【数学】辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试试题（解析版）

《创新设计》图书联系电话：400-186-9786辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试数学试题一、选择题1.若复数z满足，则（）A. B.5 C. D.20【答案】A【解析】因为，所以，所以．故选：A．2.若角终边上有一点，且，则（）A.4 B. C.-1 D.【答案】C【解析】由已知，得，解得.因为，所以，则.故选：C3.设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故同向.对于A:，方向相反,A选项错误；对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；对于D:,不能确定的方向，D选项错误.故选：C．4.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则【答案】C【解析】若，，，则与有可能平行，故A错误；若，，则可能在内，故B错误；若，，则，又，则，故C正确；若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误.故选：C.5.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.8 B.9 C.16 D.17【答案】A【解析】设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.易知，所以,故.故选:A.6.点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（）A.直线与一定平行 B.直线与一定相交C.直线与可能异面 D.直线与一定共面【答案】D【解析】由于，所以四点确定一个平面，因此直线与一定共面，故D正确，C错误，只有当且时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确，只有当但时，此时四边形为梯形，此时相交于点，故B不正确，故选：D7.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在同一直角坐标系中作出，，，的图象，由图象可知.故选：B.8.已知，且，函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】B【解析】当时，，则，则，即，，可得的大致图像如图：由图可知，此时的图像与直线仅有一个交点，故关于x的方程仅有一个实数根，不满足题意；当时，，则，又，的大致图像如图：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，所以的图像与直线有两个交点，结合图象可知，解得．故选：B．二、选择题9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象的一条对称轴方程为C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.函数在区间上单调递增【答案】ABC【解析】，函数的最小正周期为，故A正确；由，得，当时，，故B正确；由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．因为，函数在上不单调，故D错误．故选：ABC．10.已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数k可能为（）A.22 B.23 C.24 D.25【答案】BC【解析】因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，．所以，，，故时，．当时，，则满足的最大的正整数为；当时，，则满足的最大的正整数为，故满足的最大的正整数可能为与．故选：BC．11.已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（）A.的图象关于对称 B.C.是奇函数 D.与关于原点对称【答案】ABC【解析】对于选项A，因为是奇函数，所以，即，整理得2，所以的图象关于对称，故A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以，所以，所以，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误.故选：ABC.12.在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A.的面积为2 B.外接圆的半径为C. D.【答案】ABD【解析】设外接圆的半径为R，由正弦定理，得，解得，B正确；的面积，A正确；由，得，C错误；由，得，即，由，得，因此，所以，D正确．故选：ABD.三、填空题13.圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为______.【答案】1【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，又，所以，，扇形的面积.故答案为：1.14.已知向量，满足，，，则的夹角为______．【答案】【解析】因为，所以，由，得，解得，因此，又，所以向量的夹角为.故答案为：15.如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______．【答案】【解析】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，设，则，，又，所以，即，则．当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，所以，，，当时，，当时，，所以线段的长度的取值范围是．故答案为：16.如图，在直三棱柱中，，，，为线段上的一点，且二面角的正切值为3，则三棱锥的外接球的体积为__________.【答案】【解析】如图，作，交于，则，过作交于点，连接.因为为直三棱柱，则平面，且，则平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，则是二面角的平面角，所以，所以，又，，所以，所以，.可把三棱锥补成棱长为，，的长方体，则三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的体积为.故答案为：.四、解答题17.已知为锐角，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以，，．（2）因为锐角，则，而，则，所以，所以，∴.18.在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：是钝角三角形；（2）平分，且交于点，若，求的周长.（1）证明：在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得.因为，所以，所以是钝角三角形.（2）解：因为，且，所以，由余弦定理得：，解得或（舍去），所以，所以的周长为.19.已知函数，若函数的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数的图象上．（1）求函数的解析式；（2）若存在，使成立，求实数m的取值范围．解：（1）设为图象上任意一点，则是点Q关于原点的对称点，因为在的图象上，所以，即，故.（2），即,设，则，易知，所以在上是增函数，所以，可得．故实数m的取值范围是．20.已知数列满足，且（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.（1）证明：因，，所以，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，所以，所以当，时，.当，时，.当，时，.综上，21.如图1，在中，D，E分别为的中点；O为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，点F是线段上的一点（不包含端点）．（1）求证：；（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．（1）证明：由题意可知：，，所以，又O为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：取的中点G，连接，所以，以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以．设，所以，又，设平面DEF的一个法向量为，所以，令，解得，，所以平面DEF的一个法向量为，又，设直线EC和平面DEF所成角的大小为θ，所以，解得或（舍），所以．所以，即三棱锥的体积为．22.已知函数且．（1）讨论的单调性．（2）若有且仅有两个零点，求的取值范围．解：（1）因为函数且，函数定义域为，所以，当时，在上恒成立，在上单调递增，当时，令，则，所以当时，单调递