2022-2023学年河北省保定市清苑区九年级（上）期末数学试卷（附答案）

2022-2023学年河北省保定市清苑区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

l.cos30。的值是（）

B-TD.0

2.下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）

A囱B.得C查D©

3.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时

刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）

A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的轴对称D.图形的相似

4.已知一元二次方程/一6久+c=0有一个根为2,则另一根为（）

A.2B.3C.4D.8

5.如图，量角器的直径与直角三角板A8C的斜边重合，其中量角器。

刻度线的端点N与点A重合，射线CP仄CA处出发，沿顺时针方向以每

秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E,第12秒时，点£在

量角器上对应的读数是（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

6.“六・一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购

买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该

活动的一组统计数据.下列说法不正确的是（）

转动转盘的次数n1001502005008001000

落在“铅笔”区域的次数加68108140355560690

落在“铅笔”区域的频率;0.680.720.700.710.700.69

转盘

A.当w很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70

B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70

C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次

D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒

7.下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有

位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图

形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确命题的序号是（）

A.②③B.①②C.③④D.②③④

8.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几,|.4

何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获/5

得，则井深为（）C\一扁5

A.1.25尺/

B.57.5尺/

D.56.5尺

9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1

元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式

为（）

A.y=60(300+2Ox)B.y=(60—%)(300+2Ox)

C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)

10.若点P（l,3）在反比例函数y=号的图象上，则关于x的二次方程/+2%-卜=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

11.如图，面积为2/3的4048的斜边08在1轴上，乙48。=30。,

反比例函数y=?图象恰好经过点4则上的值为（）

A.-2<3

B.2<3

cq

D.-73

12.如图，OA经过平面直角坐标系的原点。，交无轴于点B（-4,0）,交y

轴于点C（0,3）,点。为第二象限内圆上一点.贝吐CD。的正弦值是（）

4

D5

13.下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:

题目测量铁塔顶端到地面的高度

测量目标示意图

相关数据CD=10m,a=45°,0=50°

设铁塔顶端到地面的高度FE为尤〃，根据以上条件，可以列出的方程为()

A.x—(x-10)tan50°B.x—(x-10)cos50°

C.x-10=xtan50°D.x=(%+10)sin50°

14.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，O。的半径为2,与无轴，y轴的正

半轴分别交于点A,8,点C(l,c),D(y[2,d),E(e,l),P(/n,n)均为卷上

的点(点尸不与点A,B重合)，若m则点尸的位置为()

A.在诧上

B.在步上

C.在循上

D.在段上

15.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：63)与旋钮的旋转角度双单位：度)(0。<%<900)

近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a丰0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气

量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为

()

16.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:

…・・・

X一4-3-2-10

.・・・・.

y-3m10-3

有以下几个结论:

①抛物线y=ax2+bx+c的开口向上；

②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-2；

③关于x的方程a/+bx+c=o的根为一3和一1；

④当y<。时,尤的取值范围是一3<x<-1.

其中正确的是()

A.①④B.②④C.②③D.③④

二、填空题：本题共3小题，共10分。

17.小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t-4.9/仕的单位：s,/?的单位：m)

可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是s.

18.如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背与地面垂直，为了使座椅更舒

适，现调整靠背，把。4绕点。旋转到OA处，若A。=m,^AOA'=a,则调整后

点A比调整前点A的高度降低了(用含m,a的代数式表示).

19.如图，四边形ABC。是菱形，点E是边上的一动点，过点E作

EF1OC于点F,EG1。。于点G,

(1)四边形OGEF的形状是.

(2)若BD=472,AD=2<6，连接FG,则FG的最小值为.

三、解答题：本题共7小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.(本小题20分)

(1)计算：|1一四|+2sin60°+(1-2tan45°)°;

(2)计算:2cos45。+sin30°cos60°+73tan30°;

(3)解方程：x2-(2x+l)2=0；

(4)解方程：2/+5x+1=0.

21.（本小题8分）

如图，已知线段A3,用尺规作图法按如下步骤作图.

