正多边形、弧长和扇形面积-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

考向29正多边形弧长和扇形面积

【真题再现】

1.（2022.湖北黄石.统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以

至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，

依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长.再

根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比'’来计算圆周率.设圆的半径为七图1中圆内接正六边形的周长4=6R,

则乃B士=3∙再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（）

A.12sinl5oB.12cosl5oC.12sin30oD.12cos30°

2.（2022・四川内江•统考中考真题）如图，正六边形ABCoE/内接于。。，半径为6,则这个正六边形的边心距。M

和BC的长分别为（）

FV~y

B.3√3,πD.3√3,2π

3.（2022•贵州黔东南•统考中考真题）如图，己知正六边形ABCD,内接于半径为一的随机地往。内投一

粒米，落在正六边形内的概率为（）

√3√3

Lr•----D.以上答案都不对

4.（2022•宁夏・中考真题）把量角器和含30。角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使

外圆弧与斜边相切时,发现中心恰好在刻度2处,短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC=2cm,ZBOF=120°）.则

阴影部分的面积为（）

5.（2022・四川资阳・中考真题）如图.将扇形AOB翻折,使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线/与AB交于

点C,连接AC∙若。4=2,则图中阴影部分的面积是（）

A.生一BB.女-6C.工一立D.上

323323

6.（2022・贵州安顺•统考中考真题）如图，边长为正的正方形ASCD内接于O,PA,PO分别与，。相切于点A

和点。，PD的延长线与BC的延长线交于点E,则图中阴影部分的面积为（）

B

5π

D.

2^7

7.（2022•甘肃兰州・统考中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观'’的扇面宣传展板，该展板的部分示意

图如图2所示，它是以。为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角No=I20。形成的扇面，若。4=3m,OB=1.5m,

则阴影部分的面积为（）

图1

图2

A.4.25;Tm2B.3.254π?C.3;Tm2D.2.25πm2

8.(2022・贵州遵义・统考中考真题)如图，在正方形ABCO中，AC和3。交于点。，过点。的直线E厂交A3于点E

(E不与A,8重合)，交CO于点厂.以点。为圆心，OC为半径的圆交直线屏于点"，N.若AB=1,则图中

ɪπ1ɪ

C.------

4284

【考点梳理】

知识点1：圆、扇形面积计算

(1)半径为R的圆面积S=砒2

1”R2

(2)半径为R的圆中,圆心角为"。的扇形面积为SB=UR或Sti尸------.

236

知识点2：圆柱、圆锥的有关计算

(1)圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2τr∕W?,全面积S=2应?∕7+2τrK(R表示底面圆的半径,/z表示圆柱的高).

(2)圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=τr∕",全面积S=πRI+πR∖R表示底面圆的半径,/表示圆锥的母线).

(3)圆柱的体积=底面积x∣⅛,即V=Sh=πR2h.圆锥的体积=LX底面积X高,即V-ɪπR2h.

33

知识点3：正多边形与圆

(1)正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.

(2)圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形

的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

(3)正多边形的内角和=(〃-2>180。；

正多边形的每个内角=（”2）180；

n

正多边形的周长=边长X边数；

正多边形的面积=LX周长X边心距.

2

【题型探究】

题型一：正多边形的中心角

9.（2022・河北唐山•统考一模）如图，已知点。是正六边形ABCQE尸的中心，弧AE的长是8π,则该正六边形的边

3√2C.2√3D.12

10.（2022•四川广安・统考二模）如图,五边形ABCDE是。的内接正五边形，则正五边形的中心角NC8的度数是

()

A.720B.60°C.480D.36°

11.（2021•浙江舟山・统考一模）如图，六边形AB8E尸是正六边形，点P是边AF的中点,PC,PD分别与BE交

于点M,N,则SAPBM:S&P8的值为（）.

