数值实验报告-实验三

数值实验报告实验题三数值实验报告实验题三实验3.1多项式插值的振荡现象3.1.1问题提出考虑一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼近的函数。龙格（Runge）给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上函数 考虑的一个等距划分，分点为 则拉格朗日插值多项式为 其中是次拉格朗日插值基函数。3.1.2实验内容3.1.2.1第一小题选择不断增大的分点数目，画出原函数及插值多项式函数在上的图像，比较并分析实验结果。（1）MATLAB代码程序3.1.1：拉格朗日插值公式函数lag_interp.mfunctionf_n=lag_interp(xn,yn,x0)%LagrangeInterpolation%%Type1:y=lag_interp(xn,yn,x0)%Ifxisinput,thenthefunctionreturnsanumericalvalueLn(x0),which%isequaltovpa(subs(lag_interp(xn,yn),x,x0)).%%Type2:y=lag_interp(xn,yn)%Ifxisnotinput,thethefunctionreturnsansymbolicfunctionLn(x).%Safeguardsforinputarguments[dim1,dim]=size(xn);ifdim1~=1error('xnmustbealinevector.')endifdim<=1error('Theremustbeatleast2points.')end[dim1,dim2]=size(yn);ifdim1~=1error('ynmustbealinevector.')endifdim2~=dimerror('Thedimentionofxnandynmustagree.')end%Langrangeinterpolationsymsx;f_result=0;fori=1:diml=1;forj=1:dimifi~=jl=l*(x-xn(j))/(xn(i)-xn(j));endendf_result=f_result+yn(i)*l;endifnargin==2%Ifxisnotinput,thethefunctionreturnsansymbolicfunctionLn(x).f_n=f_result;elseifnargin==3%Ifxisinput,thenthefunctionreturnsanumericalvalueLn(x0).f_n=vpa(subs(f_result,x,x0));end程序3.1.2：产生n个分点的函数gen_eqpts.mfunctionxn=gen_eqpts(left,right,n)%Returnsann-dimentionallinevectorofequidistantpointsoninterval[left,right]%%Type:xn=gen_eqpts(left,right,n)%%'left'isthelowerboundaryoftheinterval.%'right'isthelowerboundaryoftheinterval.%'n'isthenumberofequidistantpoints.nmustbeanintegergreaterorequalto2.%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreserved%Safeguardsforinputargumentsifleft>=righterror('Theupperboundmustbegreaterthanthelowerbound.')endifmod(n,1)~=0error('nmustbeaninteger.')endifn<2error('nmustbeatleast2.')end%Startgeneratingxn=zeros(1,n);xn(1)=left;fori=2:nxn(i)=left+(i-1)/(n-1)*(right-left);end程序3.1.3：第一小题主程序ex311.m%Experiment3.1(1)%ComparisonofLagrangeInterpolationandoriginalfunction%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('Pleaseinputthenumberofequidistantpoints.n=£º');holdonsymsx;f=@(x)1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1);y0=f(x0);plot(x0,y0,'-k');xn=gen_eqpts(-1,1,n);yn=f(xn);plot(x0,lag_interp(xn,yn,x0),'--b');（2）问题的探索n=2时，原函数图像（黑色实线）和插值函数图像（蓝色虚线）如图所示n=3时，图像如图所示n=4、5，图像如图所示:n=6、7时，图像如图所示n=8、9时，图像如图所示（3）结论我们可以发现，n为6时，插值函数的走势与实际函数较为接近。然而n越大时，虽然与原函数的值更为接近，但在较远处与函数的误差越来越大。3.1.2.2第二小题的求解选择不断增大的分点数目，画出原函数及插值多项式函数在上的图像，比较并分析实验结果。（1）MATLAB代码程序3.1.4：第二小题主程序ex312.m%Experiment3.1(2)%ComparisonofLagrangeInterpolationandoriginalfunction%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('Pleaseinputthenumberofequidistantpoints.n=');symsx;g=@(x)x./(1+x.