（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=2AB.

（2）连接AC,以点C为圆心，C8为半径画弧，交AC于点瓦

（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D则点。是线段的黄金分割点，请说明其中的道理.

22.（本小题8分）

在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏A3可以绕

。点旋转一定角度.研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个

18。俯角（即望向屏幕中心产的的视线砂与水平线出的夹角乙4EP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶

端A与底座C的连线AC与水平线C。垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得ABCD=30。，

^APE=90°,液晶显示屏的宽AB为32cm.

（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）

（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC.（结果精确到lent）

（参考数据：sinl8"«0.3,cosl8°«0.9,tanl8°«0.3,72~1.4,73~1.7）

23.（本小题8分）

某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种

课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表

格：

课题选择次数频率

A“视力的变化”4a

B“哪种方式更合算”b0.4

C“设计遮阳棚”200.5

请综合上述信息回答下列问题:

(l)a-;b—；

(2)若该校有400名初三学生，请估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数；

(3)某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这

两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由.

24.(本小题8分)

已知△ABC,以AB为直径的。。分别交AC于。，BC于E,连接即，若ED=EC.

(1)求证：AB=AC；

25.(本小题9分)

如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象(如图):

(1)分别写出当0<x<4与x>4时，y与x的函数关系式：

(2)求出所输出的y的值中最小一个数值；

(3)写出当x满足什么范围时，输出的y的值满足3WyW6.

26.(本小题10分)

如图⑴，在矩形A8C。中，AB=6cm,tan"8D=g,E、/分别是AB、8。中点，连接EF点P从点

E出发，沿EE方向匀速运动，速度为lcm/s,同时，点。从点。出发，沿。B方向匀速运动，速度为

2cm/s,当点P停止运动时，点0也停止运动，连接P。，设运动时间为ts(0<t<4),解答下列问题：

(1)当0<t<2.5时，FQ=.(用含有t的式子表示)

(2)当点。在线段。P上运动时，若APQF的面积为0.6cm2,求r的值;

(3)当/为时，APQF为等腰三角形？(直接写出结果).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:cos30。=苧，

故选：B.

根据特殊角的三角函数值可得答案.

此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30。、45。、60。角的各种三角函数值.

2.【答案】B

【解析】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知,

选项8中的图形比较符合题意；

故选：B.

根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案.

本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提.

3.【答案】D

【解析】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高

度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，

故选：D.

根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可.

本题考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大.

4.【答案】C

【解析】解：设方程的另一根为a,则a+2=6,

解得a=4.

故选：C.

利用根与系数的关系来求方程的另一根.

本题考查了根与系数的关系.若二次项系数为1,常用以下关系：巧，久2是方程，+px+q=0的两根

时，X1+x2--p,%1%2=Q＞反过来可得P=-01+%2），q=%1刀2,前者是已知系数确定根的相关问

题，后者是已知两根确定方程中未知系数.

5.【答案】C

【解析】解：如图，连接。E,

••・射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,

.♦.第12秒时，ZXCF=3°x12=36°,

•••NACB=90°,

.••点C在以为直径的圆上，即点C在O。上，

.­.Z.EOA=2^.ECA=2x36°=72°,故C正确.

故选：C.

连接OE,根据旋转求出乙4CE=3-X12=36°,根据圆周角定理求出NE04=2AECA=2X36°=72°,

即可.

本题主要考查了圆周角定理，旋转的性质，解题的关键是根据乙4cB=90。，得出点C在以AB为直径的圆

上，熟记圆周角定理.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查用频率估计概率，掌握频率与概率的关系是解题的关键.

根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一

定有3次获得文具盒.

【解答】

解：4由表格中数据可以看出频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约

是0.70,故A选项正确；

A由A可知8、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70,故B选项正确；

C.指针落在“文具盒”区域的概率为0.30,转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有

2000x0.3=600（次），故C选项正确；

。随机事件，结果不确定，故。选项不正确.

故选D.

