2023-2024学年北京市顺义区高二年级下册期中考试数学试题（含答案）

2023-2024学年北京市顺义区高二下册期中考试数学试题

一、单选题

1.8,2的等差中项是()

A.±5B.±4C.5D.4

【正确答案】C

【分析】利用等差中项的定义直接求解.

QiO

【详解】8,2的等差中项为三=5.

故选：C

2.已知/(x)=x+e*,则f'(0)的值为()

A.1B.2C.eD.∖+e

【正确答案】B

【分析】根据导数计算公式与法则即可得结果.

【详解】由/(x)=x+/,则r(x)=l+",所以r⑼=l+e0=2,

故选：B.

3.己知数列｛为｝中，an=∖∖-2n,S,,是数列｛《,｝的前〃项和，则S,,最大值时”的值为()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】B

【分析】首先表示出S,,,再根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：因为4=11-2"，所以S“=(9+"；2")"=_〃2+IO〃=_(〃_5)2+25

所以当〃=5时S“取最大值，且⑸L=25；

故选：B

4.下列求导运算正确的是()

β∙9=InX

A.(SinX)=-COSx

χ

C.(a')/=xa-'D.

【正确答案】D

【分析】利用常见函数的导数对选项分别求导即可.

【详解】对于A选项，（sinj=cosχ,A选项错误;

对于B选项,ʌ,B选项错误;

X

对于C选项,（优）=axIna,C选项错误;

故选：D

5.设等比数列的前〃项和是S〃，02=-2,。5=-16,则S6=（

A.-63C.-31

【正确答案】A

由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出56.

【详解】解：设公比为4,则%=痴，即-16=-2q3,解得4=2,所以q=亍=T,

故选:A.

6.曲线y=Uτ在点（2,2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A.20B.16C.12D.8

【正确答案】D

【分析】利用导数求出所求切线的方程，进而可求得切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角

形的面积公式即可得解.

【详解】令=W，则/（"）=一（六了，r（2）=τ,

所以，曲线y=M在点（2,2）处的切线方程为x+y-4=0,

与X轴的交点为（4,0）,与丫轴的交点为（0,4）,故所求三角形的面积为∕X42=8.

故选：D.

本题考查切线与坐标轴围成的三角形面积计算，解答的关键就是求出切线的方程，考查计算

能力，属于基础题.

7.在等差数列｛%｝中，若&，%是方程f+3x+2=0的两根，则｛q｝的前12项的和为()

A.12B.18C.-18D.-12

【正确答案】C

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得％+%=-3,由等差数列性质及前〃项和公

式计算即可得出结果.

【详解】由4，%是方程V+3x+2=0的两根，利用韦达定理可得4+%=—3;

则｛a”｝的前12项的和S∣2-at+a2H-----1-<7∣∣+αl2=5(4+%)；

由等差数列性质可得4+《2=4+%，即S?=6(CJI+αl2)=6(α6+o7)=-18;

故选：C

8.《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织,

日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，

每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女

子第11天织布()

A.ɪ■'尺B.尺C.袋尺D.Z尺

329293

【正确答案】B

女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织

布数.

【详解】设女子每天的织布数构成的数列为｛α,,｝,由题设可知｛4｝为等差数列,

1-54

且4=5,%J=1,故公差"=寸=一

3U—iZv

故选：B.

9.若函数/(x)=2x+αsinx在(YO,+∞)上单调递增，则实数。的取值范围是()

A.[—2,2]B.(—2,+∞)C.[—2,+8)D.(TI)

【正确答案】A

【分析】由导数判断单调性求解

【详解】")=2+3,由题意八小。恒成立,故2+0-

解得-2≤a≤2

故选：A

10.已知函数/(x)=(X-I)2犬，下列结论中错误的是()

A.函数/(χ)有零点

B.函数/(x)有极大值，也有极小值

C.函数/(x)既无最大值，也无最小值

D.函数/(x)的图象与直线y=l有3个交点

【正确答案】C

【分析】由/(1)=0确定A正确，结合导数判断BCD选项的正确性.

