备考2024年高考数学一轮复习-正、余弦定理

专题6.5正、余弦定理

日题型目录

题型一利用正弦余弦定理进行解三角形

题型二判断三角形解的个数

题型三二角形面积及其应用

题型四判断三角形的形状

题型五利用正弦定理求外接圆半径

题型六利用正余弦定理进行边角互化

题型七解三角形的实际应用

才

题型一利用正弦余弦定理进行解三角形

例1.（2022春・福建.高二统考学业考试）一ABC的内角A&C,所对的边分别为。,6,c,且a=Rb=EB=?

则A的值为（）

例2.（2023春•上海黄浦・高三格致中学校考期中）在4ABe中，”=2,6=3,若该三角形为钝角三角形，则边。的

取值范围是.

举一反三

练习1.（2023春•全国•高三专题练习）在ABC中，已知。=0,6=百，8=60,则A角的度数为（）

A.30B.45C.45或135°D.60

练习2.（2023春•北京•高三北京市第五十中学校考期中）如图，在,.ASC中，八8=6收=26及=2巫，点、口在

边8c上，且ZAOC=60.

⑴求cos3；

（2）求线段AD的长.

练习3.（2023春•广东深圳•高三翠园中学校考期中）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且满足

（a+b）2-c2=3ab.

⑴求tanC的值；

⑵若。为边BC所在线段上一点，且AD=12,BD=8,AB=16,求6的值；

练习4.（2023•河南关B州•统考模拟预测），ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,1ABC平分线与AC交于点。，则3D=

TT

练习5.（2023・四川攀枝花•统考三模）如图，四边形ABCD中，AC与相交于点。，AC平分ZABC=~,

AB=3BC=3,则sinZDAB的值______.

题型二判断三角形解的个数

例3.（2022春.高三课时练习）已知在ABC中，A=60°,AC=6,BC=m,若一ABC有两解，则正数机的取值范围

为.

例4.（2023春•江苏南通・高三江苏省通州高级中学校考期中）在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,

且a=VLA=60,若三角形有且只有一解，则b的取值范围为.

举一反三

练习6.（2023春•安徽马鞍山•高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c

若a=6,2=30。，则使此三角形只有唯一解的。的值可以是（)

A.20B.3C.5D.572

练习7.（2021春・广东深圳•高三红岭中学校考期中）ABC中,A=30*=2,a=&.则满足这样的三角形的个数为

A.唯——个B.两个C.不存在D.有无数个

练习8.（2023春•福建•高三校联考期中）（多选）在「ABC中,4=60，角A所对的边。=石，下列结论正确的为

A.若0<bW2,A5c有一个解B.若b〉2,45c无解

C.若若<6<2,ASC有两个解D.若0<6W白，ABC有一个解

练习9.（2023春•陕西西安・高三西安市第八十三中学校考期中）在「ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的

边，A=],b=20若，山C有两解，请写出一个满足题意的4的值:

练习10.（2023春・广东深圳•高一校考期中）在△ABC中，a=x,b=s/3,B=6Q,若三角形有两解，则x的取值范围

是(

A.2<x<2A/2B.5/2<x<2

C.A/3<x<2D.2Vx<2—

题型三利用正弦定理求外接圆半径

例5.（北京市东城区2023届高三综合练习数学试卷）在ABC中，a=2正,b=2c,cosA=-；,贝ijS.

例6.（2023・北京•高一专题练习）在ABC中，疯?=2加inA.

⑴求々;

(2)若b=V7,c=3,求2ABe的面积.

举一反三

TT1

练习n.(2023・全国•高三专题练习)在」1BC中，A=-,A8边上的高为丁A8,则8sC=()

44

A.—B.--C.—D.

5555

产,序—2

练习仅⑵22秋・河南焦作・高二统考期末）在ABC中'其三边分别为。，",且三角形的面积

则角C=.

练习13.（2023春•河南信阳•高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”,

后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC,若EF=2,

49K

,D.

练习14.（2023春•河南信阳•高三校联考期中）如图，在二至。中，A为钝角，AC=y/2,8是—ACS的平分线,

8交A8于点。，且CZ）=百，ZADC=：.

⑴求A的大小;

（2）求△3CD的面积.