7.【答案】A

【解析】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故原命题错误，不符合题意；

②位似图形一定有位似中心，正确，符合题意；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图

形，正确，符合题意；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，错误，不符合题意，

故选：A.

利用位似图形的定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解位似图形的定义，难度不大.

8.【答案】B

【解析】解：依题意有△ABFSANDE,/H

/5

•••AB：AD=BF：DE,'

C

即5：AD=0,4：5,/04

解得力。=62.5,/

BD=AD-AB=62.5-5=57.5尺.-------1

E5E

故选：B.

根据题意可知△ABFSAADE,根据相似三角形的性质可求A。，进一步得到井深.

考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF^^ADE.

9.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函

数解析式.

根据降价x元，则售价为(60-x)元，销售量为(300+20久)件，由题意可得等量关系：总销售额为丫=销

量X售价，根据等量关系列出函数解析式即可.

【解答】

解：降价无元，则售价为(60-©元，销售量为(300+20x)件，

根据题意得，y=(60-x)(300+20%),

故选8.

10.【答案】A

【解析】解：•.•点P(l,3)在反比例函数y=号的图象上，

•••/c+l=lx3=3,

•••k=2,

••・关于x的二次方程为/+2久-2=0,

,•,在方程/+2久一2=0中，△=22—4x1x(-2)=12>0,

••・二次方程/+2x-k=0有两个不相等的实数根.

故选：A.

根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值，再结合根的判别式即可得出方程产+2x-k=0没有实

数根，此题得解.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、根的判别式，得出发的值是解题的关键.

11.【答案】D

【解析】解：作2。10B于D,

•••RtA0aB中，乙ABO=30",

1

OA=^OB,

•••乙ADO=4OAB=90°,/-AOD=乙BOA,

AODs^BOA,

.S△力。。_(OS)2_1

"S^BOA~~4f

•••S^AOD=7S^BOA=7X2c=苧，

丁^LAOD=5%卜

|fc|=V-3»

•••反比例函数y=g图象在二、四象限,

k=­\/-3»

故选：D.

作4。1OB于。，根据30。角的直角三角形的性质得出。4=^。8,然后通过证得△AODSABCM,求得△

4。。的面积，然后根据反比例函数xs4的几何意义即可求得上的值.

本题考查的是反比例函数系数上的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△4。。的面积是解答此题的

关键.

12.【答案】A

【解析】解：连接8C,如图,

•••8(—4,0),C(0,3),

OB=4,OC=3,

・•.BC=V32+42=5,

・••sin乙OBC=,

DCJ5

•・•乙ODC=乙OBC,

3

・•・sinZ.CDO=sin乙OBC=+

故选：A.

连接8C,如图，先利用勾股定理计算出BC=5,再根据正弦的定义得至UsinNOBC=|,再根据圆周角定理

得至Ik。。。=N08C,从而得至UsinNC。。的值.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半.

13.【答案】A

【解析】解：过。作DH1EF于“，

则四边形OCE”是矩形，

HE=CD=10m,CE=DH,

FH=(%—10)m,

•・•乙FDH=a=45°,

DH=FH=(%—10)m,

CE=(x-10)m,

PJ7Y

•••tan£=tan50°=—=——,

厂CEx-10

・•・x=(x-10)tan50°,

故选：A.

过。作DH1EF于H,则四边形OCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE=CD=10m,CE=DH,求得

FH=(x-10)m,得到CE-[x-10)m,根据锐角三角函数的定义列方程即可得到结论.

本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键.

14.【答案】B

【解析】解：如图，过点C作CHlx轴于点X,过点D作。Glx轴于点G,过点E作EFlx轴于点E

y

•・・C(l,c),D(/2,d),E(e,l),

•••OH—1,OG=yTl,EF=1,

•・•OC=OD=OE=2,乙CHO=乙DGO==(EFO=90°,(

6,1。号r

c=CH=OC2-OH2=V22-l2=

d=DG=yjOD2-OG2=J22_(71)2

=7-2»

e=OF=VOE2-EF2=V22-l2=6,

：.C(l,73),D(<2,<2)，E(<3,1)>

由图可知：随着NC。“一ADOG—NEOF角度逐渐变小，点C、D、E的横坐标逐渐增大，纵坐标逐渐减

小，

'''m<n<

.,.点尸在比上.

