2022-2023学年山西省朔州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省朔州市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列式子是分式的是（）

A。B.也C.—D.1+x

271X

2,下列运算正确的是（）

A.2a+3a=5a2B.(a+2by=小+4b2

C.a2-a3=a6D.(-ah2)3=-a3b6

3.分式署有意义的条件是（）

A.mW3B.znH—3C.m=3D.m=-3

4.如果分式"的值为零，那么小的值是（

2m+4)

A.THH2B.m=+2C.m=—2D.m=2

5.下列式子从左到右变形不正确的是（）

Am+lm口1—mm—1

D.---=-----

n+1nnn

C_3m_mrm

D.-=__

,-3nnm2—1m+l

6.下列因式分解正确的是()

A.12abc—3bc2=3b(4ac—c2)

B.(a—b)2+4ab=(a-2b)2

C.3ax2—3ay2=3a(x2—y2)

D.(x—4)(%+1)+3%=(%+2)(%—2)

7.已知4/+mx+9是完全平方式，则m的值是()

A.8B.+6C.±12D.±16

8.如果把分式篇中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（）

A.扩大为原来的4倍B.扩大为原来的2倍C.不变D.缩小为原来的：

9.某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中,

若设实际每天生产零件x个,可得方程詈-等=1。，则题目中用“”表示的条件应是（）

A.每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成

B.每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成

C.每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成

D.每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成

10.若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50。，则它的底角为()

A.50°B.70°C.80°D.20°或70°

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式

12.分式春，一点的最简公分母是.

13.因式分解：一2血2九+I6mn—32n=

14.当巾=____时，关于％的方程岁无解.

x—22—x

15.若2m+=4,27n—7i=3,直接写出47n2—层=.

16.已知。血=4,an=8,贝南也+"的值为.

三、计算题：本大题共1小题，共8分。

17.解方程.

⑴5=_1_

I7x-l2%+1*

(2)13+2=1—^V.

、'x—22—x

四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题10分)

解答下列各小题：

(1)计算：[(%-2y/+(x-2y)(x+2y)-2x(2%-y)]+2久；

(2)先化简，再求值：a—2),其中a满足a?—2a-1=0；

(3)因式分解：(x—1)Q—3)+1.

19.(本小题9分)

图1是一个长为2a,宽为2b的长方形，相图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个

正方形.

(1)求图2中的阴影部分的正方形的周长；

(2)观察图2,请写出下列三个代数式(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系；

(3)运用你所得到的公式，计算：若?n、n为实数，且ni7i=—3,m-n=4.试求+九的值.

图1图2

20.(本小题8分)

阅读：已知正整数a、b、c,显然，当同底数时，指数大的幕也大，若对于同指数，不同底数的两个事心

和d，当a>c时，则有力>^，根据上述材料，回答下列问题.

(1)比较大小：52。42。(填写〉、(或=).

(2)比较233与322的大小(写出比较的具体过程).

2020

⑶计算42021X0.252020_82021义O.125.

21.(本小题10分)

市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效

率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天.

(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

(2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800

米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？

22.(本小题12分)

阅读下列材料，完成相应任务.

阅读材料：利用完全平方公式，将多项式/+6久+c变形为(X+771)2+71的形式，然后由(久+根)22(J就

可求出多项式/+bx+C的最小值.

例题：求/—12久+37的最小值

解：x2-12%+37=%2-2%-6+62-62+37=(%-6)2+1

,不论支取何值，(%-6)2总是非负数,即(X-6)220.

(%-6)2+1>1

•••当尤=6时，(x—6)2有最小值为0

当％=6时，久2一12久+37有最小值，最小值是1.

根据上述材料，解答下列任务：

任务一：填空：x2—14%+=(%-)2

任务二：探索：将/+10x-2变形为Q+m)2+几的形式，并求出/+10%-2的最小值.

任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2,面积为第二个长方形边长分别

是5a、a+5,面积为S2,试用含a的式子表示S1-S2的值，并说明S1与S2的大小关系.

23.(本小题15分)

综合与探究.

数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：

如图1,AABC中，ABAC=90°,4B=AC,点。是BC边上一点，连接4D,以2D为直角边作△4DE,其中

ADAE=90°,AD=AE.

［知识初探］

兴趣小组提出的问题是：“线段2E和CD有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案.

［类比再探］

睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2,若点。是BC延长线上一点，4E交BD于点F,其它条件

不变，线段BE和CD有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由.

［特例探究］

启航小组根据平时的学习经验，”当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形

特殊化，如图3,若DB平分乙WE,其它条件不变，结果他们发现线段BE与。尸也存在着特殊的数量关系和

位置关系.请你直接写出启航小组所发现的正确结果是.

