2022-2023学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.(3-2i)(l+3i)=()

A.-3-71B.—3+IiC.9-7iD.9+71

2.已知集合/={y∣y=√/一2x-3}，则CRA=()

A.(-∞,0)B.(-∞,0]C.(-1,3)D.[-1.3]

3.函数/（x）=Znx+^2+3的最小值是（）

ʌ-1B.4c∙ID.3

4.tana=—2"是iicos2a=—|"的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.如图，在四棱锥P-ABC。中，四边形ABCD是正方形，PA1平

面ABCD,PA^AB,E是棱PC的中点，则异面直线PC与BE所成

角的余弦值为（）

√7

A.T

√6

B.T

√3

C.T

√2

D.T

6.《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为

了解某地中学生的体重情况,某机构从该地中学生中随机抽取IOO名学生,测量他们的体重（单

位：千克)，根据测量数据,按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六

组，得到的频率分布直方图如图所示.根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数

是（）

tħ1

A.55B.57.25C.58.75D.60

7.已知直线y=-gx+2与椭圆C：a+/=l(α>b>0)交于4，B两点，线段AB的中点

为P(2,l),则椭圆C的离心率是()

131

CD

√一3

A.22-4-4-

8.已知函数/⑶=2√2sin(ωx+⅛sin(ωx+≡)(ω>0)在［0,兀］上恰有3个零点，则3的取值

范围是()

A∙百年)B.［|,叙C.微片］D,(∣,f∣］

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知向量R=(2,m—1)范=(m,1)，则下列结论正确的是()

A.若有〃石，则m=2B.若m=2,则不〃石

C.若五J.石，则m=WD.若m=:，则HJ.B

10.如图，正方体ABCDBlCIDl的棱长为2,线段BlDl上

有两个不重合的动点E,F,则()

A.当前•荏=√I时，EF=2

B.AC11EF

C.AE的最小值为伤

D.二面角4-EF-B为定值

11.已知函数f(X)=弟一α(α:≠0),贝∣J()

A./(x)的定义域是(-oɑ,-I)U(-1,+8)

B./(x)在(—1,+8)上单调递增

C./（无）的图象关于点（一1,0）中心对称

D.不等式f（x）>α的解集是（一2,-1）

12.已知抛物线f=4%的焦点为产，直线/与抛物线交于4B两点，。为坐标原点，则下列

结论正确的是（）

A.若直线04OB的斜率之积为-2,则直线I过定点

B.若直线04,OB的斜率之积为-2,则△。4B面积的最大值是4√Σ

C.若44FB=120。，则驾料的最大值是学

∖hd∖3

D.若44FB=I20。，则当吗料取得最大值时,HFl=4

三'填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数/（x）=/-2αx+3的值域是［-1,+8）,则α=_.

14.已知直线八2x—y+遍=0与圆C：Q—1）2+（y—2）2=9交于4B两点，则

∖AB∖=—；若P是圆C上的一点，则APAB面积的最大值是—.

15.盲盒,是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.己知某盲盒产品共有3种玩偶,

小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为一.

16.若正数α,b满足三+±=1,则U7+3的最小值是

a2b2b-la-3

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

设正项等比数列｛α>t｝的前n项和为5,且ʤ=9,S3=63.

（1）求｛%l｝的通项公式；

（2）记｛an｝的前n项积为〃，求使得T71取得最大值的Ti的值.

18.（本小题12.0分）

在①α=4,②。是边BC的中点且AD=2,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并

作答.

问题：在△4BC中，内角A,B,C的对边分别是α,b,c,且αsiτυ4—cs讥C=（b—c）sinB.

⑴求4

（2）若,求b+c的最大值.

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（本小题12.0分）

如图，在三棱柱ABC-AIBlCI中，力&L平面ABC,4AA1=3AB,AABC是等边三角形，D,

E,尸分别是棱々Ci，AC,BC的中点.