【详解】./■⑴=0,所以A选项正确.

/(x)=(x+l)(x-l)et,所以F(X)在区间(Y>,T),(1,+∞)上F(X)>0j(x)递增,在区间

(-1,1)±∕(%)<OJ(x)递减，

所以当4-1时，/(x)有极大值/(-I)=：*,

当x=l时，〃x)有极小值/⑴=0,所以B选项正确.

注意到/(X)WO恒成立，所以/⑴=O是/(X)的最小值，C选项错误.

画出/(x)的大致图象如下图所示，由图可知函数F(X)的图象与直线)=1有3个交点，D选

项正确.

故选：C

二、填空题

11.函数/(x)=InX-Or在X=I处有极值，则常数“=.

【正确答案】1

【分析】根据极值定义可得/'(1)=0,求导并将x=l代入计算即可求得α=l

【详解】由/(x)=InX-Or可得/(X)=(-α,

又〃x)在X=I处有极值，所以可得尸(I)=0,

即广⑴=；-“=0,所以α=l.经检验满足题意，

故1

12.已知数列｛%｝中，q=l,an+t=3an-∖,则％=.

【正确答案】41

【分析】直接由递推式逐一计算得出的即可得解.

【详解】由题意外=30∣T=2,α3=3a2-1=5,α4=3a3-1=14,α5=3α4-l=41.

故41.

三、双空题

13.已知函数/(x)的定义域为七JU)的导函数f'(x)=(x-α)(x-2),若函数无极值,

则a=；若x=2是/(x)的极小值点，则a的取值范围是.

【正确答案】2a<2

【分析】对。进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.

【详解】当“<2时,在区间(-∞,a),(2,+∞)上/(x)>O,"x)递增，在区间(。,2)上

/(x)<OJ(x)递减.f(x)的极大值点为4,极小值点为2.

当α=2时，f(x)=(x-2)2≥0,f(x)在R上递增,无极值.

当a>2时,〃力在区间(-∞,2),(4,+∞)上F(X)>Oj(x)递增,在区间(2M)上

/(x)<0j(x)递减.f(x)的极大值点为2,极小值点为

故2；«<2

四、填空题

14.已知数列｛。〃｝满足：¾=n,bn=,｛%｝的前n项和为S,,则S2021=

anan,y

2021

【正确答案】病

【分析】利用裂项求和即可求得答案.

111

【详解】由已知可得d=

al,an+tn(n+l)nn+∖

11111

故s〃=—+—+—+÷-----=.-l÷l-l÷+——

aaaaaaaa223nZ2+1

λ22334nn+∖

=1--.

〃+1〃+1

2021

2022

故答案为:貌

x∖nx,x>a,

15.已知函数/(X)=其中”>0.如果对于任意为，XfR，且χ<w,都

2

-X+2x-3,x≤a9

有/ɑ)</(%),则实数。的取值范围是.

【正确答案】ILIl

e

【分析】把题意翻译为函数/(X)在R上单调递增，则两段函数分别递增，且在分界处右端点

大于等于左端点的函数值即可.

【详解】解：对于任意4,x2∈∕?,且玉<七，都有/区)</。2)成立，即函数/(X)在R上

单调递增，

先考察函数g(x)=-∕+2x-3,xeR的单调性，

酉己方可得g(x)=-(x-l)2-2,

函数g(x)在(-,I)上单调递增，在。,内)上单调递减，且g(xj=g(1)=-2,

⅛,1,

以下考察函数〃(X)=XI2，X€(0,+8)的图象，

则"(x)=lnx+l,令〃(X)=Inx+l=O,解得X=I■.

e

随着X变化时，Kx)和//(X)的变化情况如下：

(θ,ɪ)

Xɪ(L+∞)

eee

h'(x)—0+

h(x)单调递减极小值单调递增

即函数〃(X)在(0-)上单调递减，在(La)上单调递增，且MX)加,,=M3=-L

eeee

对于任意X］,X2≡Rf且须</，都有了($)</*2)成立，

1

•∙a.«•,

e

一,>一2，即h(x)mill>g(x)mtx,

e

的取值范围为［Li

e

故H』］.

e

五、解答题

16.已知函数/(x)=gχ3-2x,+3x+l.

