2024届高三下学期开学摸底考试数学试题（上海专用）02（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024届高三下学期开学摸底考（上海专用）02数学一、填空题1．不等式的解集是．〖答案〗或〖解析〗由可得，即，解得或．故〖答案〗为：或．2．已知，则的值为．〖答案〗3〖解析〗．故〖答案〗为：3．3．直线与椭圆的公共点个数为．〖答案〗2〖解析〗直线是恒过的直线系，由于，所以是椭圆内部的一点，所以直线与椭圆恒有2个交点．故〖答案〗为：2．4．已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式；数列的前9项和的值为．〖答案〗171〖解析〗由，可得，，所以，．故〖答案〗为：，171．5．在的展开式中，常数项为．（用数字作答）〖答案〗20〖解析〗．令得，．常数项为．故〖答案〗为：20．6．已知定义在上的函数的周期为4，当，时，，则．〖答案〗〖解析〗定义在上的函数的周期为4，当，时，，所以，所以，，所以：．故〖答案〗为：7．在等差数列中，若和是方程的两个根，则数列的前22项的和等于．〖答案〗880〖解析〗由于等差数列中，若和是方程的两个根，所以：，所以．故〖答案〗为：880．8．设点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离为．〖答案〗〖解析〗由，得，设平行于直线的直线与曲线上切于，，则，解得，则切点为，过切点的直线方程为，即．点到直线的最小距离为．故〖答案〗为：．9．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为．〖答案〗〖解析〗将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，若将2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法；所以2个1不相邻的概率为．故〖答案〗为：．10．已知函数，若且，则最小值是．〖答案〗〖解析〗因为当时，，求导得，令得，得切点坐标，则可得切线方程为，即，再令，得，于是符合题意的，因此：．故〖答案〗为：．11．设正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，分别是，的中点，，且，则球的表面积为．〖答案〗〖解析〗如图所示，正三棱锥中，，分别是，的中点，且，；连接，设，则，又，；设，则中，由余弦定理得，①，同理，中，②，由①、②组成方程组解得，，；同理，，，正三棱锥的外接球的直径为，解得，球的表面积为．故〖答案〗为：．12．已知曲线对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点，在曲线两侧．记到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点，在曲线两侧，则实数的取值范围是．〖答案〗〖解析〗设曲线上的动点为，则，化简得曲线的方程为和，其轨迹为两段抛物线弧当时，，；当时，，；故若有，则．故〖答案〗为：．二、选择题13．若椭圆的参数方程为为参数），则该椭圆的离心率为A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗根据题意，椭圆的参数方程为为参数），消去参数可得其普通方程为，则，，则，故，，则该椭圆的离心率．故选：A．14．过点且倾斜角为的直线在轴上的截距是A． B．4 C． D．2〖答案〗A〖解析〗直线的倾斜角是，且过点，故直线的方程为，整理得，所以直线在轴上的截距为．故选：A．15．设复数满足，在复平面内对应的点为，则A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗复数满足，在复平面内对应的点为，，化为：，故选：A．16．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，其中，处取得最大值，即，，，①，，，，，②，①②得，，即，解得，，若，则，，，，，，这与矛盾，故应舍去，由①得，，，在第一象限，取，，由，即，，，，，使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：．三、解答题17．如图，在多面体中，平面平面，，，，．（1）求证：；（2）若四边形为矩形，且，求直线与平面所成角的正切值．（1）证明：因为且，所以四边形为直角梯形，又因为，所以，所以，因为，可得，所以，所以，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又由平面，所以．（2）解：因为四边形为矩形，所以且，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以，，两两垂直，以点为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为平面，且，所以平面，又因为，所以，所以，可得，由，，且，，平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，可得，即直线与平面所成的角的正弦值为．18．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）（2）当时，当时，（2），当时当且仅当时等号成立答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元．19．已知某观赏渔场有四个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的正北方向且距离为300米，观赏亭位于观赏亭的东偏南方向且距离为500米，观赏亭位于观赏亭的东北方向．假设这四个观赏亭处于同一高度．（1）求观赏亭与观赏亭之间的距离；（2）设观赏亭与观赏亭之间的距离等于观赏亭与观赏亭之间的距离，求．解：（1）依题意可得，，米，米，设米，在中，由余弦定理可得，故观赏亭与观赏亭之间的距离为700米．（2）依题意可得，，，在中，由正弦定理可得，则．20．已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足．（1）证明：数列为等差数列；（2）求满足的最小正整数．（1）证明：当时，，，当时，由得：，化简得．所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列．（2）解：由（1）知，所以，所以，当时，，令，即，两边平方整理得，所以，因为，所以的最小值为5．21．在直角坐标系中，曲线的方程为，直线过定点，且倾斜角为．（1）写出直线的参数方程；（2）令，时直线与曲线分别交于，和