CD

题型二：弧长公式的应用

12.（2023∙湖北咸宁・校联考一模）如图，正五边形ABeDE内接于O,其半径为I,作O了，BC交。于点尸，则

FA的长为（）

13.（2022.河北保定.校考一模）已知，如图，。。的半径为6,正六边形ABCDE产与。。相切于点C、F,则CF的

C.4πD.5π

14.（2022・贵州遵义・统考二模）如图，扇形OBA中，点C在弧A8上，连接BC,尸为BC中点.若。4=6,408=120。,

则点C沿弧从点8运动到点A的过程中，点尸所经过的路径长为（）

A.4π-B.2πC.3√3D.6

15.（2023•山西晋中•统考一模）如图，在边长为4的正六边形ABa）E中，先以点B为圆心，AB的长为半径作AC，

再以点A为圆心，AB的长为半径作BP交4C于点P，则图中阴影部分的面积为（）

E

D

A.4>∕3B.4√3C.4∖∣3~^D.2y∣3

题型三：扇形面积的计算

16.（2023•安徽合肥•校考一模）如图，以边长为4的等边,ABC顶点A为圆心，一定的长为半径画弧，恰好与BC边

相切，分别交AB,AC于点O,E,则图中阴影部分的面积是（）

C

中ŋ4

17.（2023•山东枣庄.校考一模）如图，将半径为4,圆心角为90。的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中,

点8落在扇形BAC的弧AC的点距处，点C的对应点为点C',则阴影部分的面积为（）

ɔΛQ

A.-7t+2√3B.—Tt+4∙∖∕3C.∖∣3+πD.—兀—下）

332

18.（2023•安徽淮北•淮北一中校联考一模）如图，在矩形ABC。中，以点A为圆心，以AO长为半径画弧交BC于

点E,将扇形AoE剪下来做成圆锥，若AB=BE=3,则该圆锥底面半径为（）

C.3D.3√2

48

题型四：圆锥的侧面积的计算

19∙（2021∙贵州遵义.校考模拟预测）已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120。,

则该圆锥的底面半径是（）

23

A.ɪB.-C.2D.-

32

20.（2022・广东•模拟预测）如图，。是.,ABC的外接圆，ZABO=NAeO=22.5。,BC=8,若扇形OBC（图中阴影

部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（）

A.√6B.2√6C.√L5D.同

题型五：正多边形和圆的综合问题

21.（2022•福建宁德•统考二模）如图，边长为1的正五边形ABCOE内接于O,延长AB,DC交于点F,过点C

作O的切线CG交AF于点G.

(1)求证：CG//BDi

（2）求答的值.

Gr

22.（2023・广东佛山•校联考模拟预测）如图，在ASC中，点。是AB边上的一点，。与AC、BC分别相切于点

4、E,AB与O相交于点D,作ACEF,点尸恰好为：O上一点.

（1）连接AE,求证：∕∖ACE是等边三角形;

（2）若AC=√^,求图中阴影部分面积.

23.（2023•广东云浮•校考一模）如图，。是.ABC的外接圆，AB为直径，点。为。上一点，连接08,过点C

作CE,OB交DB的延长线于点E,交AB的延长线于点F.己知/ABO=2NfiAC.

（1）求证：CF为：。的切线；

（2）若CF=2也，sinZAFC=p求阴影部分的面积.

【必刷好题】

一、单选题

24.（2023∙天津和平•统考一模）如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的

中心。重合，且与边AB,CD相交于点G,H.图中阴影部分的面积记为S,三条线段GB,BC,CH的长度之和

记为/,在大正六边形绕点。旋转过程中，S和/的值分别是（）

A.2√3,4B.G，6C.4,√3D.S和/的值不能确定

25.（2023•安徽安庆•统考一模）如图，五边形ABcDE是二。的内接正五边形，AF是。的直径，则NS厂的度数

是（）

B.36oC.54oD.72o

26.（2022・安徽合肥・合肥市第四十五中学校考三模）如图，。。的半径为5,边长为4的正六边形ABCZ）Eb的中心

与O重合，M、N分别是A3、项的延长线与。。交点，则图中阴影部分的面积是（）

C.—π--4√3D.巨”史

664

27.（2023•河南安阳•统考一模）一个扇形的弧长是2万，半径是4,则该扇形的圆心角的度数是（）

A.45°B.90°C.120°D.180°

28.（2023•山西晋城・统考一模）如图，正六边形"CO）的边长为2,以点4为圆心，AC长为半径画EC,连接

ΛC,AE9则图中阴影部分的面积为（）

B.2"唯6

A.2%∙+2C.3^-+3√3D.兀-晅

22

29.（2023∙山西吕梁•统考一模）如图所示的网格中小正方形的边长均为1,点A,8均在格点上，点C是以AB为直

径的圆与网格线的交点，O为圆心，点。是AC的中点，NA=α,则图中阴影部分的的面积为（）（用含。的式

5aπ〜25aπ

A.------B.------C.-----D.-------

360720360180

30.（2023•山东淄博・校考一模）如图，正方形OABG的边长为1,以点。为圆心，。4为半径作扇形OAG,弧AG

与。片相交于点B2,设正方形OABIG与扇形OAG之间的阴影部分的面积为Sl；然后以。4为对角线作正方形

OA2B2C2,又以点。为圆心，。&为半径作扇形。&。2,弧4G与。相交于点Bj,设正方形OA/zCz与扇形O&G

之间的阴影部分面积为打；按此规律继续作下去，设正方形O4s°B2⑼C2°2O与扇形04MGO2。之间的阴影部分面积为

1Æ

J___J—

vr∙2201922021D∙2202022022

二、填空题

31.（2023•新疆乌鲁木齐•乌市八中校考一模）如图，正五边形ABCZ）E内接于＜O,则/D4C的度数为.

32.（2023•湖南株洲•统考一模）如图，正五边形ABCDE内接于O,点尸在劣弧AB上，则NCFE的度数为'

33.（2022.内蒙古包头.包头市第三十五中学校考三模）如图，正六边形A88E尸的边长为2,以4为圆心，AC的

长为半径画弧，得弧EC,连结AC,AE,则图中阴影部分的面积为

34.（2022•江苏苏州•模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为α的锐角NCOD顶点在圆心。上,

3

这个角绕点。任意转动，在转动过程中，扇形与扇形AOB有重叠的概率为二，求α=.

35.（2023.河南安阳.统考一模）如图，扇形纸片AOB的半径为2,沿48折叠扇形纸片，点。恰好落在4B上的点

C处，图中阴影部分的面积为.

36.（2023•河南南阳•校联考一模）如图，在RtaABC中，ZBΛC=90o,BC=2AB=4,将4?C绕点8逆时针旋转

37.（2023•河北沧州•校考模拟预测）如图，直角三角形ABC中，ZA=30。，ZC=90o,将三角形的斜边A8放在定

直线刀上，将点A按顺时针方向在乙上转动两次，转动到，4B'C'的位置，设8C=1,AC=BAB=2,则点A所

经过的路线长是

38.（2023・安徽合肥•校考模拟预测）如图，以AB为直径作半圆。，C为AB的中点，连接8C,以。B为直径作半

圆尸，交BC于点D.若AB=4,则图中阴影部分的面积为.

三、解答题

39.（2022•河北邢台・统考一模）图，正六边形ABCDEF内接于O,。的半径为6

C

（1）求正六边形ABCoE尸的边心距；

（2）过产作FGlAB交BA的延长线于点G,求证：FG是。的切线；

（3）若点”是BC中点，连接MA，求弓形MA的面积.

40.（2023•广东佛山•校考一模）如图，在ABC中,AB=AC,以AB为直径的。与BC交于点。，连接A3.

（1）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AO的中点E.（不写作法，保留作图痕迹），连接BE交AO于尸点，并证明：

AF×DF=BF×EF；

（2）若。的半径等于4,且.。与AC相切于A点，求劣弧A。的长度和阴影部分的面积（结果保留万）.

41.（2023•广东佛山•模拟预测）如图，四边形ABC。中，连接AC,AC=AD,以AC为直径的。过点8,交CD

于点E,过点E作防IAD于点F.

B

⑴求证：E尸是。的切线;

（2）若NSAC=NZMC=30。，BC=2,求BCE的长.（结果保留乃）

42.（2023•广东佛山•统考一模）如图所示，CE是.。的直径，AC为O的切线，D为）0上的一点，ZOCE=g∕A,

连接CQ.若BE=OE=6.

（2）求图中阴影部分的面积.

43.（2022•江西萍乡•校考模拟预测）如图，已知以8C为直径的O与锐角ABC的边AB交于点。，与边AC交于

点尸，过点。作。E4AC,垂足为点E,连接。F,DC.

(1)求证：ADEFs∕∖CDB；

(2)若BC=AC.

①求证：OE是〈。的切线;

②若OE=6，CosB=I,求BC,CO和弧8。围成的阴影部分的面积.

44.（2021•广东佛山・统考一模）（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1,若P是圆内接正三角形43C

的外接圆的BC上任一点，则NAPB=60。，在R4上截取PA/=PC,连接MC,可证明ΔMCP是（填”等腰”、

“等边”或"直角”）三角形，从而得到PC=MC,再进一步证明PBC三,得至“3=M4,可证得：.

(2)小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2,若尸是圆内接正四边形ABC。的外接圆的BC上任一点,

则/4P8=NAPD=分别过点反。作物0，AP于M、DNLAP于■N.

(3)写出P8,P。与抬之间的数量关系，并说明理由.

图2

参考答案：

1.A

【分析】求出正十二边形的中心角，利用十二边形周长公式求解即可.

【详解】解：•••十二边形A4%是正十二边形，

o

.∙.ΛAbOA1=^^=30,

于”，又oʌ,=。4，

...AA6OH=15°,

圆内接正十二边形的周长Z12=12×2∕?sin150=24RSin15°,

π≈-=12sinl5o

2R

故选：A.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，解直角三角形，求出正十二边形

的周长是解题的关键.

2.D

【分析】连接OC、OB,证出ABOC是等边三角形，根据勾股定理求出QM,再由弧长公

式求出弧SC的长即可.

【详解】解：连接OC、OB,

六边形ABCDEF为正六边形,

360°

二.NBOC=江-=6()。，

6

OB=OC,

.∙.MOC为等边三角形,

.∙.BC=OB=6,

OM工BC,

:.BM=-BC=3,

2

:.OM=y∣OB2-BM2=√62-32=36

,,,>ʌ,60»×6.

BC的长为=■,.=2%.

1oil

故选：D.

【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正

六边形的性质，由勾股定理求出。M是解决问题的关犍.

3.A

【分析】连接。B，过点。作AB于点H,由正六边形的特点可证得△OAB是等边三角

形，由特殊角的三角函数值可求出OH的长,利用三角形的面积公式即可求出△OAB的面积,

进而可得出正六边形ABCDEF的面积，即可得出结果.

【详解】解：如图：连接。2,过点。作OHLAB于点H,

∙.∙六边形ABCDEF是正六边形，

.∙.ZAOB=60o,

"：OA=OB=r,

是等边三角形，

.'.AB=OA=OB=r,NoAB=60°,

在HZVM//中，OH=OA∙sinNOAB=rX3■=3~r,

22

•cl4βr,w1下＞√32

,*S^OAti=-ABOH=~,'X—r'=­r'

・•・正六边形的面积=6X立产=地产，

42

∙.∙。。的面积=万户，

3√3，

.∙.米粒落在正六边形内的概率为：3后,

πr22π

故选：A.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三

角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出AOAB的面积是解决问题的关键.

4.C

【分析】先求出/C0F,进而求出OE=OF=4cm,再求出。8,进而求出BE,最后用三角

形的面积减去扇形的面积，即可求出答案.

【详解】在心Ob中，NCoF=I80°-NBOF=60。，

AOFC=90o-ZCOF=30°,

OC=2cm,

：.OF=20C=4cm,

连接。E,则OE=OF=4cm,

∙/外圆弧与斜边相切，

，NBEO=90。,

在用Z∖50E中，4=30。，

.∖ZDOE=60°,OB=2OE=8cm,

根据勾股定理得，BE=4OB--OE1=4√3-

•・岛影=SMEFwE=；的0£=；x4^x4-9=（8G-9卜n√,

ZJOU2ɔVʒ/

故选：C.

【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30。角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和

扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键.

5.B

【分析】连接C。，且直线/与Ao交于点。，解直角三角形求出NCo£）=60。，即可求出扇

形4。C的面积，再算出；AOC的面积，即可求出阴影部分面积.

【详解】连接C。，且直线/与A。交于点Q,如图所示，

扇形AoB中，OA=2,

：.OC=OA=I,

：点4与圆心。重合，

ΛAD=OD=∖,CDYAO,

.∙.CoSNCw=空=L

OC2

.∙.NcW=60°,

由勾股定理得：CD=Joc？-Ob2=6，

smΛ0c=--x7rx22=∖π'S2=WAoCD=：x2X6=6'

2

∙*∙S阴影=S扇形AoC-SAAoC=-^-ʌ/ɜ,

故选：B.

【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键.

6.C

【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得ED。P的长，勾股定理求得AC的长,

进而根据5阴影=S样捌C£P-；S。即可求解•

【详解】如图，连接AC,BD,

边长为√Σ的正方形ABCQ内接于Of即CQ=

.∙.AC=2,AC,BD为二。的直径,ZECD=90o,

PA,PD分别与。相切于点A和点。，

.∙.EP工BD,

四边形ABCO是正方形，

ZEBD=45°,

:.BED是等腰直角三角形，

..ED=BD=AC=2,

AClBD,PA1AO.PD1.ODf

••・四边形OAPD是矩形，

OA=ODf

四边形OAPO是正方形，

ʌPP=OA=I,

.∙.EP=ED+PD=2+1=3,

∙'∙S阴账=S梯形ACEP_5SO

=g(2+3)xl-g乃x/

5π

ɪɪ■■—•—

22,

故选C.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，

掌握以上知识是解题的关键.

7.D

【分析】根据S*S用形AoQ-S烟形BOC求解即可.

【详解】解：S阴归S^AODS羸形BoC

*122

-120^∙OA120^∙Qg

360360-

22

=120^-(OA-OB)

360

22

=^-(3-1.5)

3-

=2.25ττ(m2)

故选：D.

【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

8.B

【分析】根据题意可得四边形EBb的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于

半圆减去四边形EBCF的面积和弓形的面积即可求解.

【详解】解：•在正方形ABC。中，AB=I,

二.。的半径为：OB=^^~AB=

22

E尸过点。，根据中心对称可得四边形£BCF的面积等于正方形面积的一半，

又SOBC~WS正方形A8S

；・阴影部分面积为：-∕X5正方形"C"-(s扁影OBC-SO8C)

1119011

=—IX--------------7Γ×---1——

22236024

π∖π\

^7^2^^?4

π1

=———

84

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键.

9.D

【分析】连接OR根据中心角的定义求出NAoE=I20。，ZkAO尸是等边三角形，设该正六

边形的边长为厂，根据弧长公式得到关于〃的方程，即可求解.

360°

【详解】解：如图，连接。尺则NAoF=NEoF=—=60。，AF=OA=OFt

B

：.NAoE=2NAOF=120。，

设该正六边形的边长为r,

120"

则=8乃,

180

ΛAF=12,

故选：D

【点睛】本题考查正多边形中心角、弧长公式等知识，添加辅助线，求出NAoE是解题关

键.

