2022-2023学年湖北省新高考高一年级下册册5月联考数学专项提升模拟试题（含解析）

2022-2023学年湖北省新高考高一下册5月联考数学模拟试题

(含解析)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∣l≤X<4},B={x∣y=ln(x2-2x-3)},则4C8等于()

A.(3,4]B.(-∞,-l)u[l,÷∞)C.(3,4)

D(F，-1]D(4,+8)

2.已知点P(1,2)在角ɑ的终边上，那么cos2a的值是()

34

3747

A.——B.5C.——D.5

55

3.设人m、n均为直线，其中m、n在平面a内，则“/J•加且/工〃”是“/‘1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.己知aABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若

<7sin5cosC+csinScosJ,且6r>',则B=()

2

ππ2π5π

A.6B.3C.3D.6

5.在正方形ABCD中，已知/3=1,点P在射线CD上运动，则PZ∙PB的取值范围为()

33

A.[0,1]B.[1,+8)C.[4,1]D.[4,+∞)

6.已知复数Z的实部和虚部均为自然数，在复平面内Z对应的点为Z,那么满足2≤M≤3

的点Z的个数为()

A.5B.6C.7D.8

7.已知三棱锥P-ZBC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,4ABC是边长为

2的正三角形，E、F分别是PA、AB的中点，EFL平面PAC,则球。的体积为()

y∣6πy∕6πy∕βπ

AɪD.瓜R

B.4C.2

g（x）,1≤x<k

8.定义：若f（x）=∕，则称f（X）是函数g（X）的k倍伸缩仿周期函数。

（kf（∕,xλ≥k

设g（x）=sm（万X）,且f（X）是g（x）的2倍伸缩仿周期函数。若对于任意的X间,

都有.（力2—8,则实数nι的最大值为（）

566488

A.12B.3C.ɜD.3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分。

9.若复数的、%是关于X的方程/+4x+5=°的两个根，则下列说法正确的是（）

x+x∣

A.ι2=-4b,x{+x2=-^iCXlX2=5d.xX2=5i

10.已知一个矩形ABCD,用斜二测画法得到其直观图H8'CT）'的周长为2,设为8=X,

BC=V,下列说法正确的是（）

Ll9

A.Xy的最大值为1B.X2y的最小值为4

17

C.缶+6的最大值为2

D.町+χ+y的最大值为8

11.已知函数f(x)=Acos卜X+夕)-1(A>0,0</<π),若函数y=|/(x)∣的部分图

象如图所示，函数g（x）=力sin（小一0），则下列结论不正确的是（）

A.将函数∙y=∕（x）+l的图象向左平移12个单位长度可得到函数g（X）的图象

B.函数，=g(X)的图象关于点I%'J对称

πππ

C.函数g(x)在区间［0,2］上的单调递减区间为［12,2］

7

D,若函数g(x+°X"°)为偶函数，则θ的最小值为12兀

12.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2AD=2CD=20将AACD沿着AC

翻折，使得点D到点P,且NPJ下列结论正确的是()

A.平面APC_L平面ABC

B.二面角P-NB-C的大小为45”

C.三棱锥尸一/8C的外接球的表面积为5π

√21

D.点C到平面APB的距离为7

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知卜+小君，'O?),且万//B,则非零向量'的坐标为。

14.在《九章算术》中，堑堵指底而为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底

面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥。如图，在堑堵"8C-44G中，

AC1BCAAx=AB=2√2；则当堑堵的体积最大时，阳马B-4"G的体

积为O

15.在aABC中，已知'8=2,"C=5,NBNC=60°,p是AABC的外心，则NAPB的余

弦值为。

16.农历五月初五是端午节。这一天民间有吃粽子的习俗，据说是为了纪念战国时期楚国大

臣、爱国诗人屈原。粽子的形状有多种。今有某种粽子类似于由一个直角三角形绕它的一条

π

直角边旋转5（如图）而成。如果粽子的馅可以看成是这个几何体内的一个球状物，则粽

子馅的最大体积为。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17.（10分）已知向量G=3e∣—2«2,3=4e∣+4e,,其中e∣=（Lo）,e2=（0,1）

（1）若GjJ,求实数k的值；

（2）若彳与万的夹角为锐角，求实数k的取值范围

18.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD,FB/1ED,AB=ED=2FB

（1）证明：EA〃平面BCF；

（2）证明：平面EAC，平面FAC.

19.（12分）在aABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知=限=3,且28=C"。

ZBAC的平分线交BC于点E0

（1）求角C；

（2）求AABE的面积。

20.（12分）如图所示，四棱锥尸一43CD的底面为直角梯形，

反=2方,NZM8=NNz）C=90°,PBL底面ABCD,PB=AB=AD

（1）求证：PDlBC.