［归纳总结］

此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是

正确选项代码）

A.数形结合

A从一般到特殊

C归纳

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：4是多项式，故本选项不符合题意；

8、是多项式，故本选项不符合题意；

C、分母中含有字母x,是分式，故本选项符合题意；

D,是多项式，故本选项不符合题意；

故选：C.

根据分式的定义作答.

本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：2选项，2a+3a=5a,故A选项错误，

B选项，(a+2fo)2=a2+4ab+4b2,故8选项错误，

C选项，a2.口3=a5,故C选项错误，

D选项，(-a/,2)3=-a3b6,故。选项正确，

故选：D.

根据代数式的运算得出结论即可.

本题主要考查代数式的运算，熟练掌握代数式的运算方法是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解:当小一340时分式有意义，

即当TH丰3时分式有意义.

故选：A.

分母不为0时，分式有意义.

本题考查分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义.

4.【答案】D

【解析】解：•.•分式雪的值为零，

2m+4

\m\—2=0,2m+4W0,

解得：m-2.

故选：D.

直接利用分式的值为零的条件分析得出答案.

此题主要考查了分式的值为零的条件，注意分母不能为零是解题关键.

5.【答案】A

【解析】解：4将噜的分子、分母都减去1,不等于?，故A选项符合题意；

n+ln

A因为1—zn=—(zn—1),故［mm1,故3选项不符合题意；

c.将粤的分子、分母都除以-3可得;，故C选项不符合题意；

D将高X=Iw"，二X索Jy^II2IInXJ的分子、分母都除以(爪-T1iL)t可J.得-念，因此。选项不符合题意・

故选：A.

根据分式的基本性质判断即可.分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.分式的约分、通分都是利用分式的

基本性质变形的.

6.【答案】D

【解析】解：A.12abc-3bc2=3bc(4a—c),故选项A不符合题意；

B.(a-bp+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+/?2=(a+b)2,故选项B不符合题意；

C.3ax2—3ay2=3a(x2—y2)=3a(x+y)(x—y),故选项C不符合题意；

D.(x—4)(%+1)+3x=x2—3x—4+3x=x2-4=(x+2)(%—2),故选项。符合题意；

故选：D.

根据提公因式法与公式法逐项计算判断求解.

本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，关键是掌握因式分解的方法.

7.【答案】C

【解析】解：(2x±3)2=4/±12%+9,

m—±12,

故选：C.

根据完全平方式即可求出答案.

本题考查完全平方式，解题的关键是正确运用完全平方式，本题属于基础题型.

8.【答案】A

【解析】解:由题意得：

4x-4y_4xy

4x+4yx+yf

・•.如果把分式箭中的X和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍,

故选：A.

根据分式的基本性质，进行计算即可解答.

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

9【答案】B

【解析】［分析］

根据所设实际每天生产零件x个，及列的方程可分析出实际每天比原计划多生产5个，实际提前10天完成.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意根据方程逆推出条件.

［详解］

届,15001500.c

斛：=一丁=1°，

由分式方程可知，实际每天比原计划多生产5个,实际提前10天完成.

故选反

10.【答案】D

【解析】解：①如图1，三角形是锐角三角形

时，/-A=90°-50°=40°,

底角为：1x(180°-40°)=70°,

②如图2,三角形是钝角三角形时，乙BAC=

90°+50°=140°,

1

底角为：1X(180°-140°)=20°,

综上所述，底角为70。或20。.

故选：D.

作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相

等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和

等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观.

11.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2

【解析】解：根据题意可得，

大正方形的边长为(a+b),则面积为(a+b)2,

图中两个小正方形的边长为a,b,则面积为a?,b2,两个长方形的长为a,宽为b,面积为2ab,

则(a+6)2=a2+2ab+b2.

故答案为：(a+h)2=a2+2ab+b2.

根据题意可得，大正方形的边长为(a+b),则面积为(a+6)2,大正方形的面积等于边长为a和b的两个正

方形面积加上两个长为a,宽为b的长方形面积，计算即可得出答案.

本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关

键.

12.【答案】12x2y3

【解析】解：分式春，—春的最简公分母是：12/V，

故答案为：12x2y3.

各系数的最小公倍数，则系数为12,相同字母的最高次幕，则为结果为：12/y3.

本题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的求法是关键：就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高

次哥，所有不同字母都写在积里.

13.【答案】-2n(m-4)2

【解析】解：原式=-2n(m2-8m+16)=-2n(m—4)2,

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

14.【答案】—1

【解析】解：关于久的分式方程。=驶去分母得,x=l-m,

x—22—x

・•・关于X的方程号=黑无解，

x—22—x

•••%—2=0,

x=2,

即1—m=2,

解得机=-1.

故答案为：-1.

根据分式方程无解的意义求出久的值，再根据分式方程的解法进行计算即可.

本题考查了分式方程的解，明确分式方程无解的条件是解题关键.

