中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题23 几何初步与平行线（教师版）

专题23专题23几何初步与平行线知识导航知识导航知识精讲知识精讲考点1：直线、射线、线段，角的有关概念与计算1．直线、射线、线段与角（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.（2）射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.（3）线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.（4）两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离。2．1°=60',1'=60″.3．1周角=2平角=4直角=360°.4．余角、补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.5．对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等.【例1】小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线【答案】A【分析】根据线段的性质即可求解．【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．【例2】SKIPIF1<0的余角是__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】70°的余角是90°-70°=20°故答案为：20°．方法技巧方法技巧（1）互为余角的两个角的和等于90°;（2）互为补角的两个角的和等于180°.针对训练针对训练1．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是只填写序号）．①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．【答案】①【分析】根据直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质分别判断即可．【详解】解：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故正确；②车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故错误；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故错误；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故错误；故答案为：①．2．直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0如图所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故A选项正确；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故B选项正确；SKIPIF1<0，故C选项正确；∵SKIPIF1<0，∴EF=BE，故D选项错误，故选：D．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（）A．72° B．98° C．100° D．108°【分析】根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠OAC，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设∠BOD＝x，∵∠BOD：∠BOE＝1：2，∴∠BOE＝2x，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，∴∠OAC＝∠BOD＝36°，∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，故选：D．考点2：角平分线与垂直平分线1．角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.

2．线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

【例3】如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，再根据角平分线的定义得到∠ABC=∠BCD，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∵CB平分∠DCE，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠ABC，∵∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，∴∠ABC=20°，故选B．【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．【详解】解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．故选：D．方法技巧方法技巧（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.针对训练针对训练1．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=12（∠BAC+∠∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选：D．2．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，BP=CPDP=EP，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=APDP=EP，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．考点3：平行线的性质与判定1．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质:①两条直线平行，同位角相等；②两条直线平行，内错角相等；③两条直线平行，同旁内角互补.

3．平行线的判定:①同位角相等，两条直线平行；②内错角相等，两条直线平行；③同旁内角互补，两条直线平行.

【例5】如图，直线SKIPIF1<0，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m平分，∴∠6=∠7=45°；A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D．【例6】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，重足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】根据三角形内角和求出∠ABC=50°，再利用平行线的性质求出SKIPIF1<0即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴∠ACB=90°，∵SKIPIF1<0，∴∠ABC=90°-SKIPIF1<0=50°，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故选：C．方法技巧方法技巧（1）同位角相等，两直线平行;（2）内错角相等，两直线平行;（3）同旁内角互补，两直线平行.针对训练针对训练1．如图，已知直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∵SKIPIF1<0，∴∠4=∠1=40°，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故选B．2．如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（）A．95° B．105° C．110° D．115°【答案】B【分析】由SKIPIF1<0平行的性质可知SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0即可求解．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案是：B．3．两个直角三角板如图摆放，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB与DF交于点M．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：C．专题23几何初步与平行线考点1：直线、射线、线段，角的有关概念与计算1．如图，下列结论中错误的是（）A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠5与∠6是内错角 D．∠3与∠5是同位角【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义结合图形进行判断即可．【解答】解：如图，∠1与∠2是直线a与直线b被直线c所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；∠1与∠6是直线a与直线b被直线c所截的内错角，而∠6与∠4是邻补角，所以∠1与∠4不是内错角，因此选项B符合题意；∠5与∠6是直线c与直线d被直线b所截的内错角，因此选项C不符合题意；∠3与∠5是直线c与直线d被直线b所截的同位角，因此选项D不符合题意；故选：B．2．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．经过一点有无数条直线【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：B．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（）A．72° B．98° C．100° D．108°【分析】根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠OAC，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设∠BOD＝x，∵∠BOD：∠BOE＝1：2，∴∠BOE＝2x，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，∴∠OAC＝∠BOD＝36°，∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，故选：D．考点2：角平分线与垂直平分线4．如图，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点O，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，且SKIPIF1<0恰好平分SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______度．【答案】60【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得SKIPIF1<0，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由对顶角相等得：SKIPIF1<0，故答案为：60．5．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据平行线的性质得出SKIPIF1<0，根据角平分线定义求出SKIPIF1<0，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．6．如图，直线SKIPIF1<0，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为_________°．【答案】60【分析】根据角平分线的定义可求出SKIPIF1<0的度数，即可得到SKIPIF1<0的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．【详解】SKIPIF1<0一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．7．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+FA＝20．考点3：平行线的性质与判定8．如图，下列两个角是同旁内角的是（）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据同旁内角的概念求解即可．【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角，∠1与∠2是内错角，∠4与∠2是同位角，故选：B．9．图，直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点A，交SKIPIF1<0于点B，过点B的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据平行线性质计算角度即可．【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B．10．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．请完成下面的说理过程．解：已知SKIPIF1<0，根据（内错角相等，两直线平行），得SKIPIF1<0．再根据（※），得SKIPIF1<0．A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补【答案】C【分析】首先准确分析题目，已知SKIPIF1<0，结论是SKIPIF1<0，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（两直线平行，同位角相等）．故选C．11．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点A，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【分析】根据SKIPIF1<0可判断SKIPIF1<0，再利用两直线平行内错角相等即可得出结论．【详解】SKIPIF1<0，直线DE经过点A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：D．12．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF