（江西专用）高考数学二轮复习 专题限时集训（十二）点、直线、平面之间的位置关系（解析版）

专题限时集训(十二)[第12讲点、直线、平面之间的位置关系](时间：45分钟)1．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．32．已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图12－1，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1OA．A1DB．AA1C．A1D1D．A1图12－1图12－24．图12－2是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．互相平行B．异面且互相垂直C．异面且夹角为eq\f(π,3)D．相交且夹角为eq\f(π,3)5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．aα，bαB．aα，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．aα，b⊥α6．下列命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,bα))⇒a⊥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))⇒b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))⇒a⊥b；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥c,bα,cα))⇒a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3B．4C．5D．67．如图12－3，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面MACC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°图12－3图12－4.如图12－4，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EFA．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面QEF所成的角C．三棱锥P－QEF的体积图12－5D．二面角P－EF－Q的大小9．如图12－5，四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其主视图与左视图都是腰长为a的等腰直角三角形．则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．10．在正三棱锥P－ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则截面AMN与底面ABC所成的二面角正弦值是________．11．如图12－6，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(2)设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF－ABCD，VF－CBE，求VF－ABCD∶VF－CBE.图12－612．如图12－7，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝eq\r(2)，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中点O在线段DE内．(1)求证：CO⊥平面ABED；(2)问∠CEO(记为θ)多大时，三棱锥C－AOE的体积最大？最大值为多少？图12－713．如图12－8，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.(1)求证：BC⊥AF；(2)若点M在线段AC上，且满足CM＝eq\f(1,4)CA，求证：EM∥平面FBC；(3)试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．图12－8

专题限时集训(十二)【基础演练】1．C[解析]如图，选择一正方体作模型，记直线l为AA1，平面ABCD为α，B1C1为直线m，BCC1B1为平面β，则：虽有l⊥m，但α∥β不成立，②错；虽有α⊥β，但l与m2．B[解析]①不对，b，c可能异面；②不对，b，c可能平行；平行移动直线不改变这条直线与其他直线的夹角，故③对，选B.3．D[解析]由于A1C1⊥B1D1，根据正方体特征可得BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1＝B1，故A1C1⊥平面BB1D1D，B1O平面BB1D1D，所以B1O⊥A4．D[解析]把展开图还原为几何体，则l1，l2是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线，故一定相交且夹角为eq\f(π,3).【提升训练】5．B[解析]若满足A则a，b共面，但a，b可以不共面，A错；满足C则a，b平行，而a，b可以异面，C错；若满足D，则a，b垂直，也不符合题意．所以B正确．6．A[解析]因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直，所以①正确；又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a⊥b成立，所以③正确；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面，所以②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a∥α，b⊥a时，b与α可以平行、相交(垂直)，也可以bα，所以⑤错；当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或bα，所以⑥错．7．D[解析]找A1C1中点O1，则D1O∥BO1，D1O⃘平面A1BC1，O1B平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1；D1O⊥AC，使用勾股定理可得D1O⊥OM，OM∩AC＝O，可得D1O⊥平面MAC；异面直线BC1与AC所成的角就是∠A1C1B，等于60°；二面角M－AC－B的平面角是∠MOB，显然不可能是908．B[解析]平面QEF即平面A1B1CD，由于点P为A1D1的中点，故A正确；直线PQ与平面QEF所成角的正弦值是点P到平面QEF的距离与PQ长度的比值，其中点P到平面QEF的距离为定值，但PQ的长度不是定值，故直线PQ与平面QEF所成的角不是定值；由于点P到平面PEF的距离为定值，△QEF面积也为定值，故三棱锥P－QEF的体积为定值；二面角P－EF－Q是两个固定平面PDC与平面A1DCB1所成的角，故其为定值．9．6[解析]因为四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其主视图与左视图都是腰长为a的等腰直角三角形，故PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，共6对．10.eq\f(\r(6),6)[解析]如图，由于MN∥BC，所以MN∥平面ABC，所以平面AMN与平面ABC的交线为过点A且与直线BC，MN均平行的直线．取MN和BC的中点分别为E，F，则∠EAF即为所求二面角的平面角．设三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，根据△APF为等腰三角形可得，b＝eq\f(\r(3),2)a.在△AEF中，AF＝eq\f(\r(3),2)a，EF＝eq\f(PF,2)＝eq\f(1,2)×eq\r(PB2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),4)a，所以，sin∠EAF＝eq\f(EF,AF)＝eq\f(\f(\r(2),4)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(6),6).11．解：(1)设DF的中点为N，则MN綊eq\f(1,2)CD，又AO綊eq\f(1,2)CD，则MN綊AO，∴四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN，又AN平面DAF，OM⃘平面DAF，∴OM∥平面DAF.(2)过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴FG⊥平面ABCD，∴VF－ABCD＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·FG＝eq\f(2,3)FG.∵CB⊥平面ABEF，∴VF－CBE＝VC－BFE＝eq\f(1,3)S△BFE·CB＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)EF·FG·CB＝eq\f(1,6)FG，∴VF－ABCD∶VF－CBE＝4∶1.12．解：(1)在直角梯形ABCD中，CD＝2AB，E为CD的中点，则AB＝DE，又AB∥DE，AD⊥AB，知BE⊥CD.在四棱锥C－ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE＝E，CE，DE平面CDE，则BE⊥平面CDE.因为CO平面CDE，所以BE⊥CO，又CO⊥DE，且BE，DE是平面ABED内两条相交直线，故CO⊥平面ABED.(2)由(1)知CO⊥平面ABED，知三棱锥C－AOE的体积V＝eq\f(1,3)S△AOE·OC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×OE×AD×OC.由直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝eq\r(2)，CE＝2，得三棱锥C－AOE中，OE＝CEcosθ＝2cosθ，OC＝CEsinθ＝2sinθ，故V＝eq\f(\r(2),3)sin2θ≤eq\f(\r(2),3)，当且仅当sin2θ＝1，θ∈0，eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,4)时取等号，(此时OE＝eq\r(2)<DE，O落在线段DE内)．故当θ＝eq\f(π,4)时，三棱锥C－AOE的体积最大，最大值为eq\f(\r(2),3).13．解：(1)因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，所以BC⊥平面EABF.又AF平面EABF，所以BC⊥AF.(2)过M作MN⊥BC，垂足为N，连接FN，则MN∥AB.又CM＝eq\f(1,4)AC，所以MN＝eq\f(1,4)AB.又EF∥AB且EF＝eq\f(1,4)AB，所以EF∥MN，且EF＝MN，所以四边形EFNM为平行四边形．所以EM∥FN