(1)证明：4)〃平面GEE

(2)求平面4DE与平面ClEF夹角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

宠物猫作为伴侣动物出现在越来越多的家庭中，但这也导致了流浪猫群体的出现,流浪猫生存

环境恶劣，常常出现健康问题，其中猫瘟就是一种对猫的生命威胁极大的传染性疾病.某流浪

猫救助组织，同时救助了4只精神状态不好的流浪猫，而精神状态不好的流浪猫感染猫瘟病毒

的概率为，.为检查这4只猫是否已感染该病毒，要对这4只猫的排泄物进行病毒检测，为节约

检测成本，宠物医院建议分组检测.检测方案如下：每2只为一组，样本混合后检测，若混合

样本呈现阴性，则提供样本的猫均未感染该病毒，若混合样本呈现阳性，则样本中至少有1只

猫感染该病毒，就需对该组每只猫分别单独检测一次.

(1)若按宠物医院提供的检测方案，记检测总次数为X,写出X的分布列，并分析是否应该接

受这个建议.

(2)为预防猫瘟，市场研发相应疫苗，该疫苗连续“接种2针”或“接种3针”才能起到保护作

用，某宠物医院随机对接种该疫苗的100只猫作了数据跟踪，得到如下数据：这100只猫中共

有12只抗体未达标，其中只接种2针疫苗未达标的有8只，占只接种2针疫苗总数的能

抗体达标数量抗体未达标数量

接种2针疫苗

接种3针疫苗

完成上面的列联表，试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析该疫苗“接种3针”是否比

“接种2针”有更好的保护作用(注：抗体达标才能具有保护作用).

2

71

附：人(α+*b.)a(cf+7d∕)(α+?c)“(bA+:d7)」=Q+b+c+d∙

a0.050.0100.005

×a3.846.637.88

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C：捻一，=l(α>0,b>0)的右焦点为F(2,0),且点Q(√∑,√¾在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于4B两点,在X轴上是否存在不与尸重合的点P,使得

点F到直线P4PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=(x—rn)ex—ɪɪ2+nx,且曲线y=/(x)在X=0处的切线为y=-2.

(I)求τn,九的值和/(x)的单调区间；

(2)若f(%ι)=/(%2)=/。3)(%1<%3)，证明：%l+%2>0∙

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：(3-2i)(l+3t)

=3-2i+9i-6i2

=9+7i.

故选：D.

利用复数的运算法则直接求解.

本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：集合A={y∖y=Vx2—2x—3}={y∖y≥0)

则CRA=(-∞,0).

故选：A.

根据已知条件，先求出集合4再结合补集的定义，即可求解.

本题主要考查补集及其运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：函数/(%)的定义域为(0,+8),

则/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故/^(x)的最小值为f(1)=；+3=g

故选：C.

对函数求导，判断出函数的单调性，可得到其最小值.

本题考查导数的应用，考查利用导数求解函数的最值，考查学生计算能力，属于基础题.

4.【答案】B

2.21-tan2a_1-4_3

【解析】解：若tcma=-2,则cos2ɑ=cos2a-sin2ɑ=*nα

cos2α+sinαl+tan2α1+45

若cos2ɑ=一|,由c°s2α=在黑=-∣,可得tmα=±2,

所以“tma=-2"是itcos2a=一|"的充分不必要条件.

故选:B.

利用充分必要条件的定义，结合三角恒等变换，即得.

本题考查同角三角函数的基本关系以及充要条件的判断，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设MBl=2,

则B(2,0,0),E(0,l,l),C(2,2,0),P(0,0,2),

则而=(-2,1,1),CP=(-2,-2,2),

则屁∙CP=(-2)X(-2)+1×(-2)+1x2=4,

又I殖=限∖CP∖=2√3-

则8S<而，不>=磊=』邛

即异面直线PC与BE所成角的余弦值为博，

故选：D.

先建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合COS<说,而>=熹隽求解即可.

IBEIlCPl

本题考查了异面直线所成角，重点考查了空间向量的应用，属基础题.

