2023年陕西省宝鸡市高考文科数学质检试卷及答案解析

2023年陕西省宝鸡市高考文科数学质检试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={x∣-l<x<l},B={x∣0≤x≤2},则AnB=（）

A.{Λ-∣-l<x≤2}B.{Λ∣0≤X<1}C.{x∣l<x≤2}D.{x∣0<x<l}

2.（5分）已知复数Z=（1+/）3+j,则复数Z的模为（）

A.√T1B.2√3C.√13D.√14

3.（5分）若函数/（-χ）=Λ3+X2,则曲线y=∕（x）在点（1,/（1））处的切线方程为（）

A.y=5x-3B.y=-x+1C.y=5x-5D.y=x-1

4.（5分）在区间（-2,2）内随机取一个数达使得4χVκ-3的概率为（）

Illl

A∙一B.-C.-D.-

2345

χ2

5.（5分）已知双曲线=-y2=［（〃>0）的焦距为4,则该双曲线的离心率为（）

L2√34

A.2B.2√3C.------D,一

33

6.（5分）在正项等比数列{◎}中，若优，3〃5,幻依次成等差数列，则{〃〃}的公比为（）

11

A.2B.—C.3D.一

23

7.（5分）己知函数/（E）=S讥（2x+¢）（0V0V分设甲：UVφ≤%乙：函数f（%）在

区间（0,强）上单调递增，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（5分）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城

建立的周公测景（影）台.“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，

太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影.到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）

规定为八尺长.用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于

丈量土地.同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，

所谓“影差一寸，地差一尺"（1尺=10寸）.记“表”的顶部为A,太阳光线通过顶部A

投影到“圭”上的点为B.同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中

直线AB与地面所成的角为。，且tan。='则甲、乙两地之间的距离约为（)

A.15千里B,14千里C.13千里D∙12千里

9.（5分）已知oc∈（O,π）,tan2a=则α=（）

π57Γ3π2τr

A.-B.—C.—D.—

3643

10.（5分）执行如图所示的程序图，若输入的〃=16,则输出的i,攵的值分别为（）

A.3,5B.4,7C.5,9D.6,Il

11.（5分）已知α=2°3,⅛=0.32,C=IOg23,则（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

12.（5分）在直角坐标系Xoy中，已知点尸是圆0：f+y2=ι上一动点，若直线/：kχ-y

-2⅛+3=0上存在点Q,满足线段PQ的中点也始终在圆O上,则k的取值范围是（）

A.（一导，O）B.（-∞,一韵U（0,+8）

C.[--ɪ/0]D.（-8,--ɪ]U[0,+8）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量Z=（-2,x）,b=（—1,3）,若b∣∣（α+b）,则X=.

14.（5分）从某校随机抽取某次数学考试100分以上的学生成绩，将他们的分数数据绘制

成如图所示频率分布直方图.若共抽取了100名学生的成绩，则分数在[120,130）内的

人数为.

15.（5分）已知抛物线Cy2^2px（p>0）上的点P到焦点的距离比到），轴的距离大2,

贝IJp=.

16.（5分）柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作

的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉

图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为

正六面体.如图，在一个棱长为4力〃的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八

面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则

三、解答题：共7（）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

b2——coS

17.（12分）在aABC中，角4,B,C所对边分别为a,b,c,一=-----.

a1+cosA

(1)证明:2a=b+c;

(2)若COSA=[,a-2y∕6,求AABC的面积.

18.(12分)如图，在三棱柱ABC-AIBICI中，平面ABBiAi，平面ABC,四边形ABBIAl

是边长为2的菱形，z^ABC为等边三角形，ZAιAB=60o,E为BC的中点，。为CCl

的中点，P为线段AC上的动点.

(1)若ABi〃平面POE,请确定点尸在线段AC上的位置；

(2)若点P为AC的中点，求三棱锥C-PZ)E的体积.

19.(12分)一位父亲在孩子出生后，每月给小孩测量一次身高，得到前7个月的数据如下

表所示.

月龄X

身高y(单52566063656870

位：厘米)

(1)求小孩前7个月的平均身高；

(2)求出身高y关于月龄X的回归直线方程(计算结果精确到整数部分)；

(3)利用(2)的结论预测一下8个月的时候小孩的身高.

20.(12分)已知函数/(x)=Inx-ax+a(a>0).

(1)当α=2时，求/(x)的单调区间；

(2)设函数/(x)的最大值为相，证明：机20.

42y2

21.(12分)已知椭圆C：丁+77=l(a>b>O)的短轴长和焦距相等，长轴长是2√Σ

aLDΔ

(1)求椭圆C的标准方程；

，、一_3√5一

(2)直线/与椭圆C相交于P,Q两点，原点。到直线/的距高为——.点M在椭圆C

上，且满足OM=OP+OQ,求直线/的方程.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)在平面直角坐标系Xo)，中，直线/的参数方程为C二:J1(r为参数)，以坐

标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2(i+side)

=2∙

(1)求直线/的一般式方程和曲线C的标准方程；

(2)若直线/与曲线C交于A,B两点，点尸(1,0),求∣∕¾∣∙∣PB∣的值.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=∣Λ-l∣+∣x+2∣-1.