（2）线段BC上是否存在点E,使得平面PADL平面PDE?若存在，求直线PE与平面PAD

所成角的正弦值；若不存在，请说明理由。

sinx+cosxj-sin2x

21.（12分）已知

⑴JX）T求小+乳值;

π

（2）将函数f（X）的图象向右平移“个单位得到函数'="U）的图象，若函数

V=MX）+Msmx+cosx）+5在χe［0,g上有4个零点，求实数∣ζ的取值范围。

22.（12分）函数丁=/（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数V=/（*）

为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数）'=/（"）的图象关于点P（a,b）成中心对

称图形的充要条件是函数∙y=∕α+"i为奇函数。已知函数〃"=4渥+.+1。

（1）若函数N=7U）的对称中心为（-1,2）,求函数J'=，（"）的解析式。

（2）由代数基本定理可以得到：任何一元〃SeN*）次复系数多项式f（X）在复数集中可

以分解为n个一次因式的乘积。进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）。

如设实系数一元二次方程"2χ-+qχ+αo=°（%χ°）,在复数集内的根为西，马，则方程

/F+qx+α＜）=0可变形为4（x.Xl）（X_》2）=0,展开得：

2

a2x-a2（x1x2）x÷¾x1x2=0

%

X∣÷X2=-----

a2

,q=-。2（芯+%）X也=&

则有a0=a2x∖x2即a2

类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系

①若方程/3=%在复数集内的根为石、2再，当此［°，1］时，求x；+W+W

的最大值；

LL-!-

②若a=—3,b=-2,函数V=）（A的零点分别为玉、“2、¾,求才x；K的值。

答案解析

1-5：CABBD6-8：CDB

9.AC10.BCD11.CD11.CD12.ACD

12.ACD

A.在AABC中，AB=2,BC=AD=T,乙4BC=60,由余弦定理可得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos60"=3∙AB2=AC2+BC2∙BClAC

VBClAPtZPcNC=Z,.∙.BC，平面APC,YBCu平面ABC,，平面APCL平面

ABC,故A对。

B.取Ae的中点E点，过点E点作EELZB于点F,;PA=PC,PEA.AC,

：平面APCL平面ABC,平面APen平面ZBC=4C,PE，平面ABC,

又∖∙EFJ.Z8,.∙.∕PFE是二面角尸一4S—C的平面角，在RtaPFE中,

PE=-,EF=-,tanZPFE=-=^-

24EF3故B错。

C.在Rt∆ABCψ,取AB的中点O',过O'点作PE的平行直线,

则三棱锥P-ZBC的外接球的球心0在这条直线上，设外接球0的半径为R,则

R2_L=JR2_1+1r2=5

N42,算得4,故外接球。的表面积为5兀，故C对。

rz_1cD„_l√3l-√3

vP-ABC=τSMBC'PE=τX^~X7：=~rr

D.由PEJ_平面ABC,332212。

3

cos/PAB=一,

在APAB中，PA=I,PB=五,AB=2,由余弦定理得4

sinNPAB=—,SAPAB=~PA∙ABsinNPAB=—

/.424。设点C到平面APB的距离为d,

,√21

y=JZd=-∑-

由OYBC可得7。故D对。

8√213/c

F-ττ(108-44√6)Æ

13.(-2,-4)14.315.1916.v>

,(8)d

k∈-∞,——u——,6

17.(1)k=6(5分)(2)I3>V3J(10分)

18.证明：（1）在正方形ABCD中，AD//BC

又由ADU平面ADE,BCeZ平面ADE,

故BC//平面ADEo

FBHED1同理可证FB//平面ADE,

又，：BCCBF=B,BC,BFU平面BCF,

，平面ADE〃平面BCF>分

XVEAc5FffiEAD,

.∙.£4//平面BCF?。。。。。。。。6分

(2)如图，连接BD交AC于0,连接OE。0F«设4B=ED=2FB=2,贝IJ

AB=AD=AC=2

由ED_L平面ABCD,ACU平面ABCD,

所以EZ)LZC,又ZC,8O,且EDCBD=D,ED,BDU平面BDEF,

所以ACX5FffiBDEF,

又OE,OFU平面BDEF,所以4C_L0E,AClOF,

所以/EOF是二面角E-ZC一尸的平面角，。。。。。。。。9分

在三角形EOF中，OF=JθB°+FB?=√3,

221

OE=^OD-+ED=√6,EF=yJBD+(ED-FB)=3,

所以”2=。工+0广，所以OE，。巳一U分

二面角E-'力C一尸是直二面角，即证平面EACJ_平面FAC?。。。。。。。12分

19.解(1)Vsin2B=sinC,・•・2sinBcosB=sinC,

=2cosB==J=V3=cosB=—,

SinBb2

Vc>b,.∙.B∈(θ])