练习15.（2023•宁夏石嘴山•平罗中学校考模拟预测）ABC的内角A,8,C所对边分别为。，b,c,若。=3,/?=2c,

A=p贝UA5c的面积为.

题型四三角形面积及其应用

例7.（2023春•安徽六安・高三六安二中校考期中）若在ABC中，2a-cosB=c,则三角形的形状一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

r

例8.（2023春・浙江•高三期中）已知。,仇。分别是45c三内角4民。的对边，且满足asinC+24cos?耳=a+6+c,

则一ABC的是_________三角形.（填三角形的形状特征）

举一反三

练习16.（2023春・河南商丘・高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,

Ac—卜

c,且sirr—=------,贝！］AABC是（）

22c

A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.4=30。的三角形

练习17.（2023春•河南商丘•高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）己知在AABC中，角A,B,C的对边分

别为a,b,c,则下列结论中正确的是（）

A.若sinA>sinB,贝！JcosA<cos3

B.若及42。是锐角三角形，则不等式sinA<cos8恒成立

C.^acosB=bcosA,贝（JAABC必是等边三角形

D.若A=］，a2=bc,贝是等边三角形

练习18.（2023・上海•高三专题练习）在ABC中，已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

⑴求A；

（2）若sinB+sinC=l,判断ABC的形状.

3

练习19.（2023•江苏•高一专题练习）在一ABC中，a2+b2=c2+ab,且sinAsinB=；,试判断J山C的形状.

练习20.（2023春・江西赣州•高三校考期中）已知AABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,若

2S=y/3AB-AC,a2=bc,则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

题型五判断三角形的形状

例9.（2023・河南•校联考模拟预测）已知圆。为，ABC的外接圆，Zfi4c=60。，BC=2G,则QB-OC=（）

A.2B.-2C.4D.-4

例10.（2023•河南•河南省实验中学校考模拟预测）在锐角中，AB=3,4cosAsinfi=l,若8C在A3上的投

影长等于.ABC的外接圆半径R,则R=.

举一m

练习21.（2023春•河北•高三校联考期中）在ABC中，A+C=2B,4。=4后，则ABC外接圆的半径为（）

A.2B.242C.26D.4

练习22.（2023春・河南•高三校联考期中）已知二外接圆的周长为4万，ZBAC=-,则8C=（）

6

A.4B.2C.473D.2A

练习23.（2023春・广东东莞•高三东莞高级中学校考阶段练习）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且c^sinB-'j3cosBj+A/3<7=0.

⑴求角C的大小；

（2）若［ABC的外接圆半径尺=近，6=4,求ABC的面积.

练习24.（2023•全国•高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由

相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长

边为10cm,较短边为5cm,如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点AB,C都在圆周上，角

A,3,C的对边分别为a,b,c,满足c=4j5cm

⑴求sinC；

⑵若的面积为8cm、且〃>c,求ABC的周长

练习25.（2023•全国•高二专题练习）在锐角钻C中，45=3,4cosAsinB=l,若BC在A3上的投影长等于

的外接圆半径R,则R=（）

A.4B.2C.1D.1

题型六利用正余弦定理进行边角互化

例11.（2023・湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）己知在11ABe中，它的内角的对边分别为a,6,c,若

3sinCcosA=sinB,a2-c2=1,则6=.

例12.（2023春•河南商丘・高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知一ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,My/3asinB+bcosA=c.

⑴求&

（2）设〃=限，b=2,求ABC的面积.

举I一凤三

练习26.（2023・河北•统考模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

2sinAsinCcosB+cosB=3sin2B—cos（A—C）.

⑴证明：a+c=2Z?；

（2）若2=2,cosB=—,求△ABC的面积.

练习27.（2023・全国•模拟预测）在ASC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2c,4sinC+cosB=l,则

sinA

()

sin5

.2V21-3„2A/21-3

A.----------D.-----------

105

C2而+3D2历+3

--10---5

练习28.（2023•吉林长春•东北师大附中模拟预测）已知一ABC中角4民C的对边分别为。，仇。，

acosC+yfiasinC-b-c=0•

⑴求A；

（2）若。=而，且.MC的面积为3#，求周长.