故选：B.

如图，过点C作C”1久轴于点H,过点。作DG1x轴于点G,过点E作EF1x轴于点F,利用勾股定理

求出c、d、e的值，观察点的坐标变化规律即可得出答案.

本题考查了圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理，运用勾股定理求出C、。、E的坐标是解题关键.

15.【答案】C

【解析】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，

••・抛物线对称轴在36和54之间，约为41。，

・•・旋钮的旋转角度x在36。和54。之间，约为41。时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.

故选：C.

根据已知三点和近似满足函数关系y=a%2+bx+c(a丰0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在

36和54之间即可选择答案.

本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键.

16.【答案】C

【解析】解：由表格可知，

抛物线的对称轴是直线“=¥=-2,故②正确；

抛物线的顶点坐标是(-2,1),有最大值，故抛物线？=。/+6久+c的开口向下，故①错误；

由抛物线关于直线第=—2对称知，当y=0时，％=—1或％=—3,故方程a/+6工+。=0的根为—3和

一1,故③正确；

当y>0时，1的取值范围是一3V%V-1,故④错误，

故选：c.

根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决.

本题考查抛物线与无轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确

题意，利用二次函数的性质解答.

17.【答案】■

【解析】解：••・h=3.5t-4.9t2=一4,9(t-务2+簿，

14

.•.当t=袅时，取得最大值，

14

故他起跳后到重心最高时所用的时间是&s,

14

故答案为：言

14

先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到该函数的最大值，从而可以得

到r的值.

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是会将函数解析式化为顶点式.

18.【答案】m—m-cosa

【解析】解：如图，4B14。于8,薪

根据题意。A=0A'=m,Z-AOA'=a,i

作48140于5,1

.・.OB=0A'-cosa=m•cosa,

AB=0A-OB=m-m-cosa.

故答案为：m-m-coscr.

作4814。于5,通过解余弦函数求得05,然后根据48=。4-。8求得即可.

此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.

19.【答案】矩形当

【解析】解：⑴•••四边形A8CZ)是菱形,

•••AC1BD,AD=DC,

•・•EF10C于点F,EG1。。于点G,

••・四边形OGEF是矩形,

故答案为：矩形.

(2)连接0E,则。E=GF,

当。ElDC时，G尸的值最小,

BD=4<2,AD=2/6,

OD==272,OC=AD=2/6,

OC=y/DC2-OD2=4，

-SLODC=^OD-OC=\DC-OE,

・••OD-OC=DC'OE,

八「ODOC2/2x44/3

•••°E=k=^7F=『

故答案为：殍.

(1)由条件可知判断四边形OGEE是矩形；

(2)连接。£,贝!]OE=GF,当。ElDC时，GF的值最小，可由。D•OC=DC•。£求出OE的值即可.

本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性

质，证明四边形OGEF为矩形是解决问题的关键.

20.【答案】解：(1)原式=宿一1+2X苧+1

=2V~3；

(2)原式=2>苧+如；+6x苧

=^2+f;

(3)原方程可变形为：

(%+2%+1)(%—2%—1)=0,

(3%+1)(—x—1)=0,

3%+1=0或一％—1=0,

1(

xr=x2=-1.

(4)这里a=2,b=5,c=1.

b2—4ac=52—4x2x1=17>0,

—5±/I7_-5±/17

2x2-4'

【解析】(1)先将绝对值和三角函数值化简，再进行计算即可；

(2)先将三角函数值化简，再进行计算即可；

(3)用因式分解法求解即可；

(4)用公式法求解即可.

本题主要考查特殊三角函数值的混合运算，解题一元二次方程，解题的关键是熟记各个特殊角度的三角函

数值，掌握解一元二次方程的方法和步骤.

