2024年高考第一次模拟考试数学试题（江苏卷01）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（江苏卷01）数学第I卷（选择题）一、单项选择题1．已知为全集，集合，，则（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，，又，.故选：D2．已知复数与都是纯虚数，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因为为纯虚数，设，则，由题意可得，解得，因此，.故选：C.3．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（

）A．10 B． C． D．2〖答案〗D〖解析〗设与的夹角为，则，所以在上的投影向量为，所以在上的投影向量的长度为，故选:D.4．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗由题可得，,所以.故选：D.5．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗由题意得，故，故选：D.6．过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（

）A．2 B． C． D．3〖答案〗C〖解析〗如图，结合题意绘出图像：因为圆：，直线、是圆的切线，所以，，，，因为，所以，，根据圆的对称性易知，则，解得，，故选：C.7．设等比数列的前项和为.已知，，则（

）A． B．16 C．30 D．〖答案〗D〖解析〗由题得：①，②，①②得：，，则，代入①中，即，，故，故选：D.8．已知，均为锐角，且，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，令，，，所以在上为增函数，∴，∵，均为锐角，∴，∴，故选：D.二、多项选择题9．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则（

）A．年我国新能源汽车年产量逐年增加B．年我国新能源汽车年产量的极差为万辆C．年我国汽车年总产量超过万辆D．年我国汽车年总产量不低于年我国汽车年总产量〖答案〗BC〖解析〗对于A选项，由图可知，从年到年，我国新能源汽车年产量在下降，故A错；对于B选项，年我国新能源汽车年产量的极差为万辆，故B对；对于C选项，年我国汽车年总产量约为万辆，故C对；对于D选项，年我国汽车年总产量为万辆，年我国汽车年总产量为万辆，所以年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量，故D错.故选：BC10．函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增〖答案〗ACD〖解析〗，，由于，所以，所以A选项正确，B选项错误.，当时，得，所以关于对称，C选项正确，，当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD11．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（

）A．高为 B．表面积为C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则，解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A错误；对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，所以圆台的表面积为，选项B正确；对于C，圆台的体积为，选项C正确；对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确，故选：BCD．12．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆与轴相切B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为C．D．的最小值为〖答案〗AC〖解析〗由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，设，则的中点，对于A，，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，所以A正确；对于B，因为抛物线上的点到的距离为2，所以，得，则抛物线的方程为，所以B错误；对于C，设直线的方程为，则的中点，由，得，所以，所以，所以，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，所以的中点到准线的距离为，即以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，所以为切点，，，故C正确；对于D，，所以当时，取得最小值，所以D错误.故选：AC.第II卷（非选择题）三、填空题13．已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，，则.〖答案〗〖解析〗设圆柱与圆锥的半径均为，母线为，故，，所以，14．展开式中的常数项为．〖答案〗12〖解析〗通项，令，得，∴展开式的常数项为．15．写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数.①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上是增函数.〖答案〗〖解析〗，为奇函数，有三个零点0，，，时，，即在为增函数，①②③都满足，∴.16．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则〖答案〗2〖解析〗因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以.四、解答题17．在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.(1)求的通项公式；(2)求.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.解：(1)若选①②，设公差为，则，解得：，；选①③，设公差为，，解得：，；选②③，设公差为，，解得：，；(2)，.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)若，求的值；(2)若，，求的面积.解：(1)若，则，因为，，所以，所以，解得或，因为，所以；(2)若，由，可得，整理可得，即，因为，所以，，所以，所以是以C为顶角的等腰三角形，，所以的面积为.19.第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.附：.解：(1)列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关(2)3人进球总次数的所有可能取值为，的分布列如下：0123的数学期望.20．如图，四棱锥，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）设二面角为60°，，，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，连接，且，则在矩形中为中点，且在中，为的中点，∴且平面，平面，∴平面；（2）解：如图以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，，，设，，，，∴，，设平面、平面和平面的法向量分别为，，则有，∴，令，则有，同理可得，，∵二面角为60°∴，∴，解得，∴，，设与所成角为，∴，即直线与平面所成角的正弦值为.21．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且.(1)求双曲线的方程；(2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点.(1)解：，，，又直线斜率为，经过点，所以直线方程为，设，由，或，又，点代入双曲线方程无解，点代入双曲线方程，得，，所以双曲线的方程为.(2)证明：设，，设直线AB的方程为，联立，消去y得，，，经过点斜率为的直线方程为，由，解得，，，直线BT方程为：，令，.故直线经过轴上的定点.22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.(1)解：函数的定义域为，求导得：，当时，恒成立，则在上单调