练习29.（2023•天津河西•天津市新华中学校考模拟预测）在ABC中，角4瓦。所对的边分别为。涉，c.已知

2cosc（flcosB+6cosA）=c.

⑴求角C；

⑵若cosA=半，求cos（2A+C）的值；

练习30.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）―ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

且2QCOS3=CCOS5+COSC,b=l,则下面四个选项中错误的是（）

A.3==B.ac<l

3

C.tzcosC+ccosA-fecosB=1D.ABC周长的最大值为3

题型七解三角形的实际应用

例13.（2023春•福建南平•高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱A3与地面垂直（满足

ZR4D=90°）,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且/ABC=120。，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图

中阴影部分所示，已知NACD=60。，路宽AD=12m.设灯柱高=ZACB=3（30°<0<45°）.

⑴求灯柱的高〃（用。表示）；

（2）若灯杆3C与灯柱A3所用材料相同，记此用料长度和为S,求S关于。的函数表达式，并求出S的最小值.

例14.（2023春・河南洛阳•高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75方向上，距离

为12后海里，灯塔C在A的北偏西30。方向上，距离为6后海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到。处时再

看灯塔8在其南偏东60方向上，下面结论正确的有（）

A.AD=12后海里B.CQ=6&海里

C.ZCDA=60^4ZCDA=120D.灯塔C在。的南偏西60方向上

举一

练习31.（2023・河南•校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今

有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰,

与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一

个问题，如图2,要测量海岛上一座山峰的高度立两根高48丈的标杆和DE,两竿相距80=800步，D,

B,〃三点共线且在同一水平面上，从点8退行100步到点F,止匕时A,C,F三点共线，从点。退行120步到点G,

此时A,E,G三点也共线，则山峰的高度步.（古制单位:180丈=300步）

练习32.（2023春・浙江•高三校联考期中）位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小

艇出发时，海轮位于港口A北偏东30。且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行

驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？

（2）若经过2小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？

（3）假设小艇的最高航行速度只能达到10而海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得

小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.

练习33.（2023春・广东广州•高三西关外国语学校校考期中）如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为

了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A、8两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30。的

方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75。的方向上，树梢。的仰角为30。，则红豆树的高

C.邛米D学米

练习34.（2023春•云南曲靖•高三曲靖一中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺

术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资

料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150。等特

殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了AABD,测得A8=5,BD=6,

AC=4,AD=3,若点C恰好在边3。上，请帮忙计算sin/AC。的值（）

.平

练习35.（2023春・上海宝山•高二上海交大附中校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处

有一栋大楼，某学生选（与A在同一水平面的）3、C两处作为测量点，测得的距离为50m,ZABC=45°,

ZBCA=105°,在C处测得大楼楼顶O的仰角a为75。.

⑴求A,C两点间的距离；

(2)求大楼的高度.(第(2)问不计测量仪的高度，计算结果精确到hn)

专题6.5正、余弦定理

日题型目录

题型一利用正弦余弦定理进行解三角形

题型二判断三角形解的个数

题型三二角形面积及其应用

题型四判断三角形的形状

题型五利用正弦定理求外接圆半径

题型六利用正余弦定理进行边角互化

题型七解三角形的实际应用

才

题型一利用正弦余弦定理进行解三角形

例1.（2022春・福建.高二统考学业考试）一ABC的内角A&C,所对的边分别为。,6,c,且a=Rb=EB=?

则A的值为（）

71一兀一兀一3兀

A.—B.—C.—D.—

6434

【答案】B

【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求A的值.

【详解】由正弦定理知：三=三,贝上；“4_asin8_3_应，Ae（0,7t）,

sinAsinBsinA=---==—

所以4=丁或4=亨，又4+3<兀，故A=J.

444

故选：B

例2.（2023春•上海黄浦・高三格致中学校考期中）在,ABC中，a=2,6=3,若该三角形为钝角三角形，则边c的

取值范围是.

【答案】（1,6）。（屈,5）

【分析】根据三角形的性质可得l<c<5,分类讨论，结合题意列式求解即可.

\ob-a=1

【详解】由三角形可得，,，解得l<c<5,

若该三角形为钝角三角形，注意到a<6,

则角8为钝角或角C为钝角，可得/+一/<。或/+62一/<。,

即4+02-9<0或4+9-c?<0,解得l<c<君或而<。<5，

故边c的取值范围是（1,0）。（而,5）.

