中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题29 平行四边形（原卷版）

专题29专题29平行四边形知识导航知识导航知识精讲知识精讲考点1：平行四边形的性质1．平行四边形：两组对边分别平行的四边形.2．平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行;

（2）平行四边形的对边相等;

（3）平行四边形的对角相等;

（4）平行四边形的对角线互相平分.

【例1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD【答案】A【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．【详解】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；

平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；

平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；

平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．故选：A．方法技巧方法技巧在解答平行四边形的题型中，往往涉及到三角形的全等证明，在对学生的综合考查方面有一定要求针对训练针对训练1．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，SKIPIF1<0，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．【详解】解：如图，延长EG交AB于H，∵∠BMF=∠BGE=90°，∴MF//EH，∴∠BFM=∠BHE，∵SKIPIF1<0，∴∠BFM=∠BHE=60°，∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，∴∠DEH=∠BHE=60°，∵∠GEN=45°，∴SKIPIF1<0，故选：C．2．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长是（）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同理可证：AE＝AB＝3，∵AD＝4，∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，∴EF＝4−1−1＝2．故选：B．3．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若SKIPIF1<0，则点A的坐标是__________．

【答案】（3，0）【分析】根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解．【详解】解：∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴OA=BC=3，∴点A的坐标是（3，0），故答案是：（3，0）．4．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△DOF≌△BOE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠1＝∠2．（2）∵点O是对角线BD的中点，∴OD=OB，在△DOF和△BOE中，SKIPIF1<0，∴△DOF≌△BOE．考点2：平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形;

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【例2】下列命题正确的是（）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；C.过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；D.三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．【例3】如图，点SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0所在的直线上，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状．【详解】解：由题意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，故选：A．方法技巧方法技巧（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.针对训练针对训练1．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，SKIPIF1<0．

（1）求证：SKIPIF1<0．（2）判断四边形SKIPIF1<0的形状，并证明．【答案】（1）见详解；（2）四边形SKIPIF1<0是平行四边形，理由见详解【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠B，再证明AC=BD，根据SAS即可得到结论；（2）由SKIPIF1<0得∠ACE=∠BDF，DF=CE，根据平行四边形的判定定理，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴∠A=∠B，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：AC=BD，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）四边形SKIPIF1<0是平行四边形，理由如下：∵SKIPIF1<0，∴∠ACE=∠BDF，DF=CE，∴DF∥CE，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形．2．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且SKIPIF1<0．求证：（1）SKIPIF1<0；（2）四边形AEFD是平行四边形．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到SKIPIF1<0；（2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据SKIPIF1<0可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到四边形AEFD是平行四边形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，在△ABE和△DCF中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SAS）．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，即AD=BE+EC，∵BE=CF，∴AD=CF+EC，即AD=EF，∵点F在BC的延长线上，∴AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形．3．如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）探究四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由；（2）连接SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据SKIPIF1<0，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形SKIPIF1<0为平行四边形．理由如下：∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形（2）设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．专题29平行四边形考点1：平行四边形的性质1．下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A.平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，B.平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，C.平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，D.平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．2．如图，SKIPIF1<0的顶点A，B，C的坐标分别是SKIPIF1<0，则顶点D的坐标是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，∴A到D也应向右移动4个单位长度，∵点A的坐标为(0，1)，则点D的坐标为(4，1)，故选:C．3．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（）A．61° B．109° C．119° D．122°【答案】C【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出SKIPIF1<0，根据角平分线的性质得：AE平分∠BAD求SKIPIF1<0，再根据平行线的性质得SKIPIF1<0，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵AE平分∠BAD∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选C．4．如图，点O是SKIPIF1<0对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．【详解】∵点O是SKIPIF1<0对角线的交点，∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，A选项成立；∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；若SKIPIF1<0，则DO=DC，由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；故选：A．5．如图，在SKIPIF1<0中，点E在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为________．【答案】50【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=SKIPIF1<0BE=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四边形ABCD的面积=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=50，故答案为：50．6．如图，在SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点O，点E是边SKIPIF1<0的中点．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____．【答案】5【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC的中点，又∵点E是AB的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝SKIPIF1<0BC＝5．故答案为：5．7．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是____．【答案】40°【分析】如图，由折叠的性质可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，然后易得四边形SKIPIF1<0是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．【详解】解：如图所示：

∵SKIPIF1<0，由折叠的性质可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0；故答案为40°．8．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，SKIPIF1<0．求证：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证明∠EAD=∠FCB，利用SAS证明两三角形全等即可．（2）利用SKIPIF1<0，得出∠E=∠F，再利用内错角相等两直线平行即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC，AD=BC∴∠DAC=∠ACB∴∠EAD=∠FCB在△ADE和△CBF中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(SAS)（2）∵SKIPIF1<0∴∠E=∠F∴ED∥BF考点2：平行四边形的判定9．如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，将对角线SKIPIF1<0向两端分别延长至点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．证明：四边形SKIPIF1<0是平行四边形．

【分析】先证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再证明AB∥CD，进而即可得到结论．【详解】证明：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴∠BAE=∠DCF，∴∠BAC=180°-∠BAE=180°-∠DCF=∠DCA，∴AB∥CD，又∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形．10.如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形SKIPIF1<0为平行四边形．【答案】（1）SKIPIF1<0（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析【分析】（1）由题意可知SKIPIF1<0，要使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则使得SKIPIF1<0即可，从而添加适当条件即可；（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．【详解】（1）显然，直接添加SKIPIF1<0，可根据定义得到结果，故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一，符合题意即可）；（2）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形．11．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0左侧），且SKIPIF1<0．（1）求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形．（2）当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，SKIPIF1<0，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到SKIPIF1<0，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．【详解】（1）证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0