中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题26 特殊三角形（教师版）

专题26专题26特殊三角形知识导航知识导航知识精讲知识精讲考点1：等腰三角形的性质与判定1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线.

3．判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.【例1】如图，在SKIPIF1<0的正方形网格中有两个格点A、B，连接SKIPIF1<0，在网格中再找一个格点C，使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【例2】如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则SKIPIF1<0的度数是_______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴∴∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴∵∴∴②当点P在CB的延长线上时，如图

由①得，∵AC=PC∴∴故答案为：或针对训练针对训练1．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．2．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．3．如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，SKIPIF1<0，将边SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转到SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度数．【答案】（1）见详解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后问题可求证；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，进而根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴根据三角形内角和可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．考点2：等边三角形的性质与判定1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.2．性质:①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;②“三线合一”;③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.

3．判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【例3】如图，在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，点E是AC的中点，且SKIPIF1<0（1）尺规作图：作SKIPIF1<0的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出SKIPIF1<0的平分线AF即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到SKIPIF1<0并求出SKIPIF1<0，再根据等腰三角形三线合一性质得出SKIPIF1<0，从而得到EF为中位线，进而可证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF平分SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AF平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为等边三角形．方法技巧方法技巧（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.针对训练针对训练1．在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．图1图2图3（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：SKIPIF1<0；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且SKIPIF1<0，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当SKIPIF1<0最小时，直接写出SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）①SKIPIF1<0；②见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG=SKIPIF1<0，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出SKIPIF1<0，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．【详解】（1）解：①如图所示，连接AG，由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，∴∠GFB=60°，∵BD⊥AC，∴∠FBC=30°，∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，∵AC=BC，GC=GC，∴△GBC≌△GAC（SAS），∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，∵AB=6，∴AD=3，AG=BG=SKIPIF1<0，∴在Rt△ADG中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，∵△ABC和△GEF均为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，∴∠BEF+∠BHF=180°，∵∠BHF+∠KHF=180°，∴∠BEF=∠KHF，由辅助线作法可知，FB=FK，则∠K=∠FBE，∵BD是等边△ABC的高，∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，∴∠BFK=120°，在△FEB与△FHK中，SKIPIF1<0∴△FEB≌△FHK（AAS），∴BE=KH，∴BE+BH=KH+BH=BK，∵FB=FK，∠BFK=120°，∴BK=SKIPIF1<0BF，即：SKIPIF1<0；（2）如图1所示，以MP为边构造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，则PJ=SKIPIF1<0MP，∴求SKIPIF1<0的最小值，即为求SKIPIF1<0的最小值，如图2所示，当运动至N、P、J三点共线时，满足SKIPIF1<0最小，此时，连接EQ，则根据题意可得EQ∥AD，且EQ=SKIPIF1<0AD，∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，∵∠PEF=60°，∴∠MEP=∠QEF，由题意，EF=EP，∴△MEP≌△QEF（SAS），∴∠EMP=∠EQF=90°，又∵∠PMJ=30°，∴∠BMJ=60°，∴MJ∥AC，∴∠PMJ=∠DNP=90°，∵∠BDC=90°，∴四边形ODNJ为矩形，NJ=OD，由题，AD=3，BD=SKIPIF1<0，∵MJ∥AC，∴△BMO∽△BAD，∴SKIPIF1<0，∴OD=SKIPIF1<0BD=SKIPIF1<0，OM=SKIPIF1<0AD=SKIPIF1<0，设PJ=x，则MJ=SKIPIF1<0x，OJ=SKIPIF1<0x-SKIPIF1<0，由题意可知，DN=SKIPIF1<0CD=2，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即：PJ=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．2．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图1，求SKIPIF1<0的长；（2）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，M是高SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形SKIPIF1<0的边长为3，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形SKIPIF1<0，其中点F、G都在直线SKIPIF1<0上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0即可；（2）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，可证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在A处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．可得点SKIPIF1<0运动的路径的长SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，可证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．可求点SKIPIF1<0所经过的路径的长SKIPIF1<0；（4）连接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的SKIPIF1<0上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即，可求SKIPIF1<0，点G所经过的路径长为SKIPIF1<0长=SKIPIF1<0，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0．【详解】解:（1）∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在A处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合．∴点SKIPIF1<0运动的路径的长SKIPIF1<0；（3）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处时，点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，∴点SKIPIF1<0所经过的路径的长SKIPIF1<0；（4）连接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的SKIPIF1<0上运动，∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，∴∠COB=90°，设OC=x，由勾股定理SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，点G所经过的路径长为SKIPIF1<0长=SKIPIF1<0，点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧SKIPIF1<0上运动，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长度，∵点G运动圆周的四分之一，∴点H也运动圆周的四分一，点H所经过的路径长为SKIPIF1<0的长=SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．考点3：直角三角形的性质1．性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.2．判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.

【例4】如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为．【分析】求出∠ACD，根据三角形内角和定理求出∠AFC，求出∠DFB，根据三角形的外角性质求出即可．【详解】如图，∵∠ACB＝90°，∠DCB＝65°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°，∵∠A＝60°，∴∠DFB＝∠AFC＝180°﹣∠ACD﹣∠A＝180°﹣25°﹣60°＝95°，∵∠D＝45°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．针对训练针对训练1．如图，已知点SKIPIF1<0是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC=，则AP=+PC，PE=AP=+PC，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF=PC，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，∴∠CAE=30︒，∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，∴AC=，∴AP=+PC，在直角△AEP中，∵∠PAE=30°，AP=+PC，∴PE=AP=+PC，在直角△PFC中，∵∠PCF=30°，∴PF=PC，∴=+PC-PC=，故选：B．考点4：勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.【例5】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为尺．【答案】12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．方法技巧方法技巧（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.（3）用于证明平方关系的问题.针对训练针对训练1．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC=AB∵，∴OA=8，OC=2∴AC=AB=10在Rt△OAB中，∴B(0，6)故选：D2．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，，，．故选：C．专题26特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．如图．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．【详解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案为：54°．2．如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______（用含SKIPIF1<0的代数式表示）．【答案】SKIPIF1<0【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=SKIPIF1<0，∠BDC=SKIPIF1<0，两角相加即可得到结论．【详解】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB=SKIPIF1<0在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．3．将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径SKIPIF1<0对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线SKIPIF1<0剪开，再将SKIPIF1<0展开得到如图3的一个六角星．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC，EO由折叠性质可得：∠EOC=SKIPIF1<0，EC=DC，OC平分∠ECD∴∠ECO=SKIPIF1<0∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即SKIPIF1<0的度数为135°故答案为：135°4．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0；交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．【答案】（1）见详解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后问题可求证；（2）由题意易得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∵BD平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0．5．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．）如图，等边三角形ABC的边长为4，SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，P为AB边上一动点，过点P作SKIPIF1<0的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC，∵PQ和圆C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，∴当CP最小时，PQ最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵圆C的半径CQ=SKIPIF1<0，∴PQ=SKIPIF1<0=3，故答案为：3．7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．【解析】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，AB=CA∠ABQ=∠CPAAP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．10．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再证明FD＝FC即可解决问题．（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中，∵∠EDC＝90