2024届全国百强名校领军考试高二年级上册数学期末经典模拟试题含解析

2024届全国百强名校领军考试高二上数学期末经典模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知圆。的方程为d+y2+2x—4y—4=0,则圆心。的坐标为()

A.(-l,2)B.(l,-2)

C.(-2,4)D.(2,-4)

2.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点”、N是锐角NAQ3的一边QA上的两点，试在边上找一点P,

使得NMPN最大的."如图，其结论是：点P为过河、N两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决一

下问题：在平面直角坐标系xOv中，给定两点M(-L2),N(l,4),点p在x轴上移动，当NMPN取最大值时，点P

的横坐标是()

B.2

C.1或-7

D.2或-7

1__

3.在一ABC中,NA、DB、NC所对的边分别为。、b、c,若乙4=§,。=出，b=6，则NB=()

4.曲线y=/(x)在％=1处的切线如图所示，则/。)一/(1)=()

5.观察数列工（）,-士，!，。L的特点，则括号中应填入的适当的数为（）

262030

1111

A.—,------

124012540

111

D.—,

1242

6.已知双曲线C：13=1（。〉0,匕＞0）的一条渐近线被圆（*一2）2+丁2=4所截得的弦长为2,的C的离

a

心率为()

A.0B.6

C.2D.非

22

7.方程上一+上一=1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则左的取值范围是（）

4一kk-1

,,5

A.1<上<一

2

5,“

C.左<1或左>4D.-<人<4

2

8.设是区间切上的连续函数，且在（a,与内可导，则下列结论中正确的是。

A.f（x）的极值点一定是最值点

B./。）的最值点一定是极值点

C./（x）在区间［a,b\上可能没有极值点

D./（x）在区间［a,可上可能没有最值点

9.已知函数〃尤）及其导函数尸（龙），若存在/使得/&）=/'（%）,则称/是〃%）的一个“巧值点”.下列选项中

没有“巧值点”的函数是0

A./(%)=x2B./(x)=lnx

C.D./(x)=cosx

10.某机构通过抽样调查，利用2x2列联表和K?统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得K?=3.305,经查对临

界值表知。(片之2.706卜0.10,尸(片23.841)。0.05,现给出四个结论，其中正确的是()

A.因为K2>2.706，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

B.因为K2<3.841,故有95%把握认为“患肺病与吸烟有关”

C.因为K2>2.706，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

D.因为K?<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

11.已知函数/⑺=xlnx+Mx—a)2(aeR),若对任意xe1,2,都有矿(尤)>“力成立，则a的取值范围为

()

93

A.(-oo,-)B.(-co,-)

C.(-oo,V2)D.(-oo,3)

12.已知直线/1：%=-1,l2:x-^3y+5=0,点P是抛物线/=4x上一点，则点尸到直线4和4的距离之和的最

小值为()

5

A.2B.-

2

7

C.3D.-

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知正方形ABC。的边长为2,对部分以为轴进行翻折，A翻折到4,使二面角A--C的平

面角为直二面角，则A'B-CD=•

2

14.数列｛4｝的前n项和S“满足：Sn=n-ln-1,则

15.曲线y=xsinx在尤=,处的切线方程为.

16.过抛物线丁=2px(p〉0)的焦点E作直线交抛物线于A3两点，。为坐标原点，记直线。A03的斜率分别为

kvk2,则匕-k2=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知二次函数y=x?+2ax+2.

(1)若时，不等式y>3以恒成立，求实数a的取值范围.

(2)解关于x的不等式+x>f+2ax+2(其中aeR).

18.(12分)记数列｛4｝的前"项和为S,,已知点(〃,')在函数/(%)=/+2》的图像上

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设2=-----,求数列也｝的前9项和

aM+i

19.(12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为

V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该

蓄水池的总建造成本为12000n元(n为圆周率)

(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大

20.(12分)已知点4(—3,0),5(1,0),线段A3是圆"的直径.

(1)求圆的方程；

(2)过点(0,2)的直线/与圆M相交于£),E两点,且|£)国=26，求直线/的方程.

22

21.(12分)已知椭圆C:j+==l(a〉6〉0)的右顶点为A,上顶点为8.离心率为:，|48|=夕.

a1)一

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若M,N是椭圆。上异于长轴端点的两点(MN斜率不为0),已知直线/x=4,且跖垂足为M1,

NNJF垂足为若。且。〃1乂的面积是面积的5倍，求面积的最大值.

