第32讲 空间点、直线、平面间的位置关系（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第32讲空间点、直线、平面间的位置关系（精讲）题型目录一览①共面、共线、共点问题的证明②异面直线③平面的基本性质④等角定理一、知识点梳理一、知识点梳理一、四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．二、直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号a∥b公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内三、直线与平面的位置关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号∥公共点个数无数个10四、平面与平面的位置关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥，公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上【常用结论】等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一共面、共线、共点问题的证明策略方法共面、共线、共点问题的证明【典例1】如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面.（2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面面，即点，即可得到答案.（3）延长交于,由于面面，则在交线上.【详解】（1）连接在长方体中、分别是和的中点、、、四点共面（2）确定一个平面面面对角线与平面交于点面在面与面的交线上面且面面面即点共线.（3）延长交于面面面面面面、、三线共点.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立．【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（

）A．相交 B．异面C．平行 D．垂直【答案】A【分析】连接与交于点F，易得是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直线与直线的位置关系.【详解】如图所示，连接与交于点F，由题意，易得四边形是平行四边形，在平行四边形中，E，F分别是线段的中点，∴，又且共面，则直线与直线相交.故选：A.3．（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（

）A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上【答案】B【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．【详解】如图，∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．故选：B．4．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（

）A．三点共线 B．四点异不共面C．四点共面 D．四点共面【答案】C【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线,再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上,同理判断,即可判断各选项的正误.【详解】因为,则四点共面.因为,则平面,又平面,则点在平面与平面的交线上,同理,也在平面与平面的交线上,所以三点共线;从而四点共面,都在平面内，而点B不在平面内，所以四点不共面，故选项B正确；三点均在平面内，而点A不在平面内，所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内，即四点不共面，故选项C错误；，且，所以为平行四边形，所以共面，所以四点共面，故选项D正确.故选:C.5．（2023·全国·高三专题练习）下面几个命题：①两两相交的三条直线共面；②如果两个平面有公共点，则公共点有无数个；③一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；④顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【答案】B【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题．【详解】命题①：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，故①错误；命题②：如果两个平面有公共点，若两平面重合，则公共点有无数个，若两平面不重合，则有且仅有一条过该公共点的公共直线，则公共点有无数个，故②正确；命题③：不妨设，，，则、唯一确定一个平面，所以，，所以，又，，所以，故一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面，即③正确；命题④：空间四边形中，连接，可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形，由中位线的性质知，，，∴四边形是平行四边形，故顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，即④正确．故选：B6．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（）①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答.【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，因此，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误；因，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误，所以说法正确的命题序号是①④．故选：B8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（

）．A．直线 B．直线C．直线 D．直线．【答案】A【分析】通过空间想象直接可得.【详解】如图，易知，所以，且，所以为梯形，故与EF相交，A正确；因为，所以，故B错误；因为平面CDH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；因为平面ADF，平面，故AD与EF异面，D错误.故选：A二、多选题9．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（

）A．，，三点共线 B．，，，四点共面C．，，，四点共面 D．，，，四点共面【答案】ABC【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可；【详解】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点，在选项中，直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面，为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，平面，且平面，又平面，且平面，，，三点共线，故选项正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，直线，，，，，四点不共面，故错误．故选：．10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在正方体中，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（

）A．当时，平面B．当时，平面C．当时，存在点，使四点共面D．当时，存在点，使，，三条直线交于同一点【答案】BCD【分析】利用图形，根据空间中点线面的位置关系逐一对各项进行判断即可得出结果.【详解】对于A，当时，如图1，在取点，使,取中点,易知，平面，故平面，所以选项A错误；对于B，如图2，当时，分别为，，的中点，连接，，，，易知四边形与均为平行四边形，则，，所以，则A，F，E，C四点共面，平面，所以选项B正确；对于C，如图3，延长与的延长线交于点M，连接与的交点即为点I，则A，F，H，I四点共面，所以选项C正确；对于D，如图4，连接并延长与的延长线交于点N，连接与的交点即为点I，则存在点I，使，，三条直线交于同一点N，所以选项D正确.故选：BCD.三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是．