15.【答案】12

【解析】解：:2m+n=4,2m-n=3,

2

...4rH2—n

=(2m+n)(2m—n)

=4x3

=12.

故答案为：12.

根据平方差公式因式分解得4血2一九2=(2m+n)(2m—n),代入已知求值即可.

本题考查了代数式求值，解题的关键是运用平方差公式正确进行因式分解.

16.【答案】32

【解析】解：am=4,an=8,

.・am+n_am•。九=4x8=32.

故答案为：32.

逆用同底数塞的乘法法则计算即可.

此题主要考查了同底数幕的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

17.【答案】解：(1)去分母，得

5(2%+1)=%—1,

去括号，得

10%+5=%—1,

移项，合并同类项，得

9%=—6,

系数化为1,得

2

久=一?

检验：把久=-|代入(x-1)(2%+1)H0,

所以乂=苛是原方程的解；

(2)去分母，得

1+2(%—2)=x—1,

去括号，得

l+2x—4=%—1,

移项，合并同类项，得

x=2,

检验：把x=2代入x—2=0,

所以此方程无解.

【解析】(1)根据解分式方程的过程即可求解；

(2)根据解分式方程的过程即可求解.

本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根.

18.【答案】解：(1)原式=(x2—4xy+4y2+%2—4y2—4%2+2%y)+2x

=(—2x2—2xy)+2x

=-x-y；

(2)解：原式=*+(±一包±竽)

az—4va+2a+2/

_a+4.—a2—4a

a2—4a+2

_a+4a+2

(a+2)(a—2)—a(a+4)

_1

—a(a—2)

_1

Q2—2a'

va2—2a—1=0,

•••a2—2a=1,

原式=—；=—1;

(3)解：原式=%?—3x—%+3+1

=/-4%+4

=(x-2)2.

【解析】(1)根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘多项式的法则计算后合并同类项，再利用多项式

除以单项式的法则计算即可；

(2)先通分计算括号内，再算除法进行化简，把小―2a-1=0进行变形，整体代入进行运算即可；

(3)先把括号打开，再用完全平方公式进行分解即可.

本题考查的整式的混合运算、分式的化简求值以及利用公式法进行因式分解，熟练掌握运算法则是解题的

关键.

19.【答案】解：(1)由拼图可知，图2中阴影部分的正方形的边长为a-力，因此周长为4(a-b)=4a—

4b；

答；图2中的阴影部分的正方形的周长为4a-4b；

(2)图2整体大正方形的边长为a+6,因此面积为(a+b)2,阴影部分正方形的边长为a-6,因此面积为

(a-b')2,四个长方形的面积为4a6,由面积之间的关系可得(a+b)2=(a-6)2+4ab；

(3)由(2)可得，(m+?i)2=(7n—n)2+4小鹿；

•­•mn=—3,m—n—4,

■■■(m+n)2=42+4x(-3)=4,

m+n=2或m+n=—2.

【解析】(1)由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可；

(2)根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；

(3)由(2)的结论代入计算即可.

本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提.

20.【答案】解：(1)>；

(2)­■-233=(23)11=811,322=(32尸=gii,

又...8ii<9n,

233<322；

(3)42021X0.252°20_82021xO.1252020

11

=4x(4x-)2020-8x(8x印2。20

=4xI2020—8xI2020

=4—8

=—4.

【解析】【分析】

本题考查了塞的乘方与积的乘方，利用同指数的塞底数越大哥越大是解题关键.

(1)根据同指数的基底数越大幕越大，可得答案.

(2)根据幕的乘方，可得指数相同的幕，根据底数越大幕越大，可得答案；

(3)逆向运用积的乘方运算法则解答即可.

【解答】

解：(1);5>4,

520>420,

(2)见答案;

(3)见答案.

21.【答案】解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为无米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x

米，

根据题意得：2竺-誓=2,

x1.5%

解得：x=40,

经检验，久=40是所列分式方程的解，且符合题意，

1.5%=60.

答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米.

(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，

由题意得：60m+40m=1800,

解得：m=18,

则18X7+18X5=216(万元),

答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元.

【解析】(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为万米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，由题

意：甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天.列出分式方程，解方程即可；

(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要小天完成，由题意：需改造的道路全长为1800米，安排甲、乙

两个工程队同时开工，列出一元一次方程，解得爪=18,再求出总费用即可.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式

方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程.

22.【答案】497

【解析】解：任务一：x2-14x+49=(%-7)2.

故答案为：49,7；

任务二：%2+10%-2=x2+10%+25-25-2=x2+10x+25-27=(%+5)2-27,

当％=—5时，久2+的最小值为一27；

任务三：Si=(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10,

2

S2=5a(a+5)=5a+25a,

S1—52=6a2+19a+10—(5a?+25a)=a?—6a+10=(a-+1,

•••(a—3/>0,

（a—3/+1>0,