22.(10分)已知椭圆C：9x2+j2=m2(/n>0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A,B,线段

A5的中点为M

(1)证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；

VY1

(2)若/过点(了,加)，延长线段OM与C交于点尸，四边形。4尸5能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若

不能，说明理由

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.

【详解】圆C的标准方程为（x+iy+（y—2）2=9,圆心C的坐标为（—1,2）.

故选：A.

2、A

【解析】根据米勒问题的结论，P点应该为过点M、N的圆与x轴的切点，设圆心C的坐标为（。力），写出圆的方

程，并将点M、N的坐标代入可求出点P的横坐标.

【详解】解：设圆心。的坐标为（。*），则圆的方程为（％—aY+（y—5）2=/,

(-l-a)2+(2-b)2=b2

将点M、N的坐标代入圆的方程得

(一『+(4

a—\a=—7

解得7C或7（舍去），因此，点尸的横坐标为1，

b=2[b=10

故选:A.

3、B

【解析】利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得比

,A/30

nh------=______

【详解】根据题意，由正弦定理一^=」；，可得：石一sinB，

sinAsinB

2

解得sin5考,故可得”或Y，

冗

由〃〉/?,可得故8=—

4

故选：B.

4、C

【解析】由图示求出直线方程，然后求出/(i)=-g,r(i)=1,即可求解.

【详解】由直线经过(0,-1),(2,0),可求出直线方程为：x—2丁一2=。

；丁=/(%)在兀=1处的切线

x-211

••/(D=-=/⑴=5

•••八1)小)=;-1!=i

故选：c

【点睛】用导数求切线方程常见类型：

(1)在「(%,%)出的切线：「(%,%)为切点，直接写出切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)；

⑵过出的切线：&%,%)不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标(%,％)，再写出切线方程:

＞一%=/'(%)。一再).

5、D

/,\"+11

【解析】利用观察法可得可=一1(即得.

/\n+l1

【详解】由题可得数列的通项公式为4=-1(

_11

,"运"6=一行

故选：D

6、C

【解析】由双曲线的方程可得渐近线的直线方程，根据直线和圆相交弦长可得圆心到直线的距离，进而可得34=加，

结合储+82=。2,可得离心率.

h

【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=—x,即云-@=0,被圆(x—2)9+/=4所截得的弦长为2,所以圆心(2,0)

a

到直线的距离为JF=7=旧,

d=

=I,2>解得3a2=/,e=±=叵L=2

7a~+aa

故选：C

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率、直线和圆的相交弦、点到直线距离等基本知识，考查了运算求解能力

和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.

7、D

【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.

22

【详解】因为方程二一+二二=1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，

4-kk-1

所以左一1>4—左>0,解得』<左<4.

2

故选：D.

8、C

【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断

【详解】根据函数的极值与最值的概念知，Ax)的极值点不一定是最值点，A*)的最值点不一定是极值点.可能是

区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A,B,D都不正确，若函数/(元)在区间切上单调，

则函数f(x)在区间勿上没有极值点，所以C正确

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题

9、C

【解析】利用新定义：存在内使得/(%)=/'(/)，则称/是/(X)的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的

判断即可

【详解】对于A,f(x)=x2,则((x)=2x,令必=2%，解得x=0或X=2,即尸(幻=/(幻有解，故选项A的

函数有“巧值点”，不符合题意；

对于B,/(x)=lnx,贝！|f(x)=L令lnx=L,令g(x)=lnx-L(x>0),则g(x)在x>0时为增函数，；g(l)=-l<0,

xx尤

g(e)=l-->0,由零点的存在性定理可得，g(x)在(l,e)上存在唯一零点，即方程/'(%)=/(%)有解，故选项B的

e

函数有“巧值点”，不符合题意；

对于C,/(x)=eT,则r(x)=-令e-*=-e-x，故方程无解，故选项C的函数没有“巧值点”，符合题意;

对于D,/(x)=cosx,贝!]r(尤)=-sin尤，

令一sinx=cosx,

则sinx+cosx=0=>V2sinx+—=0=>x+—==-,A:eZ.

I4J44

•••方程/'(x)=/(x)有解，故选项D的函数有“巧值点”，不符合题意

故选：C

10、A

【解析】根据给定条件利用独立性检验的知识直接判断作答.

【详解】因K?=3.305,且3.305>2.706,由临界值表知，P(^2>2.706)-0.10,1-0.1=90%,

所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.

因临界值3.841>3.305,则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，

也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B,D都不正确.

故选：A

11、C

【解析】求出函数/(%)的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.