故答案为：（1,右”（瓦,5）.

举一反三

练习1.（2023春•全国•高三专题练习）在ABC中，已知°=也,6=百，3=60,则A角的度数为（）

A.30B.45C.45或135°D.60

【答案】B

【分析】根据大边对大角得到角A<3,利用正弦定理求得sinA,结合角A的范围求得角A的度数.

【详解】由.=应，b=6得a〈b,于是A<5,

行x国r

由正弦定理得公4asinBJ*2及,

b也2

：.A=45。，

故选：B.

练习2.（2023春•北京•高三北京市第五十中学校考期中）如图，在，ABC中，AB=6,AC=2若,BC=2«,点。在

边8C上，且NAOC=60.

⑴求cos8；

（2）求线段AD的长.

【答案】⑴cos8=；

3

（2）45=4.

【分析】（1）在一ABC中利用余弦定理求解即可；

（2）先利用同角关系求sinB,在△ABQ中利用正弦定理即可求解.

【详解】（1）在ABC中，由余弦定理可得cos5=—+叱二

2ABBC

又AB=6,AC=2A/3,BC=2>/6,

62+（2研-（26匚®

cosB=

2x6x2m3

（2）因为0<3<兀，所以sin3>0,

sinB=^1-cos2B=二目

一W

由NADC=60,可得NAZ)8=120。,

ADAB

在△ABD中根据正弦定理得:

sinBsinZADB

XsinB=—,AB=6,ZADB=120°f

3

…AB-sinB，

所以AO=---------=4.

sinZADB

练习3.（2023春•广东深圳•高三翠园中学校考期中）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且满足

(。+/?)2_。2=3ab.

⑴求tanC的值;

⑵若。为边BC所在线段上一点，且AD=12,BD=8,AB=16,求6的值;

【答案】⑴6

(2)675

【分析】（1）由余弦定理求出C,进而得tanC；

（2）在中，由余弦定理得cosNADB,进而求得sinNADC,在△ADC中，由正弦定理求得6.

【详解】(1)由(〃+份2一/=3“b,a2+/?2-c2=ab,

J,又0<C<7T,则C=5,

于是得cosC=

lab2

所以tanC=5/3；

(2)在△ABD中，AD=12,30=8,43=16,

由余弦定理得cosZADB=空费泮=T，所以sin/AO3二^

4

贝IsinZADC=sin(7i-NADB)=sinZADB=孚

b12

ACAD

在zwc中，由正弦定理有,即K一正,解得6=64.

sinZADCsinZC

42

练习4.（2023•河南郑州・统考模拟预测）.ABC中，AB=4,BC=5,CA=6,—ABC平分线与AC交于点。，则3D=

【答案】y

【分析】首先利用余弦定理求出cosC、osZABC,即可得到N/RC=2C,再由正弦定理计算可得.

【详解】由余弦定理c°sC=史瑟”52+62-52_3

2x5x6~4

BC2+AB2-AC252+42-62_1

cosZABC=

2BC-AB2x5x4-8

所以cos2c=2cos2C-l=1,所以/ABC=2C,

8

因为8。为,ASC的平分线，所以/DFC=C,

所以sinZ.BDC=sin（兀-2C）=sin2C,

BCBD

在△BCD中由正弦定理

sinNBDCsinC

5BD510

即,所以50=

sin2CsinC2cosC3

故答案为：£

jr

练习5.（2023•四川攀枝花•统考三模）如图，四边形ABCD中，AC与3D相交于点O,AC平分NZMB,ZABC=-,

AB=3BC=3,则sinZ.DAB的值

【答案】巫

1414

【分析】由余弦定理求出4。=近，再由正弦定理求出sin/B4C=立L即得解;

14

TT

【详解】在.A6C中，^ABC=-,AB=3,BC=1,

由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC

=32+l2-2x3xlx-=7,

2

所以AC="

BCAC

由正弦定理得

sinZBAC~sinZABC

BCsmZABCT"即cos/A4C="

SHINnAC=----------------------------=—j==---------iA

ACa1414

cn

又因为AC平分NDAB，所以sin/ZMB=IsinZBACcosZBAC=—.

14

故答案为：亚

14

题型二判断三角形解的个数

例3.（2022春•高三课时练习）已知在ABC中，A=60°,AC=6,BC=m,若.MC有两解，则正数"?的取值范围

为____________

【答案]3布<m<6

【分析】利用正弦定理得到sinB=里的=｝叵，由题意则60°<3<120°,且2/900求解.

am

【详解】解：由正弦定理得：sin2="@a=2®,

am

要使三角形有两解，贝IJ60°<2<120°,且2x90°,

即<sinB<1,解得：3下<m<6-

2

故答案为：3A/3<m<6

例4.（2023春•江苏南通・高三江苏省通州高级中学校考期中）在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,

且°=百，A=60,若三角形有且只有一解，则》的取值范围为.

【答案】｛2｝J（0,我

【分析】由正弦定理得sin8=刎上=与，依题意得0<8460或2=90,进而利用三角函数的性质可得结果.

a2

■、45.Edrab/日.bsinAbsin60b

【详解】因为〃=近，A=60,由正弦定理^―—-<sinB=--------=-----『—=-，

sinAsinna，32

要使三角形有唯一解，则0<5460或3=90,

所以0<sin3W走或sin5=1,即0<空立或鸟=1,

解得0<匕（君或6=2,则Z?的取值范围为｛2卜8我.

故答案为：｛2｝（0,0].

举一反三

练习6.（2023春•安徽马鞍山•高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

若a=6,2=30。，则使此三角形只有唯一解的。的值可以是（）

A.2A/2B.3C.5D.572

【答案】BD

【分析】由题意sinA=""=g,则角A只有一个解，有sinA=l或sinA<l且转化为边的关系即可.

bb

【详解】由正弦定理得，sinA="fg=],要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一

bb

个，

则？3=1或3；<1且

bb

所以6=3或826,选项BD符合.

故选：BD.

练习7.（2021春.广东深圳.高三红岭中学校考期中）ABC中，A=30力=2,0.则满足这样的三角形的个数为

（）

A.唯一一个B.两个C.不存在D.有无数个

【答案】B

【分析】根据正弦定理进行求解即可

【详解】已知A=30/=2,。=&，

由正弦定理^~~~=-；—，sinB="s/ZsinA=,

sinAsinB2

又b>a,则3>A,0<A<180,

.•.3=45或135,满足条件的三角形有2个三角形.

故选：B.

练习8.（2023春・福建•高三校联考期中）（多选）在一ABC中，A=60,角A所对的边a=VL下列结论正确的为

（）

A.若。<642,ABC有一个解B.若b>2,ABC无解

C.若b<6<2,抽。有两个解D.若0<64石，ABC有一个解

【答案】BCD

【分析】根据题意，由正弦定理求得$m2=刎H=当，结合选项中匕的取值范围，分类讨论，即可求解.

a2

【详解】因为4=60且a=JL由正弦定理二=刍，即sinB=%4=§,

sinAsmBa2

当b=2时，可得sin3=l,所以8=90,此时ABC有一个解，故A不正确；

当匕>2时，可得sin3>l,不成立（舍去），此时,.ABC无解，故B正确；

当6<6<2时，即则3>A,由sin3>走，此时B有两解，即MC有两解，故C正确；

2

当即bw。，则844=60,由sinBV立，此时B只有一解，故D正确.

2

故选：BCD.

练习9.（2023春・陕西西安•高三西安市第八十三中学校考期中）在，ABC中，“，b,c分别是角A,B,C所对的

边，A=b=2y[2,若，ABC有两解，请写出一个满足题意的。的值：.

【答案】逑（答案不唯一）

3

【分析】取0=延，根据正弦定理得到sinB=立，确定三角形有两解，得到答案.

32

46

【详解】取。=迪，贝4三=名,即章=31

sinB=—,

3sinAsinBV2sinB2

V

j,8=]或2=亨，验证满足，故有两个解，满足.

故答案为：。=巫（答案不唯一）

3

练习10.（2023春•广东深圳•高一校考期中）在△ABC中，a=x,b=&B=60,若三角形有两解，则x的取值范围

是（）

A.2<x<2>/2B.5/2〈尤<2

C.也<x<2D.2<x<273

【答案】C

【分析】过C作CDLAB于。，根据BC,CD,AC的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.