6.【答案】C

【解析】解：因为(0.01+0.03+0.08)x5=0.6<0.75,0.6+0.04×5=0.8>0.75,

所以该地中学生的体重的第75百分位数在［55,60)内，

设第75百分位数为τn,则(m-55)x0.04+0.6=0.75,解得m=58.75.

故选：C.

结合频率分布直方图可求出频率，即可判断出第75百分位数所在区间，即可求出第75百分位数.

本题主要考查了频率分布直方图中，估计百分位数的求解，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设A(XI,%)，B(X2,了2)，

贝唠+1=1①，,+苴=1②，

∙∙∙P(2,l)是线段AB的中点，

空=2,中=1,且直线AB的斜率为今

・•・①②两式相减可得：⅞≠+置萨=0.

.(Xl+%2)(%1-%2)I(Vl+y2)0zL「2)_∩

・・+P-U'

∙4+∕¾⅛)¾≡)=o,

1,1/1、1八

••・温+京x(—5)x,=°，

・・・a2=4b2,

：,a2=4(α2—c2),

・・・3α2=4&2,

2

2c3

∙∙e=滔=屋

_V3

ʌe=­f

故选：A.

利用点差法，结合P是线段4B的中点，斜率为：，即可求出椭圆C的离心率.

本题考查点差法的应用，椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

8.【答案】B

【解析】解：∙.∙sin(ωx+^)=sin(ωx+ɪl÷=ysin(ωx+ɪɪ)+ycos(ωx+ʌ),

∙∙∙/(x)=2√2sin(ωx+^∣)[ysin(ωx+ɪ)+ycos(ωx+ɪ)]

=2sinz(ωx÷ɪ)÷2sin(ωx+ɪ)eos(eoɪ+ɪ)

=sin(2ωx÷^)—cos(2ωx+^)+1

=V2sin(2ωx—ɪ)+1,

0≤X≤7Γ,ω>0,，一三≤2(DX—ɪ≤2τrω—ɪ,

∙∙∙f(x)在［O,7Γ］上恰有3个零点,

手≤2兀3—行<殍，解得I≤ω<≡

故选：B.

利用三角函数恒变换化简得到f(x)=√2sin(2ωx-ɪ)+1,由0≤x≤∏∙,ω>0,得到一会≤

2ωx-⅞≤2τrω-⅞,由函数零点个数列出不等式组，求出3的取值范围.

本题考查函数的零点、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：向量为=(2,m—l),b=(τn,1),

对于4若五〃1，则W=Tɪ,解得血二一1或血=2,故A错误；

对于B,若τn=2,则2="U，；•五〃方，故8正确；

对于C,若五_L方，则五.石=2τn+m—1=0,解得m=：,故C正确；

对于D,若Tn=W,则五∙B=2m+m-l=0,.∙.五J.B，故。正确.

故选：BCD.

利用向量平行的性质判断4B,利用向量垂直的性质判断CD.

本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：连接&C］,，AD1,BD1,

由正方体的性质可知DIc"/AB,NGDIBl=45°,

则前•荏=I前IX2XCOS45。=√Σ解得IEFl=1,故A错误;

因为44ιJ■平面ZIBICID°B1D1U平面为BIClD0故AAI_LB1D1,

因为&Cl1BlD1，且AlCl∩AA1=A1,A1C1,AA1U平面44心(；，

所以BlDlJ_平面CIC,

ACiu平面44]CiC,所以当DlIAC1，即EFIAC口则8正确；

当AE∙LBι5时，AE取得最小值，此时AABι5为等腰三角形，

故最小值为J(2√2)2-(√2)2=√6>则C正确；

因为平面ZEF与平面ABlDl是同一平面，平面BEF与平面BBlDl是同一平面，

所以二面角A-EF-B就是二面角A-B1D1-B,

在正方体ABCD中，平面4当。1和平面BBlDl是两个确定的平面，

故二面角4一名。1一8是定值，所以二面角A—EF-B为定值，则。正确.

