高考数学理北师大版一轮复习训练5-1平面向量的概念及其线性运算

核心考点·精准研析考点一平面向量的基本概念

1.下面说法正确的是 ()A.平面内的单位向量是唯一的B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.所有的单位向量都是共线的D.所有单位向量的模相等【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.2.给出下列命题:①零向量是唯一没有方向的向量;②零向量的长度等于0;③若a,b都为非零向量,则使=0成立的条件是a与b反向共线.其中错误的命题的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.1.解答向量概念型题目的要点(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.2.(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.考点二平面向量的线性运算

【典例】1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTEQUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=QUOTEAB,BE=QUOTEBC.若=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为. 导学号

【解题导思】序号联想解题1由“则=”及选项,想到平面向量线性运算.2由“=λ1+λ2”,想到平面向量线性运算【解析】1.选A.如图所示==QUOTE=QUOTE·QUOTE(+)=QUOTEQUOTE.【一题多解】选A.在△ABC中,找到向量,,对于选项A,作出向量QUOTE,QUOTE,再作QUOTEQUOTE,与向量比较,发现相等,所以选A.2.=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE,所以λ1=QUOTE,λ2=QUOTE,即λ1+λ2=QUOTE.答案:QUOTE1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.三种运算法则的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.1.(2020·榆林模拟)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】选C.如图,因为=2,所以=QUOTE,所以=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE()=QUOTE+QUOTE.2.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=;y=.

【解析】由已知,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE()=QUOTEQUOTE=x+y,所以x=QUOTE,y=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE考点三共线向量定理及其应用

命题精解读1.考什么:(1)判断向量共线,三点共线问题,含参数综合问题;(2)考查数学运算核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与解析几何,三角函数图像与性质,三角恒等变换结合考查求参数,最值等.3.新趋势:以考查共线向量定理的应用为主.学霸好方法1.证明向量共线的方法:应用向量共线定理.对于向量a,b(b≠0),若存在实数λ,使得a=λb,则a与b共线.2.证明A,B,C三点共线的方法:若存在实数λ,使得=λ,则A,B,C三点共线.3.解决含参数的共线问题的方法:经常用到平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程组,解方程或方程组得到参数值.向量共线问题【典例】(2019·西安模拟)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与(b2a)共线,则λ=. 导学号

【解析】因为a+λb与2ab共线,设a+λb=k(2ab),则(12k)a+(k+λ)b=0,所以QUOTE解得k=QUOTE,λ=QUOTE.答案:QUOTE三点共线问题【典例】(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e12ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为. 导学号

【解析】因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e12ke2,所以==3e12ke2(ke1+e2)=(3k)e1(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3k)e1λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以QUOTE解得k=QUOTE.答案:QUOTE解决三点共线问题应注意什么问题?提示:应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线.含参数综合问题【典例】(2020·唐山模拟)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2QUOTE,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是. 导学号

【解析】由已知AD=1,CD=QUOTE,所以=2.因为点E在线段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).因为=+,又=+μ=+2μ=+QUOTE,所以QUOTE=1,即μ=QUOTE.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤QUOTE.答案:QUOTE1.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则QUOTE=()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.=+=+=+QUOTE=QUOTE,所以λ=1,μ=QUOTE,因此QUOTE=2.2.(2019·大同模拟)△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为++=,所以++=,所以=2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=QUOTEAC,由三角形的面积公式知,QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.P是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,若S△ABC=6,则△PAB的面积为 ()A.2 B.3 C.4 【解析】选A.因为++=2=2(),所以3==,所以∥,方向相同,所以QUOTE=QUOTE==3,S△PAB=QUOTE=2.1.已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则 ()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上【解析】选D.由=+得=,所以=·,所以点P在射线AB上.2.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且QUOTE=QUOTE.下列关系中正确的是 ()A.=QUOTE B.+=QUOTEC.=QUOTE D.+=QUOTE【解析】选A.由已知,====QUOTE,所以A正确;+=+==QUOTE,所以B错误;===QUOTE,所以C错误;+=+,QUOTE==,若+=QUOTE,则=0,不合题意,所以D错误.3.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若点M满足|λ|=0且S△ABC=3S△ABM,则实数λ=.