【详解】由题设，过C作CDL4?于。，如下图示，

CD=尤sin600<有

则厂可得百<x<2时，三角形有两解.

x>V3

当xsin60。>石，即x>2时，三角形不存在;

当x=6或2时，AABC分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形;

当了<君时，在射线3。方向上有一个△ABC,而在射线D3方向上不存在，故此时仅有一个三角形;

A

D,

6

故选：C

题型三利用正弦定理求外接圆半径

例5.（北京市东城区2023届高三综合练习数学试卷）在，ABC中，a=2娓,b=2c,cosA=~,则S

【答案】V15

【分析】由余弦定理求解瓦。，由同角函数基本关系求出sinA,代入面积公式求解即可.

【详解】由余弦定理/=/+-26CCOSA可得24=4c2+c2-4c2x（-1）=6c2,

解得c=2,则b=2c=4,

又sinA=V1-cos2A=，

4

所以S.RC=UcsinA=L4x2x2^=5/f^.

.224

故答案为：V15

例6.（2023・北京•高一专题练习）在...ABC中，疯z=26sinA.

⑴求23；

（2）若》=«,c=3,求3ABe的面积.

【答案】（1）（或三

⑵更或还

24

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；

（2）根据题意，由余弦定理可得。，再由三角形的面积公式即可得到结果.

【详解】（1）因为&a=26sinA,由正弦定理可得，

^3sinA=2sinBsinA,

因为sinA>。，所以sin3=走，

2

且3«0,兀），所以3=g或4.

（2）由（1）可知8=彳或三，且6=S,c=3,b<c,所以3<C

33

即B1,由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB,

即7=a?+9—2QX3X—,解得a=l或〃=2,

2

当C_1,\2_3百

=

当a—1RJ,SARC-〃csinB=—x1x3x—=-------,

ABC2224

士〃0H#c_1._1c

3a—，nj，SADC~—acsinDR=-x2x3x—=-------，

ABC2222

所以一ABC的面积为述或述.

24

举一m

1

练习11.（2023•全国•高三专题练习）在—ABC中，A=-K,AB边上的高为-4B,则ssC=（）

44

A.—B.一更「2不„2^/5

lxa---------JLz.--------------

5555

【答案】B

【分析】根据三角形的面积公式求得＜:=2回，利用余弦定理求得〃=其，再结合余弦定理，即可求得cos。的值,

即可求解.

【详解】解：在ABC中，设AB边上的高为心

则SMRC=—bcsinA=—bcx—^=—ch=—cx—c，所以°=2夜/?，

△的222224

由余弦定理得a1=b2+c2-2bccosA=b2+8b2-2bxlj2bx—=5b\即q=非b，

2

片+/―^=（5+1—8）/__且

又由余弦定理得cosC=

2ab2加b15

故选：B.

^272_2

练习仅（2。22秋・河南焦作・高二统考期末）在ABC中’其三边分别为。，6,,且三角形的面积

则角C=.

TT

【答案】-/45°

4

【分析】根据面积公式结合余弦定理计算出tanC的值，即可求解出C的值.

1/工序_2

【详解】因为S=—〃bsinC=--------------,所以2absinC=a?+〃一。2=2〃bcosC,

24

则tanC=1,

又。£（0,兀），所以C=：.

故答案为：y.

练习13.（2023春・河南信阳•高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”,

后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△A8C,若EF=2,

49八49君

22

【答案】B

【分析】求得44巾，sinZACF,设出A尸长度，利用正弦定理可得AC与A尸的等量关系，再用余弦定理，即可

求得AEAC,再求三角形面积即可.

【详解】在△ACF中，ZAFC=180°-60°=120°,

13

因为cosZACF=—

^AF=CE=t(r>0),则CF=2+t,

tAC

A17A「—■———；—7

由正弦定理可知，即3g追，则AC=zf,

si.nZA工CF―sinZUAFC---------3

142」

在△ACF中，=IAF|2+|CF|2-2|AF||CF|cosZAFC,

=r+(2+/)2_2(2+f)x[—|J,

7

又t>0,则r=3,故AC=§f=7,

所以S^ABC=(x7x7xsin60°=■

故选：B.

练习