10.A

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式："36计0°算即可.

n

【详解】解：Y五边形43CDE是。。的内接正五边形，

・•・五边形ABCDE的中心角NCoD的度数为学=72°,

故选：A.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：型360°■是解题的

n

关键.

11.D

【分析】设正六边形的边长为mMN是APCO的中位线，求出APBM和APCQ的面积即

可.

【详解】解：设正六边形的边长为“，连接4C交BE于“点，如下图所示:

正六边形六边均相等，且每个内角为120。，

,△ABC为30。，30°,120。等腰三角形,

J.BEVAC,S.AC^2AH=2?—√30,S.BH^-a,AH=—,

222

∙JAF^CD,P为AF上一点,

SIyCD==CDlAC—仓∣3cι=—cι~,

∙∙I-FI..IJSD1ΛUCDM-22⅛z∖2

MN为4PCC的中位线，

：.MN=-CD=-a,

22

由正六边形的对称性可知：BE=2BH+CD=21-aa=2a,

2

13

：.BM=EN=(BE-MN)?2(Ia--Ci)I2-a,

SmiM=；BM?AH

-C∙s-雪Z3

,.*jDPβΛ∕∙oDPCD-]6∙8

故选：D.

【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质

等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型.

12.C

【分析】求出弧所对圆心角的度数，代入弧长公式即可求得.

【详解】解：多边形ABeDE为正五边形，

・•・B4,3C的度数相等=M-72。，

OFLBC,

∙,∙FB的度数=—=36。,

∙∙∙E4的度数=108。,

108o×æ×l3

FA的长度二=—71

180。5

故选C

【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题关键.

13.C

【分析】连接OGOF,根据。O与正六边形ABCQE/相切于点C,F,得到

ZOFE=ZOCD=90°,求出NCO厂的度数，根据弧长公式计算可得答案.

【详解】解：连接。。、OF,

•・•。。与正六边形ABCoE/相切于点C,F,

,o

..ZOFE=ZOCD=90f

'：ZE=ZD=UOo,

ΛZCOF=540o-90o×2-120o×2=120o,

120»×6

CF的长二=4;T,

180

故选：C.

【点睛】此题考查了切线的性质定理，正六边形的性质，弧长计算公式，熟练掌握切线的性

质定理得到/OFE=ZOCD=90。是解题的关键.

14.B

【分析】连接oc、OP,易得∕OP8=90。，点P是在以OB的中点。为圆心，Bz）为半径的

圆上运动，求BP'即可.

【详解】连接OC、OP,

'：OB=OC,

...△BOC为等腰三角形，

：尸为BC中点，

ΛOPVBC（三线合一），

即∕OP8=90°,

.∙.点P是在以OB的中点。为圆心，8。为半径的圆上运动，如图所示,

当点C运动到点A时-，点P到达P'位置,

点P所经过的路径长为BPL

连接。P,；。为。B中点，户为AB中点,

.∙.DP'//OA,

：.ABDP,=ZAOB=120°,BD=ɪ。4=3,

即点尸所经过的路径长为27，

【点睛】本题考查动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆的所在位置，以及等腰三角形

的性质、中位线的性质、弧长公式，熟练掌握这些性质是解题的关键.

15.B

【详解】解：如图，连接AP、PB,过点尸作PGLAS,在BP上任取一点M,

由题意可知：P4=P3=ΛB=4,

.二∕¾β是等边三角形，NPBA=60。,

PGlAB,

PC

・•・在RfPGB中,sin60°=一

PB

.∙.PG=PBsin60o=4×-=2√3,

2

Spab=ɪ×4×2Λ∕3=4^3,

ZPBA=ZPAB=60°,

.cC60°284

扇形扇形尸=石

,SE48=S48=3600X7X4

∙,∙S弓形BWP=S扇形PAB-SPAB=~4ΛQ,

「六边形ABCDEF是正六边形,

.∙.ZABC=120o,

120o,16万

.∙.Sc..p.-=-------×π×4^zl=--,

mlabncr360°3

∙'S阴影=Sla形ABC-^mABP_S弓形BMP>

・•・阴影部分的面积为46,

故选：B.

