根据空间中直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理对各个选项逐个判断即可求解.

【解答】

解：选项A：由已知可得α〃/?或者al£,故A错误，

选项B：由Tnln,aC∖β—m,nu夕可得：a,/?相交，故B错误，

选项C：由m〃a,zn〃0可得：a〃£或者α,S相交，故C错误，

选项。：由m〃a,mJ■口可得：aVβ,故。正确.

故选

6.【答案】B

【解析】解：由于COS(α+£)=COSaCos。-SinaSin0,COS(α—£)=CoSaCOS(+sinashι∕?可得

cosacosβ=ɪ[cos(α+∕?)+cos(α—β}].

故COSl0。CoS50。=ɪ[cos60o+cos40°],sin200cos70°=cos70°cos70°=ɪ[cosl40o+1]=

ɪ(-cos40o+1),

故CoSlo°cos50°+sin200cos70°=gcos60°+gcos40°—gCOS40°+；=*

故选：B.

直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计

算能力，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设b=(x,y)>"a1b'则：a-b=6x—8y=0'

∙∙∙y=炉，且|9|=5,

.2I∙,2一2I_2_∙2-25γ2一Or

∙∙Xv-VV—Xv-V~rτXv—ττX—43,

J1616

∙.∙3与向量(LO)的夹角是锐角，

ʌ%>0,

%=4,y=3,

・•・b=(4,3).

故选：A.

可设3=(x.y)，根据方1石可得出y=TX,根据方与向量(1,0)的夹角是锐角得出X>0,而根据I=

5即可求出X,y的值，从而得出向量方的坐标.

本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，

向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：根据题意，在棱锥P-ABCD中，PD=l,1

√4+1=为定值，E

若空间四边形PEFD的周长取得最小值，只需PE+

EF+FD取得最小值，'丁..

如图，将4P、PB展开，使得△PAB与矩形ABCD在

同一个平面内，

延长DC到M,使得CM=DC,则有FD=FM,

当四点P、E、F、M在同一条直线上时，PE+EF+FO取得最小值，且其最小值为PM,

在展开图中：PO=2+1=3,DM=2+2=4,则PM=√16+9=5,即PE+EF+FO的最

小值为5,

故空间四边形PEF。的周长的最小值5+仁.

故选：C.

根据题意，分析可得PD为定值，由此将AP、PB展开，使得APAB与矩形ZBCD在同一个平面内,

再延长DC到M,使得CM=DC,利用平面图形分析PE+EF+F。的最小值，将其最小值和P。的

值相加即可得答案.

本题考查棱锥的结构特征，涉及几何体表面距离最值的计算，属于中档题.

9.【答案】ACD

【解析】解：对于B,样本数量较小，适宜全面调查，故B错误；

对于4CD,由于调查的范围较广，经济成本会较高，不适宜全面调查，适宜抽样调查.

故选：ACD.

根据已知条件，结合抽样调查、全面调查的定义，即可求解.

本题主要考查抽样调查、全面调查的定义，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：如图，设正方体4BC。一&B1QD1的棱长为L

对于选项A.在正方体力BCD-aBIClDl中，有CCJ∕BB∖,

所以4A∕Bι（或其补角）为直线与CCl所成的角，

在RtZkABBI中，A1B1=BB1,A1B11BB1,所以乙41BBi=45。，选项A错.

对于选项A连接8G，在正方体ABCo-&BIGDl中，有

所以NB&G(或其补角)为直线BA1与4C所成的角，

又BCl=AlCI=AlB=S,即△Cl为正三角形，/.BA1C1=60%

选项B对.

对于选项C在正方体ABCD-&BlClDl中，设4CnBO=。，连接。道，

则。10〃CIC〃4力，即ACCiO遇1共面，

又ACllAIC1，所以直线A。1与CG是相交直线，选项C错.

对于选项。在正方体ABCn-&BIGDl中，BD1AC,AA11BD,

所以8。1平面4CCi4,所以8。14。1，选项。对.

故选:BD.

以正方体为模型，考查平面内直线与直线所成的角，需要把直线平移到同一个三角形中解决，直

线与直线垂直可以运用线面垂直的性质定理求解.

本题以正方体为模型，考查平面内直线与直线所成的角，是基础题.

11.【答案】BC

【解析】解：对于4若A，B是互斥事件，P(A)=3，P(B)=%则POIUB)=3+：=焉，故4

错误；

对于C：若A,B是独立事件，P(A)=g,P(B)=|,则4方也是独立事件P(5)=g,则P(∕15)=

P(A)P(B)=；X=为，故C正确；

对于B：若4,B是对立事件，则P(AUB)=P(4)+P(B)=I,故B正确；

对于D：若P(A)=M(B)=；,则P(AB)=HgXT=P(A)P(B),则］,B不是独立事件，故A,

B也不是独立事件，故。错误.

故选：BC.

利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可.