【详解】对函数/(x)=xlnx+x(x-6/)2求导得：/'(犬)=1+lux+(x-a)2+2x(x-a),

VXG[-,2],矿(x)>〃x)ox[l+lnx+(x—a)2+2x(%—〃)]>xlnx+x(x—a)2,

2

则X/xwd,2],2a<2x+~,而2x+、2=2近,当且仅当2%=1，即》时，，=",

2xxVxx2

于是得2a<20，解得a<Ji，

所以。的取值范围为(-叫、历).

故选：C

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.

12、C

【解析】由抛物线的定义可知点P到直线4和4的距离之和的最小值即为焦点/(1,0)到直线4的距离.

【详解】解：由题意，抛物线的焦点为b(1,0),准线为4：x=-i,

所以根据抛物线的定义可得点p到直线4的距离等于|母|,

|l-^xO+5l

所以点p到直线4和i,的距离之和的最小值即为焦点/(1,0)到直线4的距离d=I/冒=3，

故选：c.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解析】根据之)=最，则4>Bcb=4%•原，根据条件求得向量夹角即可求得结果.

【详解】由题知，CD=BA'取8。的中点。连接如图所示，

则AO，5D,4O，5。，又二面角A-BD-C的平面角为直二面角，

则？AO490°,又AO=A'O=0,

ff2万

则A4'=2,八W为等边三角形，从而<4昆比1>=3-,

——tt27r

则A'BCZ>=A'B3A=2x2xcos—=-2,

3

故答案为：-2

；-2,n=l

14、\

2n-3,n>2

【解析】利用“当〃=1时，4=耳；当时，a〃=S“一S“T”即可得出.

22

[详解】当“22时，«„=5„-5„_1=H-2n-l-[(n-l)-2(n-l)-l]=2n-3,

当九=1时，q=S]=l-2-l=-2,不适合上式,

-2,(n=l)

数列｛4｝的通项公式4=<

2〃一3,(〃>1)

-2,n=l

故答案为：<

2n-3,n>2

15、,=%

【解析】先求出函数y=%sinx的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.

【详解】解：由y=xsinx,

得y'=sinx+xcosx,

则y'U，

2

即当尤=工时，y>

2-2

所以切线方程为：丁=龙，

故答案为：y=%.

【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.

16、-4

【解析】过焦点歹作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.

【详解】抛物线r=2px(p>0)的焦点F(1,0)

当过焦点R的直线斜率不存在时，直线方程可设为％=券，不妨令A(W，p),B(g,—p)

k=B=2k=—=-2

则％二故匕.&=2x(—2)=_4

当过焦点e的直线斜率存在时，直线方程可设为y=k(x-g),令4(西,%),3(々,%)

由<y=以*一万)整理得442/_4p(k?+2)x+k~p~=0

y=2px

贝！I%+x2=P*2+2),xtx2=—，

k4

2

X%=左2(X]—g®--1)=kxxx2_，(玉+X2)+

—欧a+%)+止.以^^21g

12

占此=&x涯=里=P+24=E+———£-------=-4

%x2xrx2xxx2p~

T

综上，匕•42=—4

故答案为：—4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)。<20；(2)答案见解析.

【解析】(1)结合分离常数法、基本不等式求得a的取值范围.

(2)将原不等式转化为(1-2)(疑+1)>0,对。进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【详解】(1)不等式/(力>3依即为：x2-ax+2>0,

rix2+22/2)

当XG1,5时，可变形为：a<^—^=x+~,即a<X+—.

XXIX人ni

XX+|>2^|=2A/2,当且仅当X=2,即尤=041,5］时，等号成立,x+2]=2。,即a<2万

xJmin

二实数a的取值范围是：a<26.

(2)不等式(Q+l)f+%>/(%),即(a+l)f+%>x2+26a+2,

等价于av?+(l-2^)x-2>0,即(％—2)(依+1)>。,

①当。=0时，不等式整理为x—2>0,解得：x>2；

当awO时，方程(x—2)(ta+l)=0的两根为：石=—：，x2=2.

②当a>0时，可得—：<0<2,解不等式(％—2)(依+1)>0得：x<—：或x>2；

③当—g<a<0时，因为—!〉2,解不等式(x—2)(ta+l)>0得：2<%<-!；

④当。=—g时，因为一：=2,不等式(％—2)(依+1)>0的解集为0；

⑤当a<—万时，因为—<2,解不等式(x—2)(<zx+1)>0得：—<x<2

综上所述，不等式的解集为:

①当a=0时，不等式解集为(2,+8)；

②当a>0时，不等式解集为Ju(2,+oo)；

③当一，<“<0时，不等式解集为(2,—，］；

2<a)

④当。=—工时，不等式解集为0;

2

⑤当。<一工时，不等式解集为1-，,21.