=B=W，C=~~ooooooooooooooooo5分

Oɔ

(2)VA=≡,C=≡,B=7

236

SAACE+SAABE=SAABC

1A1A1

-AC∙AE∙sin-∙+z∙AB∙AE∙sin-=—AC∙AB∙sinA

22222

A

112cos-

=-----F—=--------

ABACAE

11__2cos45°3+b_√2

+AE'3√3-AE,

Ar3√63√23√2(√3-l)3√6-3√2

AE=—产=-T=-=------=----------,

3+√3√3+l22

SAABE=驹＞。。12分

A

(1)证明：如图所示，连接BD。

设PB=AB=AD=1,则CD=2

V∆ABD为等腰直角三角形

.∙.AB=C

又NBDC=45°,DC=2

.∙.BC=6

.∙.BDlBC

又PBJ_平面BCD,：.PBLBC

.∙.BC，平面PBD

分

•,∙BC-LPD9∙OOOOO4tT/J

（2）方法一：空间向量法

如图，以D为原点，OC方向为X轴，£%方向为y轴，BP方向为Z轴建立空间直角坐标

系，设PB=AB=AD=1,则CQ=2。

则各点坐标为：D(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),P(1,1,

1)-6分

假设存在，设BE二九BC,则点E的坐标为（入+1，一入+10）。

设〃I=(ɪɪ/NJ和〃2=(马必。2)分别为平面pad和平面pde的法向量。

VDA=(0∙l-0),AP=(1-0-1)

产B=o,MMo

l∏7∙AP=0l×ι+Z1=0

,,

令XI-1,得yι=0,Z1=-1»Λ∏7=(l0-1)

VDP=(14-1),DE=(λ+1>-λ+1>0)

.ʃnɪ∙DP=0Ix2+y2+z2=0

,

'"⅛∙DE=Ol(λ+l)x2+(-λ+l)y2=0

ʌX=1zaλ+l-2λ.——(λ+l-2λ∖

々72'倚：丫2=启,Z2=启..n2=(λl，五有｝°°°°°°°8

分

・・•平面PADj_平面PDE

nɪ1

λ^-

∙∙∙1÷⅛=°3

42

ΛE(3,3,o)PE=(⅛-⅛-1)

设直线PE与平面PAD夹角为0,则：

∏7∙PE2√22

sinθ=τ=———

11

∣n1∣∙∣PE∣

所以，线段BC上存在点E,使得平面PADL平面PDE,直线PE与平面PAD所成角的正

2卮

弦值为ɪɪ一

方法二：几何法

假设存在，如图，作BFlPD,垂足为F,连接EF

作FG1PD,垂足为F

∙/PDLBE,PD1BF

,PD，平面FBE

P

：.FE1PD

又GFIPD

，NGFE为二面角Z-尸。一E的平面角。。。。。。。。。。。8分

."GFE=90"

PB=1,BD=√2,j.PD=y∣3

在宜角三角形PDB中，BF=PBSinzDPB=y,PF=PB∙cos/FPB=/

，在直角三角形PAD中，AD=1,AP=√Σ,PD=√3ʌGF=PF∙tanzAPD=—

6

.∙.作GG'J,AB,垂足为G',PG===∣AP

COSZAPD22

∙*∙GG=ɪ

2

设S?=x,又BG'=NGBE=135°

由余弦定理。GE2=GB2+BE2-2G'B∙BE∙cosl35o=x2+—x÷i

24

XGG'∕∕PB.∙.GG'1GE

GE2=GG'+G'E2=X2+—x+i

22

VEB1PD,EB1BD

.∙.EB，平面PDB

.∙.EB1BF

ΛEF2=EB2+BF2=X2+^

3

VzGFE=90°

ΛGF2÷FE2=GE2

-√2

厂X-----

∙*∙T+^F~=X2+—X+—解得：3OOOOOOOOOIo分

6322

ΛPE=—,EF=—

33

∙.∙EFIPD,平面PAD_L平面PDE

AEFX5FffiPAD

设直线PE与平面PAD夹角为0,则：Sine=Il=等

所以，线段Be上存在点E,使得平面PAD，平面PDE,直线PE与平面PAD所成角的正

弦值为等…12

21.(1)f(x)=2√3sinxcosx+cos2x-sin2x=V3sin2x+cos2x

√31\

=2—sin2x+—cos2xI=2sin

/(ɪ)ɪɪ

若'2,BPsin(2x+g=1

4

则Sin(4x+=cos(4x+§=cos2(2x÷=l-2sin2(2x+3=l-2×Q)2=^

5分

(2)易知h(x)=2sin2x,

根据题意，设t=sinx+Cosx=√2sin(x+：),

X∈θ,ɪ

因为-2_,所以；wχ+;4］，

444

所以乎≤sin(x+B≤l,所以1≤T二

所以原方程变为kt+2(t2-l)+5=2t2+kt+3≈0,1≤t≤√2,

令g(t)=2t2+kt+3,1≤t≤√2

X∈0,—

因为原方程有4个零点，而方程1=/5皿1+9在L2」至多两个根，

所以1≤tV√Σ,且g(t)在1≤tV√Σ有两个零点，。。。。。。。。。8分

'g(l)=2+k+3≥0

1

则，，解得