第二讲 整体思想在三角函数中的应用（解析版）

第2讲整体思想在三角函数中的应用“整体思想”是高中数学的一类最基本、最常用的数学思想。整体思想要求我们在处理数学问题时，将需要解决的问题视为一个整体,从不同侧面、不同角度,全面地分析问题的整体形式、整体结构,或对整体结构作适当调整、变形,从而达到找出解题思路或简便方法的目的。运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的，在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。三角函数是高考的重点与难点，公式相对较多，应用比较灵活，不少学生由于公式使用不恰当，常常陷入纷繁的运算中，在解答某些函数题的时候，若能仔细观察题目，注意与已知条件的联系，实现等价转化，采用整体思想进行求解，往往能起到很好的效果。例如整体思想在正切函数定义域、在三角函数单调性、对称性、在给值求值问题中都有广泛的重要应用。而本文会重点就整体思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。【应用一】整体思想在已知求解或中的应用我们在学习三角函数的概念及同角三角函数的基本关系，诱导公式及三角恒等变换时，会遇到给值求值的试题，有时待求的给值求值会比较好化简，可以拼凑角或借助同角关系求解，但有时也会遇到这样一类题，给定的值，待求或的值，常规利用同角三角函数及恒等变换转化也可以求解，解题思路为：①第一步：对原方程“”平方得到的值或的值②第二步：对待求式子进行平方，进而代入第一步的值，结合角度象限范围求解的值③第三步：利用即可求解此方法解题时稍过于繁琐，那有没有简洁一点的解题方法呢？我们不妨先来证明一个恒等式，证明：，，相加可得，而此公式就是整体思想的应用，可以做到“知一求一”，也就是说，在后续学习中，再有给定的值，待求或此类题型，我们都可以用整体思想来求解，例如下面这道例题：【例1】（2023·山西阳泉·统考二模）已知，，则（

）A． B． C． D．通过观察及上述方法介绍的学习，本题用常规方法计算稍显繁琐，我们可以直接使用整体思想来求解，从而达到提升解题能力的效果【答案】B【详解】因为，所以，所以.又因为，，所以故选：B.【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定的值，待求或的值时,往往可以利用整体思想知一求一来直接求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型的同类题型求解。【变式1.1】（2022·湖北武汉·统考三模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】，，，，，，所以.故选：C【变式1.2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.【详解】由题意可得：，整理得，且，可得，即，可得，因为，可得，所以.故选：D.【变式1.3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若，，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】首先求出，即可得到，再根据计算可得.【详解】因为，所以，，，又，所以，即，所以.故选：C【应用二】整体思想在三角函数求单调性、对称轴及对称中心的应用我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的解析式，求解三角函数的单调性和对称性。我们有时的想法是能不能先直观画出图象或通过伸缩平移变换得到图象，然后从图象直接读出单调性和对称性，但有时题目中出现的三角函数解析式较为繁琐，取值计算量较大，变换过程也复杂，不宜从此角度着手；那此类题型有没有高效统一的解题方法呢？答案就是我们即将介绍的整体思想，其实刚才的作图思想也是整体思想在五点作图法中的应用，那么何为整体思想呢？我们又该如何使用呢？整体思想主要方法是把看作一个整体,本质就是整体换元,再类比正弦函数、余弦函数的图象与性质进行求解。例如求（）的单调区间,可以把看作一个整体,类比正弦（余弦）函数的单调区间,将“”代入即可解得与之单调性一致的单调区间,应用此法,同样可用来求（）的对称中心与对称轴问题;例如下面这道例题：【例2】（2023·四川模拟改编）已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有（