⑴求函数”x)在点户T处的切线方程；

⑵求函数在［-3,4］的最大值和最小值.

【正确答案】(l)y=8χ+日

7

(2)最大值为最小值为-35

【分析】(1)根据导数的几何意义求出函数/(x)在AT的导数值，即切线斜率；代入直

线的点斜式方程即可；(2)利用导数判断出函数/(x)在［-3,4］上的单调性，求出极大值和

极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值.

【详解】(1)易知，函数/。)=；1-2》2+3》+1的定义域为;<：«1‹；

所以l)=-g-2-3+l=*,则切点为，1,一同

又/'(X)=X2-4x+3=(x-3)(x-1),

则/(X)在点X=-1处的切线斜率k=Γ(-D=8,

Iɜ11

所以，切线方程为y+左=8(x+l),整理可得y=8x+彳

即函数“X)在点4-1处的切线方程为y=8χ+g.

(2)由(1)可知,当x∈(l,3)时,f'(x)<O,“X)在(1,3)上单调递减；

XG(TI)或(3,4)时，∕,(x)>0,/(x)在(一3』)或(3,4)上单调递增；

函数”x)在［-3,4］上的单调性列表如下：

X[Tl)1(L3)3(3,4]

“X)/极大值极小值

17

所以，/(X)的极大值为f(l)=g-2+3+l=:,极小值为/(3)=9—2x9+9+l=l;

χ∕(-3)=-9-2×9-9+l=-35,/(4)=y-2×16+3×4+l=∣；

综上可得，函数“X)在[-3,4]上的最大值为不最小值为-35

17.已知数列｛《,｝满足4=1,如=2,等差数列也｝满足仿=α,,b2=ay.

(1)求数列｛q,｝,｛2｝的通项公式；

(2)求数列｛an+d｝的前”项和.

【正确答案】(1)a,,=2"',⅛=7-3n;(2)2--l÷11-~3π^

【分析】(1)依题意｛4｝为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得。“；由4=%，H=4,

求出公差，进而得到以；

(2)求得q,+%=2"T+7-3”,利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可

得所求和.

【详解】解：(1)由4=1,­=2,

a,,

可得4,=2"T;

设等差数列也』的公差为d,

由4=%=4,%=q=l,

可得d=bi=-3,

则b,=4-3("-l)=7-3w;

(2)a,,+bn=2'-'+7-3n,

可得数歹|]｛。〃+2｝的前"项和为(1+2+4+...+2"-')+(4+1+...+7-3")

1-2"1,l∖n-3n2

=------+-"(4+7-3")=2''-1+------------.

1-222

18.已知｛%｝是等差数列，其前〃项和为S“，%=-3再从条件①条件②这两个条件中选择

一个作为已知，求：

⑴数列｛%｝的通项公式；

(2)S,,的最小值，并求S“取得最小值时〃的值.

条件①：S'=-24;条件②：q=2%.

【正确答案】(1)条件①：α),=2"-ll,"∈N+;条件②：a,,=3n-15,∕7∈N+

⑵条件①：〃=5时，最小值为S5=-25；条件②：〃=4或〃=5时，最小值为邑=Ss=-30.

【分析】（I）根据等差数列定义，设出公差d利用所选条件分别解得《和d，即可写出数列

的通项公式：（2）根据通项公式可得前〃项和为S,,的表达式，再根据二次函数性质即可求

得最小值.

【详解】（1）若选择条件①：

设等差数列｛¾｝的公差为d,由4=-3可得α,+3J=-3;

又S4——24,彳导4α∣H---d=—24,即2α∣+3d=-12；

（W得q=-9,d=2,

所以Q“=q+（π-l）J=-9+2（/1-1）=2/7-11；

即数列｛%｝的通项公式为¾=2n-ll,n∈N+.

若选择条件②：

设等差数列｛叫的公差为d,由4=-3可得al+3d=-3.