【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论.【详解】O是中点，则O是中点，故平面，与截面交于P，故，故平面，又平面，故、、平面，又、、平面，故、、在平面和平面的交线上.故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线.12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形（填上所有正确答案的序号）．【答案】①③④【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；图④：证明GH∥EF，AC∥EF，BD∥GH，可得BD∥AC．【详解】图①：取GD的中点F，连结BF、EF，∵B、F均为相应边的中点，则：∥又∵∥，则∥即ABFE为平行四边形∴AB∥EF同理:CD∥EF则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；图②：显然AB与CD异面，图②不正确；图③：连结AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE为平行四边形∴BD∥EF又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；图④：连结AC,BD,EF,GH,∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF同理：BD∥GH∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．故答案为：①③④．13．（2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，.【答案】【分析】将四棱锥补为三棱柱，由求解.【详解】解：如图所示：补全四棱锥为三棱柱，作，且，因为ABCD为平行四边形，所以，则，且，所以四边形和四边形都是平行四边形，因为N为中点，则延长AN必过点E，所以A，N，E，H，M在同一平面内，因为，所以，又因为M是棱上靠近点D的三等分点，所以，则，故答案为：14．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱中，，，，P为棱上一点，且（为常数），直线与平面相交于点Q．则线段的长为．【答案】【分析】根据题意作辅助线，根据平行关系可得，取，根据平行关系可得//，进而可知点即为直线与平面的交点，即可得结果.【详解】∵，所以，分别过作，垂足分别为，分别过作，垂足分别为，可得均为平行四边形，则，过点作//，交直线于点，则，可得，即，在上取点，使得，∵//，//，则//，可知：//，，即为平行四边形，∴//，，又∵为平行四边形，则//，，可得//，，故为平行四边形，则//，又∵//，则//，即四点共面，故点即为直线与平面的交点，∴.故答案为：.【点睛】方法点睛：在处理截面问题时，常常转化为平行关系问题，根据线、面平行关系的判定定理以及性质定理分析判断.题型二异面直线策略方法1．平移法求异面直线所成角的一般步骤2．坐标法求异面直线所成的角当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．注：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．【典例1】如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用线线平行，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，在三角形中求解即可.【详解】如图，连接，，则,

，分别是，的中点，，是异面直线与所成的角，且是等边三角形，.故选：.【典例2】在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及直线与的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线线角的关系即可求解.【详解】因为所以，所以,又因为侧棱与底面垂直，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

易得，所以,设异面直线与所成角为，则所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.【题型训练】一、单选题1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在三棱锥中，两两垂直，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将三棱锥放在一个长方体中，建立空间直角坐标系，求出向量，代入夹角公式即可求解.【详解】依题意，把三棱锥放在长方体中，如图所示：因为，以为空间直角坐标系原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则有：，，，，所以，，所以.故选：D.2．（2023春·河南·高三阶段练习）如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出直线与直线所成角，解直角三角形求得其正切值.【详解】连接，作，垂足为即直线与直线所成的角..

故选：B3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】在直三棱柱中，，所以，即，又平面，平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：B4．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.【详解】连接与交于点，连接，由题意得，，且平面，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设四棱锥各棱长均为2，则，，可得，则，设异面直线与所成角为，则．故选：A．5．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，平面ABC，，，，，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取BC的中点E，则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角，求出所需边长，利用余弦定理求即可.【详解】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，

则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．由，，，则有，所以，E为BC的中点，则，平面ABC，中，，∴中，，∴，在中，根据余弦定理可得．所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.故选：D6．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）在直三棱柱中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设，取的中点，连接，则可得为异面直线与所成的角或补角，然后在中求解即可.【详解】设，取的中点，连接，则因为分别为的中点，所以∥，，因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，所以为异面直线与所成的角或补角.因为分别为的中点，所以，所以.故选：D

7．（2023·陕西汉中·统考二模）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：，则，，，故选：C8．（2023·江苏·高三专题练习）在长方体中，，，，则与所成角的余弦值是（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求得和，利用空间向量法求解即可.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可得，，，，所以，，所以，所以与所成角的余弦值为，故选：A9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在正四棱柱中，以为原点，以的方向分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式可求出结果.【详解】如图，在正四棱柱中，分别为侧面和侧面的中心，为的中点，为点钟时针，为点钟时针，则，，设正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，以为原点，以的方向分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以.所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为.

