材料力学梁的强度-1

第四章作业4-1、4-2、4-3、4-44-8、4-9(4-7、4-8)4-11、4-13（4-10、4-12）4-16、4-19、4-21

（4-15、4-18、4-20）第四章弯曲强度4.1平面弯曲梁的内力附录A平面图形的几何性质4.2弯曲正应力4.3弯曲切应力4.4梁的强度条件和强度设计平面弯曲的概念梁的载荷及计算简图剪力与弯矩剪力图与弯矩图剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系4.1平面弯曲梁的内力刚架的内力与内力图一、平面弯曲的概念1．定义

外力垂直于杆的轴线，使得杆的轴线由直线变成曲线的变形，称为弯曲变形，简称弯曲。梁——以弯曲为主要变形的杆件2．平面弯曲的概念

外力作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯曲后仍在此对称平面内----平面弯曲或对称弯曲特点:轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合二、工程实例固定端滑动铰支座固定铰支座阻止

任何方向移动阻止

竖向移动阻止

任何移动和转动1、梁的简化（2）载荷：分为集中力、分布力，集中力偶、分布力偶（1）梁

：用轴线表示（3）支座：三、梁的载荷及计算简图2、梁的分类(1)按支座情况分为：(2)按支座数目分为：简支梁静定梁外伸梁悬臂梁超静定梁跨

——梁在两支座间的部分跨长——梁在两支座间的长度

（3）按跨数分为：单跨梁多跨梁四、剪力与弯矩1、内力（剪力和弯矩）的求法2、符号规定3、实用法则剪力(FS

)——与横截面的法向垂直的内力1、求法—截面法任一横截面上的剪力

等于该横截面任一侧所有外力的代数和弯矩(M

)——横截面上的内力偶矩

任一横截面上的弯矩等于该横截面任一侧所有外力对横截面形心力矩的代数和2、内力符号约定剪力：绕“研究体(隔离体)”顺时针转为正弯矩：端面由下转向上为正（使梁向呈“上凹”形）3、实用法则剪力：考虑横截面左侧梁段时，向上（下）的外力产生

+（-）剪力，（右侧相反），代数和结果为+

(-)时，剪力为+

(-)弯矩：考虑横截面左侧梁段时，顺（逆）针旋转的外力矩产生+（-）弯矩，（右侧相反），代数和结果为+

(-)时，弯矩为+

(-)注：对任一侧梁段，向上（下）的外力产生+（-）弯矩使梁向呈上凹例1试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的FS和M。解：1.由梁的整体平衡方程求支反力注意：求支座反力不是求内力！！！2.求内力A左邻截面：剪力：考虑横截面左侧梁段时，向下的外力产生（—）剪力弯矩：考虑横截面左侧梁段时，逆针旋转的外力矩产生（—）弯矩A右邻截面：注意：D左邻截面：D右邻截面：注意：注意：五、剪力图和弯矩图1、剪力方程和弯矩方程2、剪力图和弯矩图

列方程法作剪力图和弯矩图

叠加法作弯矩图剪力方程1、剪力方程和弯矩方程弯矩方程——剪力随横截面变化的函数表达式——弯矩随横截面变化的函数表达式剪力图2、剪力图和弯矩图弯矩图2.剪力正值画在横轴的上方，负值画在横轴的下方。做法：1.横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；；——剪力随横截面的变化曲线——弯矩随横截面的变化曲线3.弯矩正值画在横轴的下方，负值画在横轴的上方。弯矩画在受拉的一侧!!!作剪力图和弯矩图的方法：

（1）列方程法

（2）叠加法

（3）控制点法

列内力方程例

2

作图示梁的内力图。

作内力图解：

求支反力（1）列方程法例3

作图示梁的内力图。内力图特点：2.列内力方程3.作内力图解：

求支反力FS图突变，突变值等于集中力大小，

M图转折。集中力作用截面，例4

作图示梁的内力图。集中力偶作用截面，M图突变，突变值等内力图特点：2.列内力方程3.作内力图解：1.