(1)求不等式/(x)W4的解集；

14

(2)设x∈R时，f(x)的最小值为M∙若正实数”,h,满足4+b=M,求一+工的最小

值.

2023年陕西省宝鸡市高考文科数学质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合A={x∣-1Vχ<l},B={x∣0≤x≤2},则ACB=()

A.{x∖-l≤x≤2}B.{Λ∣O≤X<ɪ}C.{Λ∣1<X≤2}D.{Λ∣0<X<1}

【解答】解：∙.∙A={x∣-l<χVl},B={Λ∣0≤X≤2};

ΛA∩B={x∣0≤x<l}.

故选：B.

2.(5分)已知复数Z=(1+/)⅛,则复数Z的模为()

A.√∏B.2√3C.√13D.√14

【解答】解：因为(l+i)2=l+ι2+2i=2z,

所以z=2i(l+i)+i=-2+3/,

所以IZl=√(-2)2+32=√13.

故选：C.

3.(5分)若函数/(-χ)=4+),则曲线y=∕(x)在点(1,/(1))处的切线方程为()

A.y=5x-3B.y=-x+↑C.y=5x-5D.y=x-1

【解答】解：函数/(-X)=/+/

：.f(X)=-3X2+2X,/(I)=-1+1=0,

/(I)=-1,即函数y=∕-x+2在点(1,2)处的切线斜率是-1,

曲线y=∕(x)在点(1,/(D)处的切线方程为

所以切线方程为：y=-x+∖,

故选：B.

4.(5分)在区间(-2,2)内随机取一个数X,使得4x<χ-3的概率为()

Illl

A.-B.-C.一D.一

2345

【解答】解：由4χVχ-3,解得XV-1,

使得4x<x-3的概率P=(El)](容=ɪ

故选：C.

5.（5分）己知双曲线=-y2=1（a>o）的焦距为4,则该双曲线的离心率为（）

L2√34

A.2B.2√3C.-----D.一

33

【解答】解：由双曲线"-y2=i（α>O）的焦距为4可得c=2,b=l,

则α=yjc2—b2=V3,所以e=W=^~γ~∙

故选：C.

6.（5分）在正项等比数列｛α,,｝中，若。6,3公，幻依次成等差数列，则｛珈｝的公比为（）

11

A.2B.-C.3D.-

23

【解答】解：正项等比数列｛坳｝的公比设为％<7>O,

46,3。5,47依次成等差数列，可得6α5="6+”7,

即有（ya∖qi-a∖<f,+a∖^,

化为q2+c]-6=0,解得q=2（-3舍去），

则｛如｝的公比为2,

故选：A.

7.（5分）已知函数f（x）=sin（2x+w）（0〈即V号），设甲：OVS≤看，乙：函数f（x）在

区间（0,看）上单调递增，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：当0<⅛V看时，φ<2x+φ<j+φ,又因为OVpV5,若函数/（%）在区

间（0,9上单调递增，则有<p+.≤*,可得OVp≤*

若。<φ≤奈,当OVXv热，2x+φW（φ,+（p）ɑ（0,分则函数/（x）在区间（0,

装）上单调递增；

故甲是乙的充要条件.

故选：C.

8.（5分）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城

建立的周公测景（影）台.“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，

太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影.到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）

规定为八尺长.用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于

丈量土地.同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，

所谓‘'影差一寸，地差一尺"（1尺=10寸）.记“表”的顶部为A,太阳光线通过顶部A

投影到“圭”上的点为B.同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中

直线A8与地面所成的角为。，且tan。=2则甲、乙两地之间的距离约为（）

A.15千里B.14千里C.13千里D.12千里

O

【解答】解：由题意可知甲地的日影子长为亘=3尺,从而得到乙地的日影子长为1.5尺,

3

则甲、乙两地之间的距离约为（3-1.5）XIo=I5千里.

故选：A.

Csina

9.(5分)已知a∈(0,π),tan2a=-------,则a=()

τ1+icosa

π5TT3π2π

A.-B.C.—D.

3643

sinaz∣sin2a2sinacosasina

【解答】解:由ta∏2a=1Va∈(0,π),

1+cosa付∙cos2a2cos2a-l1+cosa

Λsina>0,

2cosa1

ɔ一，

2cosza-l1+cosa

解得：cosa=-ɪ,

.2τr

∙∙cx二丁∙

故选：D,

10.（5分）执行如图所示的程序图，若输入的〃=16,则输出的i,&的值分别为（)

z=lΛ=l^=θ

fc=2M

A.3,5B.4,7C.5,9D.6,11

【解答】解：模拟程序的运行，可得

〃=16,Z=L&=1,S=O

不满足条件s>〃,执行循环体,5=2,i=2,k=3

不满足条件s>小执行循环体,5=7,i=3,k=5

不满足条件5>〃，执行循环体，S=I5,i=4,4=7

不满足条件执行循环体,5=26,i=5,k=9

满足条件s>小退出循环，输出入攵的值分别为5,9.