又〃1=2〃3，即q=2（4+2d）,得q+4d=0；

解得q=T2,d=3;

所以4=4+（〃一l）d=-12+3（π-l）=3n-15；

即数列｛%｝的通项公式为4=3"-15,"GN*.

（2）若选择条件①：

2

由aιl=2n-∖∖,neN*可得，S„=-9n+ʊ×2=ιr-10Λ=（Π-5）-25；

根据二次函数的性质可得当〃=5时，S“=-25为最小；

即〃=5时，S”取最小值，且最小值为项=-25.

若选择条件②：

由a“=3”-15,〃eN+可得，S“+^∙x3=∙∣（,2-9"）=∙∣（".q）'

根据二次函数的性质可得当“=4或〃=5时，S“=-30为最小;

即〃=4或〃=5时，S”取最小值，且最小值为H=<=-30.

19.商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量》（单位：千克）与销售价格1（单位:

元/千克)满足关系式r=—+IO(x-6)∖其中3<κ<6,4为常数，己知销售价格为5

Jr-3

元/千克时，每日可售出该商品U千克.

(1)求a的值；

(2)若商品的成品为3元/千克，试确定销售价格一I∙的值,使商场每日销售该商品所获得的利

润最大

【正确答案】(1)因为t=S时r11，所以"+∣0Mlna-2；

2

(2)由(1)知该商品每日的销售量】=—“—+IO(K一6)：，所以商场每日销售该商品所获得的

X-3

2

利润：/(x)=(x-3)[——÷10(X-6)2]=2+10(X-3)(X-6)2,3<x<6;

x-3

f'(X)=IOKX-6)2+2(x-3)(X-6)]-30(x-4)(x-6),令r(X)=0得*=4函数/(X)在(3,4)上

递增，在(4,6)上递减，

所以当Λ-4时函数/(κ)取得最大值/(4)-42

答：当销售价格Λ-4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

【详解】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品Il千克.把x=5,y=ll代入

I="一+∣0(t-6)'a..于a的方程即可求a..

X-3

(2)在(1)的基础上，列出利润关于X的函数关系式，

利润=销售量X(销售单价一成品单价)，然后利用导数求其最值即可.

20.已知函数/(x)=Inx+αr(aeR).

⑴若曲线y=f(x)在x=l处的切线与直线2x—y+3=0平行，求α的值；

⑵求函数F(X)的单调区间；

(3)若存在％,使得/(毛)>0,求”的取值范围.

【正确答案】(l)α=l

(2)见解析

⑶

【分析】(1)由导数的几何意义结合题意知，/<1)=2,解方程即可得出答案;

(2)对/(x)求导，讨论α≥0和α<0时，即可得出函数/(x)的单调区间；

(3)由(2)知，当αN0时，/(l)=α≥O,则存在％,使得/(%)>O,当α<O时,

/(xL==解不等式即可求出”的取值范围.

【详解】(1)直线2χ-y+3=0的斜率为k=2,

因为∙f(x)=-+α,所以由导数的几何意义知，Γ(l)=2,

所以1+4=2,解得.4=1

(2)/(Λ-)=lnx÷av(67∈R)的定义域为(θ,y),

,,/\11+O¥

/'G)=-+α=------,

XX

当α≥O时,/")>O,则”x)在(0,+8)上单调递增，

当“<0时，令f'(x)=O,解得：x=-→0,

令用x)>0,得0<χ<-/令ιf(χ)<O,得x>[,

所以/(x)在(o,-：)上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当“≥0时，则〃x)单调递增区间为(0,+8)；

当“<0时，/。)单调递增区间为(0，-£),单调递减区间为,：,+8].

(3)若存在吃,使得〃为)>0,转化为证明"x)πm>0,

由(2)知，当α≥0时，则”x)在(0,+8)上单调递增，而/(l)=α≥O,

则存在方,使得“χ°)>o,

当“<0时，/(x)在(0,-£(上单调递增，在(-、+e)上单调递减.

所以八X)M=OlnT-I>0,

解