）关于点对称 的最小正周期为在上单调递减 D．关于直线对称在我们求解三角函数的图象和性质时，经常用到整体思想，而本题也可以直接使用整体思想求解，但细心的同学会发现，函数名前面有一个负号，那么这个负号有什么用呢？会对的单调性有影响吗？这其实在我们学习函数的概念和性质时就已经知道，和的图象是关于轴对称的，也就是说：两者单调性相反，对于本题来说，选项C是求函数的单调递减区间，而我们则需等价本题来求单调递增区间，这也是此类考点的易错点，同学们需多注意带负号的题型。而负号对于对称中心和对称轴没有影响，可直接用整体思想求解即可.【答案】BC【分析】根据三角函数的对称性、周期性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A选项，令，当时，解得，故对称中心为，故A错误，对于B选项，，故B正确对于C选项，令，故C正确.对于D选项，令，当时，解得，故对称轴为，故D错误，故选：BC【思维提升】通过本题我们不难发现，对于三角函数的图象与性质综合问题,往往可以利用整体思想直接求解，如较复杂型函数则可通过诱导公式或三角恒等变换公式,将其转化为形如（）等形式，进而结合三角函数图象与性质可求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数的最值或值域等综合问题。三角函数图象与性质如下表：单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴【变式2.1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【分析】利用余弦函数的性质求解即可.【详解】可化为，故单调增区间：，，解得，.令，，令，.，所以的单调递增区间是.故选：D【变式2.2】（2023·全国·高三模拟）下列关于函数的说法正确的是（）A．在区间上单调递减B．最小正周期是C．图象关于点成中心对称D．图象关于直线成轴对称【答案】AC【分析】代入正切函数的结论求解判断A选项；由正切函数周期公式求解判断B，利用正切函数对称性判断C、D选项.【详解】对于A，令，，解得，当时，，所以在上单调递减，又，故函数在区间上单调递减，正确；对于B，最小正周期为，错误；对于C，令得，，所以对称中心为，当时，是对称中心，正确；对于D，函数不成轴对称，没有对称轴，错误.故选：AC.【变式2.3】（2023·江苏模拟）若函数，则下列结论不正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称【答案】A【分析】先根据三角恒等变换化简的表达式，然后根据三角函数的性质进行判断.【详解】根据二倍角公式和诱导公式，，于是.A选项，根据三角函数周期公式，，A选项错误；B选项，令，解得，时可得在区间上单调递增，B选项正确；C选项，令，解得，时可得图象关于对称，C选项正确；D选项，，解得，为对称中心的横坐标，令，解得，故的图象关于点对称，D选项正确.故选：A【应用三】整体思想在三角函数求最值或值域中的应用我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，经常遇到求具体的正弦型或余弦型函数的值域和最值问题，有的可结合性质直接求解，有的可以结合公式把三角函数名及角度统一，转化为形如（），进而结合三角函数图象与性质可求解最值。但有时也会遇到这样一类题，形如（）的最值求解，或（）的最值求解，而此时就需要用到整体换元思想，把部分式子进行整体代换，转换为熟悉的函数，进而求解值域或最值，例如下面这两道例题：【例3.1】（2023·全国·高一专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用平方关系把函数名统一，即，则原函数为：；此时次数不统一，无法用辅助角公式进行转化为形如（）的形式，那么此时我们就要思考两个问题，需不需要进一步把次数统一及怎么统一？如果不统一次数，本题又该怎样继续解题呢？其实本题计算到此不需要把次数统一，我们可以利用整体思想之换元法令，，则原函数变形为，进一步结合二次函数的图象和性质即可求解【答案】D【分析】利用平方关系将函数写成关于的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域即可.【详解】由可得令，则，易知，二次函数关于对称，且开口向上，所以函数在为单调递增，所以，所以，其值域为.故选：D.【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为3，最小值为-1C．的最大值为，最小值为D．的最大值为，最小值为观察本题，角度是统一的，但函数名不统一，且有的式子，通过例3.1的学习，我们知道可以用整体换元的思想，把函数进行转化为熟悉的函数进而求解；我们不妨假设令，，则，又考虑到，所以，此时估计很多学生会很绝望，无从计算。那么我们该如何整体换元呢？考虑到原式有和，我们不妨对进行平方，得到，此时我们找到了换元的方向，即令，，则，所以原函数转化为，，进一步结合二次函数的图象和性质即可求解【答案】C【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.【详解】因为函数，设，，则，所以，，当时，；当时，.故选：C【思维提升】通过两题我们不难发现，对于三角函数形如（）的最值求解，或（）的最值求解，我们都可以用到整体换元思想，把原函数转化为熟悉的基本初等函数，进而结合图象与性质求解，值得注意的是，在换元过程中一定要注意“换元换限”，可通过学习这一道题会一类题，后续也可以用整体换元思想研究三角函数的其他综合性质【变式3.1】（2020秋·天津·高一校联考期末），则的值域（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先将原式变形为，设，转化为求的值域即可.【详解】，设，，，即的值域为.故选：B.【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】利用换元法，令，则原函数可化为，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】，令，所以，则，所以，所以原函数可化为，，对称轴为，所以当时，取得最大值，所以函数的最大值为，即的最大值为，故选：C【变式3.3】（2023秋·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知，则最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】令并确定范围，结合平方关系有，再设，结合对勾函数性质求最小值即可.【详解】令，则，故，所以，则，所以且，而，仅当时等号成立，给定区间内等号不成立，结合对勾函数性质知：在上递增，所以在上递增，则最小值为.故选：B【变式3.4】（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）函数的最小值为（

）A． B．0 C．2 D．6【答案】B【分析】由题意可得，，，根据二次函数的性质求出的最小值即得答案.【详解】解：因为，设，，则，，由二次函数性质可知当时，单调递减，所以当时，取得最小值0，故的最小值为0．故选：B.巩固练习一、单选题1．（2023·云南红河·统考二模）已知为第三象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，，三者之间的关系，结合余弦的二倍角公式即可求解，进而可求解正切.【详解】因为，两边平方得，即，又因为为第三象限角，且，所以，，所以，所以，则．故．故选：D．2．（2022·陕西西安·交大附中校考模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据同角三角函数关系和正弦二倍角公式得到，再利用诱导公式求解即可.【详解】将两边平方可得，则，.故选：A3．（2023·辽宁鞍山·统考二模）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据关系求得，再由角的范围有并确定函数值，进而求目标式的值.【详解】因为，所以，所以，则.因为，则，故，所以.故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）函数（）的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由同角平方关系并令，结合正弦函数、二次函数的性质判断的区间单调性，进而求最值.【详解】．令，则．而在上单增，所以当时，．故选：A．5．（2021秋·安徽安庆·高一统考期末）函数的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】利用同角三角函数基本关系和二倍角公式化简，再利用换元法以及二次函数的性质即可求解.【详解】，令，则，是开口向下的抛物线，对称轴，所以，故选：C.二、多选题6．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）已知函数，则下列结论错误的是（

）A．的最小正周期是 B．在上单调递增C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】ACD【分析】根据周期判断A选项，结合单调区间判断B选项，根据对称轴和对称中心判断C,D选项.【详解】函数，对于选项A，的最小正周期，A选项错误；对于选项B，由，在上单调递增，B选项正确；对于选项C，由解得，的图象不关于直线对称，选项C错误；对于选项D，由解得，当时，，所以的图象关于点对称，D选项错误.故选：ACD.7．（2023春·四川成都·高一四川省成都