【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、三角函数值和正多边形的内角

和，熟练运用扇形的面积公式是解题的关键.

16.D

【分析】作AF_LBC,再根据勾股定理求出A尸，然后根据阴影部分的面积=为攸-S扇形理

得出答案.

【详解】解：如图所示，过点A作AFLBC,交BC于点、F.

在RtACF中，AF=√AC2-CF2=2√3.

2

.1r.60π×(2√3)L

•°S阴影=SAHc~S扁却DE=孑X4X2√3—7=4√3-2π'

ZJoU

故选：D.

【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积

计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键.

17.B

【分析】连接BB',过A作AFJ.所于凡根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形ABe’的面

积相等，AB=AB1=BC=BBI=A,求出一AB夕是等边三角形，求出/4BE=60。，解直角三

角形求出BF和AF,再根据阴影部分的面积S=S晶附HC-（S易物ZMr-S,府）求出答案即可.

【详解】解：连接BB'，过A作AF∙L的于F,则N/FB=90。，如图，

将半径为2,圆心角为90。的扇形8AC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上

的点8'处，点C的对应点为点C',

扇形ABC和扇形ABC的面积相等，AB=AB'=BC=BB'=A,

；•/38'是等边三角形，

.-.ZABF=60°,

.-.ZBAF=30°,

.∙.BF=-AB=2,

2

由勾股定理得：ΛF=√42-22=2上＞

r

阴影部分的面积S=S则MeC-（S扇形ABB，—SABB）

90π×42曙-R叫

360

=—Æ+4Λ∕3

3

故选：B.

【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面

积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键,注意:

2

如果扇形的圆心角为心，扇形的半径为八那么扇形的面积S=".

360

18.B

【分析】首先得到..ABE是等腰直角三角形，进而得到/D4E=45。，然后由勾股定理求出

AE=3√2，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可.

【详解】；在矩形HBCO中,

：.ZBAD=ZB=90°,

,/AB^BE=3,

是等腰直角三角形，

二ZSAE=45°，AE=√ΛB2+BE2=3√2，

二ZDAE=45°,

•；扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长

，设圆锥的底面圆的半径为r

.45o×zr×3√2C

••-----------------------=2TT7"，

180°

.∙.解得r="

8

故选：B.

【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆锥的底面圆周长和

扇形的弧长的关系等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

19.C

【分析】根据弧长等于底面圆的周长列方程解答.

【详解】解：设底面圆的半径是r,

解得r=2,

故选：C.

【点睛】此题考查了利用扇形求底面圆的半径，熟记扇形的弧长公式是解题的关键.

20.D

【分析】根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径。5,再根据扇形的弧长公式即可求解;

【详解】解：根据圆的性质，ABOC=IZA

;ZA+ZABO÷/OBC+ZACO+NOCB=180o,NoBC+ZBOC+ZOCB=180°

・・・ZA+ZABO+ZACO=ZBOC

VZBOC=2ZA,ZABO=ZACO=22.5°

.∙.NBOC=90。

VOB=OC,BC=8

：.OB=OC=J;BC2=4√2

.∙.6c=L∙2%∙4√5=2√5;T

4

∙∙.圆锥底面圆的半径为：r=^^=√2

1π

；♦圆锥的高/z=ʌ/OB2—r2——>/2-ʌ/ɜθ

故选：D

【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理、弧长公式的应用，掌握相关知识并灵活应用是

解题的关键.

21.(1)见解析

6BF一非+1

GF2

【分析】(1)根据切线的性质得到OCJ_CG,根据CD=CB得至IJOeLL瓦),即可得到CG〃30；

(2)通过求角度得到CG=CB=GF=1,再证明48CGS尸C计算即可.

【详解】(1)连接Oe

:正五边形ABCoE

ICD=CB.