2a)

18、(1)an=2n+l

⑵-

7

【解析】(1)利用乙,S"的关系可求4=2"+1.

(2)利用裂项相消法可求数列｛2｝的前9项和

【小问1详解】

由题意知色=/+2"

当时，an=Sn-Sn_}=2n+\-

当”=1时，q=Si=3,适合上式

所以4=2〃+1

【小问2详解】

2_2_]1

ctnan+x(2n+1)(2〃+3)2几+12〃+3

…71111111162

贝!]&+仇++7a=----------1------------F-\--------------------------————

935571921321217

19、(1)V(r)=—(300r-4r3)(0,5«)

5

(2)见解析

【解析】(D先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式

200•不泌+160乃/=12000万，从中算出丸=」-(300—4/),进而可计算

5r

1JT

V(r)=nr2h=7vr2x—(300-4r2)=-(300r-4r3),再由厂>0,丸>0可得0<r<5百；(2)通过求导

5r5

Vf(r)=|(300-12r2),求出函数V(r)在0<r<56内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出丫取

得最大值时厂,〃的值.

(1)•••蓄水池的侧面积的建造成本为200•%明元，底面积成本为160万/元

二蓄水池的总建造成本为200-万泌+160万/元

所以即200•乃历+160乃/=12(X)0乃

1

.,"=丁(300-4产9)

1JT

：.V(r)=7rr2h=Tz-r2x—(300-4r2)=-(300r-4r3)

5r5

又由厂>0,/z>0可得0<r<56

故函数V(r)的定义域为(0,5百)

⑵由⑴中V(r)=3300—47),0<厂<5百

可得V'⑺=g(300—12/)(0<厂<5白)

jr

令V，(r)=《(300—12/)=0,则r=5

.•.当re(0,5)时，口(厂)>0,函数丫⑺为增函数

当re(5,5石),V'⑺<0,函数丫⑺为减函数

所以当厂=5,〃=8时该蓄水池的体积最大

考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.

20、(1)(x+l)2+y2=4；

(2)x=0或3x-4y+8=0.

【解析】(DAB两点的中点为圆心，AB两点距离的一半为半径；

⑵分斜率存在和不存在，根据垂径定理即可求解.

【小问1详解】

已知点4—3,0),8(1,0),线段A3是圆M的直径，

则圆心M坐标为(―1,0),.,.半径忸M=2,.•.圆M的方程为(x+l)2+y2=4；

【小问2详解】

由⑴可知圆M的圆心M(T,O),半径为2.

设N为。石中点，则\DN\=\EN\=12C=g,

2

则巾=也-(回=i.

当/的斜率不存在时，/的方程为％=0,此时|MN|=1,符合题意;

当/的斜率存在时，设/的方程为y=H+2,即依一y+2=0,

\-k+2\,3

则一/2，=1，解得k=一,

4

3

故直线’的方程为尸片+2,即31尹8"

综上，直线/的方程为％=0或3x—4y+8=0.

22

21、(1)。二=1

43

3

(2)面积的最大值为一

4

c1

e=­=—

a2

【解析】(1)由离心率为|AB|=",得或2+,=币,解得",02,进而可得答案

-c2=a2-b2

(2)设直线MN的方程为尤=阳+〃，M(X，%),N(%,%)，联立直线MN与椭圆的方程，结合韦达定理可得

113

M+%，%%，由弦长公式可得|MN|,点。到直线MN的距离d，则5丽=51“仙/二万|乂-%川耳-川，

135

L叫万)=/乂一%1，由0MN］的面积是DW面积的5倍，解得〃，再计算

131

SDMN二万1M-，2川万一川=/%-、2।的最大值，即可

【小问1详解】

解：因为离心率为:，|AB\=yfl,

c1

e----

a2

Ja1+b2=y/1,

所以

c2=a2-b2

解得/=4，b2=39c2=19

22

所以工+匕=1

43

【小问2详解】

解：设直线的方程为》=四+〃，〃（石，％）,N%,%），

x=my+n

联立22得(3根之+4)y2+6mny+3n2-12=0,

—%+—y=1i

143

6mn3n2-12

所以％+%=-

3m2+4

所以IMNI=Ji+病|%一

\--n\

点。到直线肋V的距离”「金，

71+m2

仁已〔〔______