本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，属于中档

题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4连接CG交AB于。点，则点。是AB的中点，M是BC中点，连接DM,

.-.DM//AC,.-.DM=^AC,∙.AG:GM=ACtDM=2：1,故A正确;

对于8,取AB中点N,连接AO,N0,

•••。为△ABC的外心，∙∙.NOLAB,

■.∖A0∖cos∕.NA0=∣√1∕V∣,,.∙∣Aβ|=1.ʌ∣AN∖=ɪ,

.∙.AB-A0=∖AB∖-∖AδICoSZN40=∖AB∖-∖AN∖=γ故B正确;

对于C,∙∙∙H是△ABC的垂心，二7771瓦,

"H+-BCABɪ^BC∙AC

∖AB∖cosB∖AC∖cosC

Igzji而ICoS(Tr—8)II沅HzlCOSC

=-∖BC∖+∖BC∖=0,

∖AB∖cosB∖AC∖cosC

BC1^∖AS^osB+∣^∣∞sP,vAHa-bc,二4”与I端:SB+温ZSC共线'故C错误;

对于。，分别作∕FJL4B,/EjLAC,交4B,4C于F,E点,

连接4,并延长交8C于P点，可得NBAP=Na4P=半

设内切圆半径为r,则|/用=∖IE∖=r,ʌ∖AI∖sin∆BAP=∖IF∖=r,

AB-AI=AB(λAB+μAC)=λAB-AB+μABAC>

∙,∙IABI∙IJ4∕ICOS=IAC\'—⅛∙CoSm==λ×l2+μ×2×，=λ—μ,

.∙∙吉=2一%①，

AC-AI=AC■(λAB+μAC)=AAC-AB+μAC-AC,

IACI∙ITl/1COS-=IAC\■—cos==Λ×2×ɪ+〃X2?=—Λ+4〃，

=~λ.+4〃>②,

由①②可得4=篝，μ=⅛

在△ABC中，由余弦定理可得：

∖BC∖=J∖AB∖2+∖AC∖2-2∖AB∖×∣ΛC∣cosy=J1+4+2×1×2×ɪ=/7>

∙∙∙SAABC=抑Bl×MClSi吟=XlABl+∖AC∖+∖BC∖)r,

解得r=3+AΓ7,；•，+〃=+=V-3r=V^^3■故。正确•

故选：ABD.

连接CG交AB于C,^DM//AC,DM=∖AC,根据三角形相似可判断4取4B的中点N得No1AB,

从而|4。ICoSNM4。=∣4N∣,再由荏•而=|9|•|布ICoSNM4。可判断B；点H为垂心得777_L

bc'利用BC-^∖Aβ∖cosB+/ZSC)=3得BCl(温ZsB+I/LCb可得4H与温ZSB+

,二°,共线可判断C分别做∕F14B,IELAB,交4B,AC于F,E点，设内切圆半径为r,得

∖AC∖cosC

∖AI∖sin∆BAP=∖IF∖=r,利用四•国=2通・屈+〃布•而，得者=4一〃，ACAl=XAC-

^AB+μAC-AC>得信=一4+4〃，从而求出4=篝，μ=^=,再由余弦定理可得IBCl=，7，

再利用SMBC=Tl4BIXIACISi吟=XMBl+MC∣+∖BC∖)r,求出r可判断D.

本题考查三角形五心、平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是难题.

13.【答案】1.2

【解析】解：命中环数的平均数为：x=⅛×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7,

其射击成绩的方差S?=m[(5-7)2+2X(6-7)2+4X(7-7)2+2X(8-7)2+(9-7)2]=

1.2.

故答案为：1.2.

根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解.

本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题.

14.【答案】5（答案不唯一）

【解析】解：由正弦定理有：ʌɪɪ,

SinASinB

.CbsinAb

・•・SinB=----=

a8

•••△4BC有两解，.∙∙B>4

-{2∕<r即棋：

.∙.4<h<8.

二满足题意的b的取值范围为：（4,8）.

故答案为：5（答案不唯一）.

利用正弦定理求出SinB,然后根据三角形有两解得到b>α,s讥B<1即可求得.

本题考查正弦定理和三角形的解的个数问题，属于基础题.

15.【答案】40

【解析】解：设龙文塔的高度为∕ιm,

在直角△48C中，∆ACB=30°,所以BC=Ch,

在ABCC中，乙BCD=670乙CBD=90°—37°=53°,

所以NCDB=180°-67°-53°=60°,

BCCD

由正弦定理∙

SinzCDFSinzCfiZ)1

xΓ3∕ι64

即.T，解得h=40m.

sin60osin53

故答案为：40.

设龙文塔的高度为厉n,根据题意分别求得BC=Hh/CBD=53。,4CDB=60°.在4BC。中,

利用正弦定理，即可求解.

本题主要考查了正弦定理在解决实际问题中的应用，属于基础题.

16.【答案】T争

【解析】解：如图所示，连接AC,BD,相交于点。，连接。S.