求支反力于集中力偶大小，Fs图不变。（2）叠加法作弯矩图可见：

剪力方程和弯矩方程都是载荷F、q和Me的线性函数叠加原理：

由几个外力同时作用时所引起的构件内的某一参数

（内力、应力或位移等）

由各个外力单独作用时所引起的构件内的该一参数

的矢量和或代数和适用条件：小变形情况例5

试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：

1.作出F单独作用时的弯矩图

2.作出Me单独作用时的弯矩图

3.叠加上述两图，得到F和Me同时作用时的弯矩图例6

试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：

1.作出q单独作用时的弯矩图

2.作出Me单独作用时的弯矩图

3.叠加上述两图六、剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系1、FS、M和q之间的微分关系2、突变条件3、控制点法作剪力图和弯矩图1、FS、M和q之间的微分关系规定：q↑为

+取微段

dx

为研究对象由

Fy

=0：得到)M(x)F(xSM(x)+dM(x)F(x)+dF(x)SS剪力与分布载荷的关系由

MC=0：忽略二阶微量，得到)M(x)F(xSM(x)+dM(x)F(x)+dF(x)SS弯矩与剪力的关系即：弯矩二分布载荷集度弯矩一力剪

由此得到

x截面上的剪力对x的一阶导数

x截面上的分布载荷集度梁的平衡微分方程弯矩图凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度剪力图上x截面处的切线斜率

该截面处的分布载荷集度弯矩图切线斜率力剪微分关系的增量形式积分项的物理含义：

相应的图形（分布集度、剪力）的面积微分关系对应表q(x)=0q(x)=q

=qx

=0dF(x)

dx=

qq

>0q

<0斜直线斜直线水平线Fx常量=F

=dM(x)

dx=qd

M(x)

dx22q

>0q<0F>0F

=0F

<0水平线斜直线斜直线抛物线极大值抛物线极小值MxM图q图F

图常量

SSdF

(x)dxSSSSSS2、突变条件qxFxMxM图q图F

图FFFFSSMeMeMeMe突变条件对应表控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤：

根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点(面)。

应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值

(假定剪力和弯矩都为正方向)。

建立FS一x和M一x坐标系，并将控制点(面)上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。

应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。

例qBADa4aqaFAyFBy

梁由一个固定铰支座和一个可动铰支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁(overhangingbeam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。

解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由

求得A、F

二处的约束力qBADa4aqaFAyFByCOxFSOxM2．确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。

3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系

qaqBADa4aFAyFByOxFSOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa24．确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。CqaqBADa4aFAyFByOxFSOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa25．根据微分关系连图线对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。qBADa4aqaFAyFByOxFSOxM5．根据微分关系连图线对于弯矩图：在AB段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于是，AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEqAExE6．确定弯矩图极值点的位置。qBADa4aqaFAyFByOxFSOxM9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEe81qa2/32eEOxFSOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

7．确定剪力与弯矩的最大绝对值

从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为OxFSOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadqa2cqae81qa2/32eE

注意到在B支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。

刚架的内力与内力图

1.刚架概念刚架刚架桁架刚架——其组成各杆采用刚性固定联结，确保各杆接头处受力后无相对角度改变。桁架——若干杆件有铰接联结。受力后节点可以角度改变。当外力作用在节点时，桁架仅仅产生轴向力N。刚架无论受何种外力，其杆件横截面上将有产生的可能，且为主要内力。

简单刚架内力图的画法(1)无需建立坐标系；(2)控制面、平衡微分方程；(3)弯矩的数值标在受拉边;(4)轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；(5)注意节点处的平衡关系。节点处的平衡关系FNFSFNFSMMFNFSFNFSBMM例

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。B试：画出刚架的内力图。B

解：1、确定约束力qlBql解：2、确定控制面。B'B"ACB'ABA

解：3、确定控制面上的内力。FS(B')FN(B')M(B')考察立柱AB的平衡B"BC解：3、确定控制面上的内力。FN(B")FS(