故选：B10．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长CB至F，使得，可得四边形BEDF是平行四边形，，则为异面直线AD与BE所成的角或补角，设，取的中点，求出、、，利用余弦定理求得，可得答案．【详解】D为的中点，E为的中点，所以，，如图，延长CB至F，使得，连接DE，DF，AF，，因为，所以，，所以四边形BEDF是平行四边形，，则为异面直线AD与BE所成的角或补角．设，取的中点，连接、，则，，，，，，由余弦定理得，由余弦定理得．所以直线AD与BE所成角的余弦值为故选：C.

11．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将该几何体补成一个直四棱柱，连接，则（或其补角）是异面直线与所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形.连接，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.设1，则，所以.故选：D.二、填空题12．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，与交于点，则直线与直线的夹角为.【答案】【分析】通过平移，转化所求线线角为，再根据等边三角形的性质即可求解.【详解】解：如图所示，连接,又因为所以直线与直线的夹角即为,又为等边三角形，O为AC中点，所以平分角，所以.故答案为：.13．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在正四棱柱中，底面边长为1，高为3，则异面直线与AD所成角的余弦值是.【答案】【分析】连接，即为异面直线与AD所成的角，解三角形即可．【详解】，即为异面直线与AD所成的角，

连接，在中，正四棱柱的底面边长为1，高为3，，，，∴，，.故异面直线与AD所成角的余弦值是．故答案为：．14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是.【答案】【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，，故四边形为平行四边形，进而，又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.设，则，，.从而，，，，故，故异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，，，D、E分别是、的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为.【答案】【分析】根据题意以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，得到，的坐标，利用空间向量求夹角即可.【详解】由题意可知两两垂直，故以C点为原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，，所以异面直线与所成的角的余弦值为.故答案为：16．（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱中，底面四边形ABCD是菱形，，，E是棱的中点，O为底面菱形ABCD的中心，则异面直线EO和AD所成角的余弦值为．【答案】【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.【详解】如图，连接AC，A1C，D1C，因为O为AC的中点，E是棱AA1的中点，所以，因为，所以或其补角为异面直线EO与AD所成的角，不妨设AD=1，则，，在中，由余弦定理得，因为为直四棱柱，则平面ABCD，且AC，平面ABCD，所以，，因为，所以，则，，在中，由余弦定理，所以异面直线EO和AD所成角的余弦值为.故答案为：．17．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线AD与BC所成的角的大小为．【答案】或【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，，解得，故，以为轴建立空间直角坐标系，，，，或，或，，异面直线AD与BC所成的角的大小为，，，；或，；综上所述：异面直线AD与BC所成的角的大小为或.故答案为：或题型三平面的基本性质【典例1】下列命题不正确的个数是（

）①三点确定一个平面；②圆心和圆上两个点确定一个平面；③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由公理2可判断命题①，②；由公理3可判断命题③；如果两条直线没有交点，则这两条直线平行或异面可判断命题④.【详解】对于①，当三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；对于②，当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；对于③，如果两个平面相交有一个交点，则必有经过该点的一条直线，该直线为交线，故正确；对于选项④，如果两条直线没有交点，则这两条直线平行也可能是异面直线，故错误，所以不正确的命题有3个.故选：C.【题型训练】一、单选题1．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（

）．A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内【答案】B【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案.【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面内，所以这条直线也应该在平面内.故选：B.2．（2023·广东·高三统考学业考试）在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（