21.【答案】解：设长为无，则长为2x,

BC1AB,

22

：.AC=y/AB+BC=J(2x)2+尤2=/5X.

CE=BC=x,

：.AE=AC-CE=(<5-1)久，

AD=AE=(<5-l)x，

...也=B

AB2

即点。是线段AB的黄金分割点.

【解析】设BC长为x,则长为2x,利用勾股定理可得4C=V力5+BC?=J(2x)2+%2=岳区,进

而可得aD=4E=(C—l)x，即可得缘=与1,问题得解.

AB2

本题主要考查了黄金分割的相关知识，根据题意，求出AC=7AB2+BC?=J(2x)2+久2=AD=

X£=(75-1)X,掌握黄金分割点的定义，是解答本题的关键.

22.【答案】解：⑴由己知得4P=BP=^AB=16cm,

在RtaaPE中，

sinZ-AEP——

AE=

sinZ.AEPsinl8'«T-T«53cm,

答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；

(2)如图，过点2作8F14C于点R

•・•乙EAB+匕BAF=90°,乙EAB+^AEP=90°,

・•・Z-BAF=乙AEP=18°,

在ABF中，

AF—AB•cosZ-BAF=32xcosl8°«32x0.9=28.8cm,

BF=AB-sinZ-BAF=32xsinl8°右32x0.3=9.6cm,

•・.BF//CD,

Z.CBF=乙BCD=30°,

CF=BF-tanZ.CBF=9.6xtan30°=9.6x«5.44cm，

AC=AF+CF=28.8+5.44«34cm.

答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34czn.

【解析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义.

(1)由己知得4P=BP==16cm,根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离

AE；

(2)如图，过点8作8尸1AC于点/，根据锐角三角函数求出AF和B尸的长，进而求出显示屏顶端A与底

座C的距离AC.

23.【答案】0.116

【解析】解:(1)••・被调查的总人数为20+0.5=40(人),

.・.a=4+40=0.1,/)=40X0.4=16,

故答案为：0.1、16；

(2)估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数为400x0.5=200(人)；

(3)这两人正好是1男1女的概率是*理由如下:

列表如下：

男1男2男3女

男1男2,男1男3,男1女,男1

男2男1,男2男3,男2女，男2

男3男1,男3男2,男3女，男3

女男1，女男2,女男3,女

・•・所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等.其中一男一女的情况有6种,

这两人正好是1男1女的概率是盘=

(1)先根据c课题的次数及频率求出总人数，再根据次数=频数+总数求解即可；

(2)用总人数乘以样本中选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数所占比例即可；

(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果”，再从中选出符合事件A

或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

24.【答案】⑴证明：••・ED=EC,

•••Z.EDC=Z.C,

•・•(EDC=乙B,(•・•Z.EDC+/-ADE=180°,乙8+^ADE=180°,・•・乙EDC=乙B)

••・Z-B—Z.C,

・•.AB=AC；

(2)解:连接8。，

••,AB为直径，•••BDLAC,

设CD=a,

由⑴知AC=AB=4,

则4D=4-a,

在ABD中，由勾股定理可得：

BD2=AB2-AD2=42-(4-a)2

在RtACBO中，由勾股定理可得：

222

BD=BC-CD=(2门)2_a2

42—(4—a)2=(2V3)2—a2

整理得：a=|,

即：CD=|.

【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关

键.

(1)由等腰三角形的性质得到NEDC=NC,由圆内接四边形的性质得到NEDC=NB,由此推得NB=乙C,

由等腰三角形的判定即可证得结论；

(2)连接AE,由A8为直径，可证得AE18C,结合勾股定理和垂径定理可求得C£)的长.

25.【答案】解:(1)由图可知,

当04％<4时，y=-X+3;

当久>4时，y=(%—6)2+2；

(2)当04%44时，y=+3,此时y随x的增大而增大，

・,・当久=0时，y=