故选：BCD.

根据数量积的计算可求得I加I=1，判断4证明BlDl，平面Λ4]CιG,根据线面垂直的性质可判

断8；当4ElBι∕时，AE取得最小值，求得其值，判断C；根据正方体性质可知二面角A-EF-B

就是二面角A-BlDl-B,由此判断。.

本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：由题意得，x+lHO,即XK-I,A正确；

∕ω=^Γ-a=-τπ*当α<0时，B显然错误；

ʌIJLʌIɪ

因为/(X)=岩-a=-黑由y=-?的图象向左平移1个单位，故/Q)的图象关于(—1,0)对称，C

ʌIɪʌIɪAo

正确；

当a<0时，由/(x)=—岛∙>a可得久>一1或％—2,。显然错误.

故选：AC.

由函数成立条件可检验选项4

结合函数图象的平移及反比例函数的性质检验选BC-,

解不等式检验选项D.

本题主要考查了函数的定义域，单调性，对称性及不等式的求解，属于基础题.

12.【答案】AC

【解析】解：设直线心X=my+t9λ(x1,y1),^(上,均)，联立gz'

4m-

整理得V-4my-4t=0,则yl+y2=»、1先=4t.

因为直线。4OB的斜率之积为-2,所以然=-2.

×lx2

因为无=4与，谚=4必，所以打牝=2餐，所以翳=段=4=—2,解得t=2,即直线1

过定点(2,0),故A正确.

由A选项可知SAOAB=TX2仅1一九1=√16m2+32-4√τn2+2≥4√2,当且仅当Tn=0时，等号

成立，则△。4B面积的最小值是4√Σ故B错误.

在AAB尸中，由余弦定理可得∣4B∣2=∖AF∖2+∖BF∖2-2|力用∙∣BF∣cos乙4FB.因为乙4FB=120°,

22

所以MBl=y∕∖AF∖+∖BF∖+∖AF∖■∖BF∖,

,MfIHBFI_|4砰+所2+2|4叶IBrI_I]一

'MBl-J∖AF∖2+∖BF∖2+∖AF∖-∖BF∖~≡+⅛Γ

因为需+黑!N2,所以吗零1≤竽，当且仅当M用=IBFl时，等号成立，故C正确•

InrIIzirI依切ɔ

由C选项可知直线[的斜率不存在，设直线&x=τn,则直线L与％轴的交点为M(Tn,0),从而IMFl=

\m—1∖,∖AM∖=2√m.

因为NAFB=120°,所以FM=60°,所以tan/AFM=船=√5,即=√3,

∣Mr∣∣τn-1|

整理得3τ∏2—IOm+3=0,解得m=3或m=g∙当m=3时，|4用-4；当m=孑寸，∖AF∖=

综上，∣4F∣=4或MFl=*则。错误.

故选：AC.

设直线&x=my+t,AQι,yι),8(g,、2)，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得Yi+、2,

y1y2,然后由斜率之积求得t值，得定点坐标判断4由选项A的推导得AOAB的面积，由面积的

表达式得最小值，判断B,在△4BF中，由余弦定理得∣48∣=JjT坪T面再∏丽二T的，代入

端产后应用基本不等式得最值，判断C,由选项C的推导得可设直线八X=Tn然后求得MFI判

断D.

本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】±2

【解析】解：因为/(x)=X2-2ax+3=(x-α)2+3-a?的值域是［-1,+8),

所以3—a?=—1>

则a=±2.

故答案为：±2.

由已知结合二次函数的性质即可求解.

本题主要考查了二次函数性质的应用，属于基础题.