）A．P一定在直线上B．P一定在直线上C．P在直线或上D．P既不在直线上，也不在直线上【答案】B【分析】由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置.【详解】由题意知：面，又交于一点P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：点P一定在直线上.故选：B.3．（2023·河北·校联考一模）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，则“，相交“是“，相交”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：①若，相交，，，则其交点在交线上，故，相交，②若，相交，可能，为相交直线或异面直线．综上所述：，相交是，相交的充分不必要条件．故选：C．4．（2023·全国·高三专题练习）若平面，直线，点，则在内过点的所有直线中（

）．A．存在唯一一条与平行的直线B．只有两条与平行的直线C．不一定存在与平行的直线D．存在无数条与平行的直线【答案】C【分析】讨论、、三种情况下，在内过点是否存在直线与平行即可知正确选项.【详解】平面，直线，点，1、当时，在内过点有且仅有一条直线与平行；2、当时，在内过点有且仅有一条直线与平行；3、当时，在内过点不存在直线与平行；故选：C5．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线

A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条【答案】D【解析】根据已知可得平面与平面相交，两平面必有唯一的交线，则在平面内与交线平行的直线都与平面平行，即可得出结论.【详解】平面与平面有公共点，由公理3知平面与平面必有过的交线，在平面内与平行的直线有无数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行.故选：D.【点睛】本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题.6．（2023春·广西柳州·高三柳州市第三中学校考开学考试）下列命题正确的是A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.二、填空题7．（2023·高三课时练习）已知是不共面的四个点，且这四个点到平面的距离都相等，则这样的平面有个．【答案】【分析】分别考虑三点在平面同侧，另一点在平面另一侧和两点在平面同侧，另两点在平面另一侧的情况即可.【详解】当三点在平面同侧，位于平面另一侧时，只需三点确定的平面到平面的距离与点到平面的距离相等，则此时的平面符合题意；即当中的三个点在平面同侧，另一个点在平面另一侧时，这样的情况有种，则满足题意的有个；当位于平面同侧，位于平面另一侧时，只需直线与直线到平面的距离相等，则此时的平面符合题意；则当中的两个点在平面同侧，另两个点在平面另一侧时，这样的情况有种，则满足题意的有个；综上所述：这样的平面有个.故答案为：.8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为．【答案】【分析】作出图形，根据线线平行得平行四边形，进而确定出截面为平行四边形，进而求出面积，【详解】取上靠近点的一个四等分点，连接，，因为，所以且，则四边形为平行四边形，所以且，过点作，因为，所以四边形为平行四边形，则且，所以且，则截面为平行四边形，由直四棱柱的性质可得，，，，在△中，由余弦定理得，，所以，则截面的面积为；故答案为：6

题型四等角定理策略方法空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【典例1】已知，则等于A． B．或 C． D．以上答案都不对【答案】B【详解】∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同.∴∠PQR＝30°或150°，故选B.考点：等角定理.【题型训练】一、单选题1．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（

）

A．M，N，P，Q四点共面 B．C． D．四边形MNPQ为梯形【答案】D【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断D.【详解】对于A选项，由条件可得，，所以，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得，故B正确；对于C选项，由等角定理，知，，所以，故C正确；对于D选项，由三角形中位线的性质知，，，，所以，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确．故选：D．2．两等角的一组对应边平行，则（

）A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行C．另一组对应边垂直 D．以上都不对【答案】D【分析】根据空间图形的平行关系求解即可.【详解】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，并不能确定是哪一种关系，故选：D3．已知，是两条不同的直线，是平面，且，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据线面平行、线线平行、线面垂直、线线垂直的条件逐一判断即可．【详解】解：依题意，若，则可能，∴A错误；若，则与可能相交、异面、平行，∴B错误；若，则可能，，与相交，∴C错误；由于，∴平面内存在直线，满足，若，则，则，∴D正确．故选：D．4．若，且与的方向相同，则与（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行【答案】D【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，根据出现的情况可得出结论．【详解】如图，若，且与的方向相同，与不一定平行．故选：D．5．给出下列命