2022年辽宁省铁岭市亮中中学高二数学理期末试题含解析

2022年辽宁省铁岭市亮中中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?安庆三模）已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为（）A．8B．24C．36D．12参考答案：A【分析】只有三角形的一条边过圆心，能组成直角三角形，在圆周上有8个等分点共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做8﹣2个直角三角形，可得直角三角形的数目，用所有的三角形减去直角三角形、钝角三角形的个数得到结果．【解答】解：由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有8个等分点∴共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，∴可做4×6=24个直角三角形，从8个点中任取三个点可以构成三角形，共有C83=56个，∴锐角三角形或钝角三角形的个数是56﹣24=32，按照一条直径为分界线，直径的一个端点与同侧三点中的任意两个及同侧直径外的同侧三个点可构成钝角三角形，钝角三角形的个数是24个，∴锐角三角形的个数是32﹣24=8，故选：A．【点评】本题考查分步计数原理，考查圆的有关问题，是一个综合题，解题的关键是对于圆上的点，怎样能组成直角三角形．2.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（

）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：考察函数图象可知:命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题．3.已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线与平面所成的角．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE=，AS=3，∴SE=2，AF=，∴sin∠ABF=．故选D．4.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016参考答案：D【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用茎叶图性质、平均数和方差公式求解．【解答】解：由茎叶图得去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值：，方差．故选：D．【点评】本题考查一组数据的平均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．5.若直线mx-ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆

的交点个数是（

）

A．至多为1

B．2

C．1

D．0参考答案：B6.把5名新同学分配到高一年级的A、B、C三个班级，每班至少分配一人，其中甲同学已分配大炮A班，则其余同学的分配方法共有（

）A．24种

B．50种

C．56种

D．108种参考答案：B7.在等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第（

）项A．60

B．61

C

62

D．63参考答案：B略8.为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：

男女总计

爱好ab73

不爱好c25

总计74

则a﹣b﹣c等于（）A．6B．7C．8D．9参考答案：D考点：频率分布表．

专题：计算题；概率与统计．分析：根据列联表，先求出c、a和b的值，再计算a﹣b﹣c的值．解答：解：根据题意，得；c=120﹣73﹣25=22，a=74﹣22=52，b=73﹣52=21，∴a﹣b﹣c=52﹣21﹣22=9．故选：D．点评：本题考查了2×2列联表的简单应用问题，是基础题目．9.下列命题中的真命题是（）A．是有理数 B．是实数 C．e是有理数 D．{x|x是小数}?R参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】首先判断出是无理数，是实数，e是无理数，{x|x是小数}为实数，然后结合选择项逐一判断命题的真假．【解答】解：A．因为是无理数，所以A为假命题．B．因为属于无理数指数幂，结果是个实数，所以B为真命题．C．因为e是无理数，所以C为假命题．D．因为{x|x是小数}=R，所以D为假命题．故选B．10.是双曲线的一个焦点，过作直线与一条渐近线平行，直线与双曲线交于点，与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.根据如图所示的流程图，则输出的结果为___________．参考答案：12.科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为__________．参考答案：甲第3次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第3次通过，故所求概率为.填13.下列命题： ①在一个2×2列联表中，由计算得k2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系． ②随机变量X服从正态分布N（1，2），则P（X＜0）=P（x＞2）； ③若二项式的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中x﹣4的系数是40 ④连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是． ⑤若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5=31； 其中正确命题的序号为． 参考答案：①②④⑤【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】对应思想；综合法；简易逻辑． 【分析】①利用独立性检查的性质进行判断． ②利用正态分布的对称性进行判断． ③根据二项式定理的内容进行判断． ④利用古典概型的概率公式进行判断． ⑤利用赋值法结合二项式定理进行判断． 【解答】解：①在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679＞6.535，∴有99%的把握确认这两个变量间有关系，正确， ②随机变量X服从正态分布N（1，2），则图象关于x=1对称，则P（X＜0）=P（x＞2）；正确， ③若二项式的展开式中所有项的系数之和为243， 则令x=1，得到（1+2）n=243，即3n=243，解得n=5， ∴展开式的通项为Tr+1=， 令5﹣3r=﹣4，解得r=3， ∴x﹣4的系数为23C=80．则展开式中x﹣4的系数是80，故③错误， ④试验发生包含的所有事件数6×6=36个， ∵m＞0，n＞0， ∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向． ∴夹角θ≠0． ∵θ∈（0，]，≥0，∴m﹣n≥0， 即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1； 当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1． ∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1=21个 ∴概率P==． 则θ∈（0，]的概率是．故③正确， ⑤若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=0，得a0=﹣25=﹣32， 令x=1得（1﹣2）5=a5+a4+a3+a2+a1+a0=﹣1，则a1+a2+a3+a4+a5=32﹣1=31；故⑤正确， 故答案为：①②④⑤ 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及二项式定理，独立性检验以及古典概型的概率计算，正态分布，综合性较强，内容较多． 14.平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是

．参考答案：k＜﹣1或k＞1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．15.设有函数和，已知时恒有，则实数的取值范围是

.

参考答案：略16.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为

．参考答案：7【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2时，z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=1+2×3=7．故答案为：717.离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求函数的最小值。参考答案：解析：可看作点到点和点的距离之和，作点关于轴对称的点19.（本题满分1２分）如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．（Ⅰ）若平面，试求的值；（Ⅱ）当是中点时，求二面角的余弦值．参考答案：解：（Ⅰ）连结，∵平面，平面平面，∴，∴，故

---------------------４分（２）连结，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分别是、的中点，∴，∴平面，平面，∴，在等腰三角形中，点为的中点，∴，∴为所求二面角的平面角，

--------------８分∵点是的中点，∴，所以在矩形中，可求得，，，在中，由余弦定理可求得，∴二面角的余弦值为．

--------------1２分20.从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．

（Ⅰ）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；

（Ⅱ）x为何值时，容积V有最大值．

参考答案：(1)

定义域为。（2）。略21.（本小题满足14分）在中，∠、∠、∠的对边分别为、、，已知，．(1)求的值；(2)求的面积的最大值；(3)若，求的最小值.参考答案：解（1）…………….........4分（2）由余弦定理得，代入及得

由得，所以从而当时取到等号.综上，的最大值为………….9分（3）易得所以即

当时取到等号综上，的最小值为…………………..14分22.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：.参考答案：(Ⅰ)解：设椭圆C的方程为（＞＞），

……1分抛物线方程化为，其焦点为，

………………2分则椭圆C的一个顶点为，即

………………3分由，∴，所