14.【答案】4√28√2

【解析】解：圆。：1)2+3—2)2=9的圆心(1,2),半径为3,

圆的圆心到直线的距离为：与曹=1,

√4+T

所以IABl=2×√9^71=4√2;

P是圆C上的一点，APAB面积的最大值时，P到直线的距离为：3+1=4,

三角形的面积的最大值为：gx4√∑x4=8√∑

故答案为：4√2;8V2∙

求出圆的圆心到直线的距离，结合圆心的半径，求解弦长；判断P的位置，即可求解三角形面积

的最大值.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

15.【答案】林

【解析】解：由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，

前4次恰好收集了其中的2种玩偶，有2种情况：

①前4次有3次是相同的,则有废•盘∙0=24种,

②前4次有2次是相同的,则有或∙Cl=18种，

则所求概率P=ɪ=抵

故答案为：ɪɪ-

根据给定条件，求出买5个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可计算作答.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

16.【答案】4

【解析】解：因为正数α,b满足|+%1，

.∣3d12h-l

则mZ=I—五=F-

所以装T=枭

同理可得力若,

则我+言=A氏2枭氏4,当且仅当α=励且=+%1,即α=5,b=翻取等号.

故答案为：4.

由已知先分别表示弁=枭尚吟代入到所求式子，结合基本不等式可求.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)正项等比数列｛αn｝中，α3=9,S3=63,

所以q≠1,

2

(a1q=9

所以QI(I-q3)_63，

11-g一

解得q=?或勺=一家舍)，

则%=36,

n1

故Q71=36×(∣)-;

(2)因为a=γτ<l

O7Iof

故当n=6时，7；取得最大值.

【解析】(1)由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；

(2)结合等比数列的项的范围即可求解.

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(!■)△/!BC中，asinA-csinC=(b—c')sinB,

22

由正弦定理得，a—c=(b—c')b,所以∕>2+¢2—cι2=be；

由余弦定理得cos4=l,2+c2~a2=处=工，

2bc2bc2

又因为4∈(0,7T),所以4=全

(2)若选择①a=4,则由三角形内角和定理得，B+C=π-∣=y,所以C=与一B,

b_c_a_4_8

由正弦定理得，布=嬴=诉=逅=而，

2

所以b=^⅛si曲c=^sinC=^sin(y-B),

所以b+c=。[sinB+sin(ɪ—B)]=,(∣sinF+与CoSB)=8岑SinB+ɪcosB)=8sin(B+「),

因为B∈(0年)，所以BE时，sin(B+*=l,此时b+c取得最大值为8.

若选择②。是边BC的中点且4。=2,则而=X通+就)，

1

LL..a—',∙">21if2'''>，'»2Ξ4=X

所以4D=i(ΛB÷2ΛF∙½C+ΛC),^Z4-(c2÷2cbcos-+h2),

所以Z?2÷c2+be=16,即(b+c)2—be=16,

因为加≤(竽)2,当且仅当b=C时取等号；

所以(b+c)2一止用≤16,即(b+c)2≤筝

所以b+c≤A=苧，即b+c的最大值为苧.

【解析】(1)利用正弦定理化角为边，再由余弦定理求出COSA和4的值；

(2)若选择①，利用三角形内角和定理、正弦定理，求出b=备sinB,c=^sin(y-β),利用三

角恒等变换求出b+C的最大值.

若选择②，利用而=XZ豆+灰)，化为(b+c)2—be=16,利用基本不等式化为(b+c)?—

2

妇生＜16,求解即可.

4~

本题考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算能力和转化思想，是中

档题.

19.【答案】解：(1)证明：连接8D,

∙∙∙E,尸分别是棱4C,BC的中点，∙∙∙E∕7∕4B,

•••EFU平面CIEF,ABC平面ClEF,二AB〃平面CIEF,

■­D,尸分别是棱BiG，BC的中点，∙∙∙BF"GD,BF=CID,

四边形BCCIF是平行四边形，贝IJBZV/C/,

∙.∙ClFU平面ClE/，BDC平面ClEF,.∙.BD〃平面CIEr,

∙.∙AB,BDU平面ABD,HABnBC=B,二平面ABD〃平面CIEF,

∙.∙ADU平面4BD,.∙.4D//平面CIE尸;

(2)取AlCl的中点。,连接OB1,OE,

在等边AaBIG中,则OBllaIC1，贝IJoB00C1,OE两两垂直,

可建立以。为原点，以。当、OC1、OE所在直线分别为X,y,z轴的空间直角坐标系。一Xyz,如图

所示:

不妨设AB=4,444ι=3AB,则A(O,-2,3),CI(0,2,0),。(悔1,0),

E(0,0,3),F(√3,l,3).