'CD=CB♦

：.OC.LBD

・・,CG是。。的切线，

JOCLCG.

：.CG//BD.

360°o

(2)・・・在正五边形ABCDE中，CD=CB,ZCBG=-=729

o

：.ZBDC=ZDBC=36fADBF=ZDBC+ZCBG=108°.

：・NF=I80。一/DBF-/BDC=36。.

•：CG//BD9

o

：.ZGCF=ZBDC=36fZBGC=180°-ZDBG=72°.

：.AGCF=AF,ZCBG=ZBGC.

：.CG=GF,CG=CB.

：,CG=CB=GF=L

•：NCBG=NCBF,ZBCF=ZCGBf

・•・4BCGs∕∖BFC.

.BGBC

'*BC^BF*

：・BF(BF-GF)=BC2.

GPBF2-BF=I.

解得8尸=且土ɪ.

2

・BF√5+l

••---=-----•

GF2

【点睛】本题考查圆与正多边形、相似三角形的判定与性质，熟记圆相关性质是解题的关键.

22.⑴见解析

⑵Gj

【分析】(1)先证明：ACEF是菱形，得AF=EF,ZC=ZF,利用圆的切线性质可得

ZCAB=ZOEC=9(JP,从而可得NC+NAOE=180。，进而可得NF+ZAOE=I80°,然后由圆周

角定理得NF=；4QE,继而求出/尸=60。，即可由等边三角形的判定定理得出结论；

(2)利用菱形的性质可得CE=AC=指，然后由⑴知NF=60o,即可求ZAQE=120。，

从而求出N3O£=60。，ZB=30o,ZJC=2√6,BE=娓,再在RIaBOE中，利用锐角三

角函数的定义求出OE的长，最后根据后惨=SR,龌-SfiWa)班，求解即可.

【详解】(1)解：：。与AC、BC分别相切于点A、E,

CA=CE,NCAB=NOEC=90P,

.∙.NC+ZAOE=180。，

：,ACEF,

.∙.ACEF是菱形，

ʌAF=EF,NC=NF,

ZF+Z4OE=180o,

,.∙ZF=-ZAOE

2

：.ZF=60°,

ZkACE是等边三角形；

(2)解：由(1)知：ACEF是菱形，，

•∙CE=AC='J(＞，

∙.∙ZF=60o,

/.ZAOE=2ZF=120o,

.,./DOE=60。，

∖'NCAB=/OEC=9(T,

.,.ZB=30。，

，BC=2AC=2√6,BE=BC-CE=>∕6,

CF

在RtBoE中,tanB=——,

BE

OE

即tan30。曦,

OE=近，

°炉

.C_CCICLDir6°〃X

,•»明影-JRlBOE一玉形DoE-2"-

，出96。”网三

23603

【点睛】本题考查菱形的判定与性质，切线的性质，等边三角形的判定，圆周角定理，解直

角三角形，扇形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质、切线的性质、等边三角形的判定定理,

扇形的面积公式是解题的关键.

23.(1)证明见解析

(2)2√3--Λ-

【分析】(1)如图所示，连接0C，由圆周角定理得到N8OC=2ZBAC,即可得到

ZABD=ZBOC,进而证明。E〃OC,再由CE,OB即可证明CELOC,则C尸为O的切

线；

(2)先解RtQB得到々=30°,OC=2,求出ZFOC=60°,再根据S阴影=S^κτ-Smc

进行求解即可.

【详解】(1)证明：如图所示，连接OC,

NBOC=2ZBAC,

'：ZABD=IABAC,

.∙.ZABD=NBOC,

:.DE//OC,

'：CElDB,

：.CELoC,

；♦CF为。的切线;

£

∖A

O

o

(2)解：在RtOCF中，ZOCF=90,CF=2λ^,sinFɪɪ,

2

∠F=30o,OC=CF∙tanF=2,

.∙.ZFOC=60°,

•∙S阴影=S40CF—S阚形50。

JOC加60x3

2360

4×