•••四棱锥S-ABCD是正四棱锥，

.••0S_1底面48。。.作8后15。，同理DE_LSC,连接DE,

∙∙.NBEO是相邻两个侧面所成二面角的平面角，

BD=2,∖BC-SP=^SC-BE,可得RP∙_CXFI_C,

22BE-------2---------~T

12

sin"BED=击,

COSZ-BED=1—2×^=-ɪ.

SO=√SC2-OC2=√4-1=设外接球的半径为R,

可得JR2_(C-R)2=1，解得R=殍，

正四棱锥的外接球的体积为：亨X(殍)3=%票!.

故答案为：一;；斗黑.

作出二面角的平面角，通过求解三角形.推出结果；求解外接球的半径，然后求解体积即可.

本题考查了正四棱锥的性质，二面角的求法，几何体的外接球的体积的求法.考查了推理能力与

计算能力.

17.【答案】解：(I)由题意，CD=AD-AC=^AB-AC=^a-b,

因为点E是CD的中点，

所以荏=H而+硝=*荏+T前=/+/;

(2)由(1)可得:

CD∙ΛE=dα-K)∙(⅛+⅛)=-⅛α2-⅛2,

ɔOZIoL

X∣α∣=3∣K∣.所以而•荏=0，

即CDLAE.

【解析】(1)由题设条件，根据向量的线性运算即得；

(2)根据条件可证而•荏=0，BPCP1AE.

本题考查向量的线性运算和数量积运算，属基础题.

18.【答案】解：(1)由图可知众数为小罗=75,

因为0.05+0.05+0.1+0.2+IOa+0.25+0.05=1,解得α=0.030,

平均数为35X0.05+45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71,

因为0.05+0.05+0.1+0.2=0.4<0.5,0.05+0.05+0.1+0.2+0.3=0.7>0.5,

所以中位数居第5组，设中位数为X,则0.05+0.05+0.1+0.2+0.03(x-70)=0.5,

解得X≈73.3,所以中位数约为73.3；

(2)因为总人数为60人，抽取20人，所以抽取比例为意=5

因为60人中［70,80)分数段人数为60X0.03×10=18人,

所以［70,80)分数段应抽取人数为18X；=6.

【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程,求出ɑ的值,再根据众数、

平均数及中位数计算规则计算可得；

(2)求出抽样比与［70,80)中的人数，即可得解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数和中位数的计算，属于中档题.

19.【答案】解:(1)由图可知,A=3,

周期T=4x(4.5-1.5)=12,

则3=普=%

IZO

f(x)图象过点(1.5,3),

故3sin∕xl.5+0)=3,即*+@+2∕OT,∕C6Z,解得9=*+2∕OT,∕C∈Z,

V0<φ<π,

π

・••(P=%，

故/(x)=3sin(≡x+^)；

(2W)>∣,

则3sin偿X+》>1,即Sin偿X+：)>；，

•1•F+2kτt<］x+J<+2fcττ>keZ,解得一［+12k<x<(+12k,/c∈Z,

664622

・•・原不等式的解集为(―；+12k,(+12k),kEZ.

【解析】(1)根据已知条件，结合图象，依次求出43,φ,即可求解；

(2)结合(1)的结论，令"x)>∣,即可求解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题.

20.【答案】解：(1)“恰有两个元件正常”等价于(X1,x2,x3,x4)eθ,且打，刀2,与，M中恰有两

个为1,

所以M={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1).(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1))；

(2)设Nl="D正常工作”,电=“。没有正常工作,4正常工作,且B,C中至少有一个正常工作”，

由于“X到y的电路是通路”等价于“D正常工作”或“。没有正常工作，4正常工作，且B,C中

至少有一个正常工作”，

即N=N1UN2,

乂因为P(NI)=；,P(∕V2)=(1—ɪ)×ɪ×(1—ɪXɪ)=ɪ,且事件N],N?互斥,

所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(N)=P(NlUW2)=∣+⅛=⅛.

【解析】(1)根据题意，利用列举法，即可求解；

(2)由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.

本题主要考查了相互独立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率加法公式，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为b=√~?,所以α=V^^无。sC+三csiτιB=bcosC+?csinB，

由正弦定理可得sin4=SinBcosC+SinCsinB>

而Siw4=Sin(B+C)=SinBcosC+CosBsinC,

所以CoSBSiTlC=SinCsinBy又因为SiTlC≠0,

所以tmι8=C，B∈(O,"),

解得B=

(2)由正弦定理可得急=⅛==⅞=

2

所以α=2sinA,c=2sinC,

所以2Q+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin(^+/)=5sinA+yJ~3cosA=2√~^sin(Λ+0),且

tanφ=ʃ,

则sirup=tfɪ<?，即W<p

14Lɔ

因为A∈(0,∣π),

所以sin(力+w)≤1,

所以2α+c的最大值为：2口.

【解析】(1)由题意可得α=bcosC+?CS讥B，再由正弦定理及三角形中角之间的关系整理可得

tcmB的值，进而求出B角的大小；

(2)由(1)和正弦定理可得2α+c的表达式，再由4角的范围，可得2α+c的最大值.

本题考查正弦定理的