.∙.AD=(√3,3,-3),½F=(0,2,0)，留=(0,-2,3),EF=(√3,l,0)>

设平面4DE的法向量为元=(x1,yι,z1),

(n∙AD-V3x+3y—3z—O,,L,C«

则.一1八11,取tfr匕=8,则rll%=O,Zι=l,

(n∙AE-2y1=0,

・•・平面4。E的法向量为元=(√3,0,l),

设平面ClEF的法向量为记=(X2，%*2)，

贝叼——→L>取打=V3>则丫2=0，z2—1»

(jn-EF=√3X2+y2=0,

・•・平面GEF的法向量为沆=(√5,-3,-2)∙

设平面4CE与平面ClEF的夹角为

则CoSO=IcOS5,沅>|=器=2χX~j+4=I

故平面4DE与平面GEF夹角的余弦值为"

O

【解析】(1)连接BD,根据棱柱的结构特征，利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理,

即可证明结论；

(2)取4G的中点0,连接OB1，OE,可得OB】，OC1,OE两两垂直，建立以。为原点，以OB“OC1.

OE所在直线分别为X,y,Z轴的空间直角坐标系。-Xyz,利用向量法，求解即可得出答案.

本题考查直线与平面平行和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能

力、直观想象，属于中档题.

20.【答案】解：(I)X可取的值为2,4,6,

P(X=2)=(>=

P(X=4)=GXφ2×[1-φ2]=∣∣,

P(X=6)=[l-φη×[l-(^]=⅛

X分布列为:

X246

25628881

P

砺聒

L/u、C256λ288/81o..

E(X)=2×625+4×625+6×625=3-44,

因为3.44<4,所以出于节约检测成本的考虑，应该接受这个建议.

(2)列联表如下:

抗体达标数量抗体未达标数量合计

接种2针疫苗32840

接种3针疫苗56460

合计8812100

_IOoX(32x4-8x56)2

2≈4.04>3.84>

一_40×60×88×12―

所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们认为该疫苗“接种3针”比“接种2针”有更好的

保护作用.

【解析】(1)确定X可取的值为2,4,6,求出概率后得分布列，由期望公式计算出期望后可得结

论；

(2)由已知填充列联表，计算出X2,比较临界值即得.

本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.

21.【答案】解：(1)由题意得c=2,

P_A=1

则ɑ2/一\解得tl2=ι,炉=3,

.a2+b2=4

故双曲线C的标准方程为/_q=1；

(2)由(1)得双曲线C的标准方程为#一q=-

假设存在P(X0),设A(Xby1),B(X2,丫2)，

当直线斜率不为0时，设直线4B的方程为％=my+2(m≠0),

'x=my+2

联立产y2_ɪ»整理得(3z∏2—l)y2+12my+9=0,

则3T∏2-1≠O,Δ=(12m)2-4×9(3m2-1)=36(m2÷1)>O,

口.12m9

且力+力=-5^?%%=^^，

•••点尸到直线Λ4,PB的距离相等，

•••PF是UPB的角平分线，

则kp+kpB=0,即^^+^^=°，

ι4人］，CʌffV

m,

贝IJyι(?Hy2+2-n)+y2(3ι+2-n)=0,整理得2小丫,2+(2-∏)(yι+y2)=。，

2mx9

故=0,即3τn—2m(2—n)=O,

3m2-l(二?袈；”

Vm≠O,

n=ɪ1,即P&10);