^4);h=@(x)atan(x);x0=linspace(-5,5);y01=g(x0);y02=h(x0);xn=gen_eqpts(-5,5,n);yn1=g(xn);yn2=h(xn);subplot(1,2,1),holdon,plot(x0,y01,'-k'),plot(x0,lag_interp(xn,yn1,x0),'--b');subplot(1,2,2),holdon,plot(x0,y02,'-k'),plot(x0,lag_interp(xn,yn2,x0),'--b');（2）问题的探索时，原函数（黑色实线）及其插值函数（蓝色虚线）的图像如图所示：时，图像如图所示、5时，图像如图所示：、7时，图像如图所示：（3）结论我们可以发现Lagrange插值对于趋势变化较大的函数拟合效果不是很好，且次数越高，振荡越明显。3.1.2.3第三小题的求解本小题要求通过构造Chebyshev点替代等距点，检验Lagrange的效果。（1）MATLAB程序程序3.1.5：构造Chebyshev点的函数gen_chpts.mfunctionxn=gen_chpts(left,right,n)%Returnsann-dimentionallinevectorofchebyshevpointsoninterval[left,right]%%Type:xn=gen_chpts(left,right,n)%%'left'isthelowerboundaryoftheinterval.%'right'isthelowerboundaryoftheinterval.%'n'isthenumberofequidistantpoints.nmustbeanintegergreaterorequalto2.%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreserved%Safeguardsforinputargumentsifleft>=righterror('Theupperboundmustbegreaterthanthelowerbound.')endifmod(n,1)~=0error('nmustbeaninteger.')endifn<2error('nmustbeatleast2.')end%Startgeneratingxn=zeros(1,n);n=n-1;xn(1)=left;fori=1:(n+1)xn(i)=(right+left)/2+(right-left)/2*cos((2*i-1)*pi/2/(n+1));end程序3.1.6：第三小题主程序ex313.m%Experiment3.1(3)%ComparisonofLagrangeInterpolationandoriginalfunctionusingChebyshevpoints.%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('PleaseinputthenumberofChebyshevpoints.n=');holdonsymsx;f=@(x)1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1);y0=f(x0);plot(x0,y0,'-k');xn=gen_chpts(-1,1,n);yn=f(xn);plot(x0,lag_interp(xn,yn,x0),'--b');（2）问题的探究时，原函数（黑色实线）及其插值函数（蓝色虚线）的图像如图所示：时，图像如图所示：、5时，图像如图所示：、7时，图像如图所示：（3）实验结论可以发现，在中，等距点与Chebyshev点的拟合程度差距不明显。实验3.2样条插值的收敛性3.2.1问题的提出在探究完多项式插值后，本实验拟检验样条插值的收敛性。3.2.2实验内容3.2.2.1第一小题的求解随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。分析所得结果并于Lagrange多项式插值比较。（1）MATLAB程序程序3.2.1：第一小题主程序ex321.m%Experiment3.2(1)%ComparisonamongCubicSplineInterpolation,LagrangeInterpolationand%originalfunction.%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedn=input('Pleaseinputthenumberofequidistantpoints.n=');holdonsymsx;f=@(x)1./(1+25*x.^2);x0=linspace(-1,1);y0=f(x0);plot(x0,y0,'-k');xn=gen_eqpts(-1,1,n);yn=f(xn);plot(x0,spline(xn,yn,x0),'-b');plot(x0,lag_interp(xn,yn,x0),'--g');（2）问题的探究当、3、4时，原函数（黑色实线）、样条插值（蓝色实线）与多项式插值（绿色虚线）图像如图所示：时，两拟合图像开始分离，图像如图所示、7时，图像如图所示（3）结论可以发现，样条插值的振荡较多项式插值更小。3.2.2.2第二小题的求解画出给定数据的三次样条插值曲线。（1）MATLAB程序程序3.2.2：第二小题主程序ex322.m%Experiment3.2(2)%Usesplinedatainterpolationwithslopesatbothendings%%ThismfileiscodedbySteveZhao.Forreferenceonly.%%Theauthorwillnotberesponsibleforanypotentialconsequencesthatmay%causedbythisfile.%%(c)20163gStudio.Allrightsreservedx0=0:10;y0=[0.00.791.532.191.713.033.272.893.063.193.29];pp=csape(x0,y0,[0.80.2]);x=linspace(0,10);plot(x,ppval(pp,x),'-b')（2）结果通过MATLAB的csape命令，我们可以轻松画出本题所求的图形：3.3思考题一3.3.1问题的提出在丘陵地带测量高程，和方向每隔100米测一个点，得高程数据。用二维插值函数进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。3.3.2问题的求解由于线性插值效果不佳，此处使用二元三次样条插值。（1）MATLAB程序程序3.3：思考题一主程序ex33.m%Exp