故选：C.

11.(5分)已知〃=2°3,⅛=0.32,C=Iog23,则()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解答】解：因为2°V2°∙3<2°∙5,

所以α∈(1,√2),

因为0<0.32<0.30,

所以⅛∈(0,1),

O

S^j∕052√8<log23<log24,所以c∈(],2),则bV〃Vc.

故选：A.

12.(5分)在直角坐标系XO)，中，已知点P是圆0：f+)2=ι上一动点，若直线/：kx-y

-2k+3=0上存在点Q,满足线段PQ的中点也始终在圆Ot,则k的取值范围是()

A.(-导，0)B.(-8,T)U(0,+8)

C.[-导，0]D.(-8,—U[0/+∞)

【解答】解：由题意分析可知，直线/：fcv-y-2%+3=0过定点M(2,3),设PQ的中

点为A,

因为圆。：/+y2=l的圆心。(0,0),半径为r=l,

若满足线段PQ的中点A点在圆上，则IPQ=2∣∕¾∣W2X2r=4,

又IPQI=2∣AQ,则2∣AQ∣W4,即IAQlW2,

所以IOQWla4∣+∣AQlW3,

设圆心O到直线I的距离为d,则√≤∣0β∣≤3,

所以与当坦<3)解得上》0或％≤一?，

√k2+l5

故A€(-00,-ɪ]U[0,+∞).

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知向量或=(-2,x),b=(-1,3),若b∣∣G+b),贝IJ尤=6

【解答】解：因为向量2=(-2,x),b=(-1,3),

所以Q+b=(-3,%+3),

由b∣∣G+b)可得-(X+3)=-9,解得x=6.

故答案为：6.

14.（5分）从某校随机抽取某次数学考试IOO分以上的学生成绩，将他们的分数数据绘制

成如图所示频率分布直方图.若共抽取了100名学生的成绩，则分数在［120,130）内的

人数为30.

骊年

【解答】解：因为频率分布直方图中所以小矩形面积和为I,

所以（0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1,解得α=0.030,

所以分数在［120,130）内的人数为100X0.030X10=30.

故答案为：30.

15.（5分）已知抛物线C：y2=2px（p>0）上的点P到焦点的距离比到y轴的距离大2,

则P=4.

【解答】解：：点P到焦点的距离比到y轴的距离大2,

.∙.点P到准线的距离比到y轴的距离大2,

P

.,Λ=2,.∙.p=4.

故答案为：4.

16.（5分）柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作

的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉

图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为

正六面体.如图，在一个棱长为4曲］的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八

面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则

这个圆柱的体积的最大值为四包dm3.

—27—

【解答】解：如图，设该圆柱的底面半径为〃=3R高h=2BC,

由题可知，CO=2,AD=2√3,则力C=2√Σ.

又®=四•场J

h=2√2(2—r),

乂ACCDt∙∙2√2

：.圆柱的体积V=πr2h=2√2ττ(2r2—r3),V,=2√2ττ(4r—3r2)=2√2ττr(4—3r),

可知，当re(O,$时，V>0；当2)时，VVO,

22

所以当r∈(O,=2√2π(2r-吟单调递增，当r∈&,2)时，V=2√2π(2r-

N)单调递减,

当r=飘，％=笠算

64√⅞π∙

故答案为:

27

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

b2—coS

17.(12分)在aABC中，角A,B,C所对边分别为4,b,c,-=-----.

a1+cosA

(1)证明：2a=b+c;

(2)若CoSA=M〃=2乃，求AABC的面积.

b2—CosB

【解答】解：(1)证明：因为一=------，可得2〃-αcos3=b+桃OS4,

a1+cosA

b2+c2-a2a2+c2-b2

所以由余弦定理可得2a=b+b∙-------------+«•--------------

2bc2ac

整理可得2α=Hc,得证;

,4一

(2)因为COSA=可，t∕=2√6,2a=b+c,

所以由余弦定理a2=b2+c1-2⅛ccosA,可得24=⅛2+c2-2×bc×=(/?+C)2-2bc-2×

44

bc×ʒ=96-2bc-2×⅛c×耳，

解得bc=20,

又sinΛ=Vl-cos2i4=1,

,117

所以AABC的面积S=IbCSinA=ax2OX耳=6.

18.(12分)如图，在三棱柱ABC-AlBlCl中，平面ABBIAlJ_平面4BC,四边形ABBl4

是边长为2的菱形，AABC为等边三角形，NAIAB=60°,E为BC的中点，D为CCl

的中点，P为线段AC上的动点.

(1)若ABi〃平面POE,请确定点P在线段AC上的位置；

(2)若点P为AC的中点，求三棱锥C-Pz)E的体积.

【解答】解：(1)如图，连接BIC与。E相交于F,连接PF,连接BCI交BIC于点M,

〃平面POE,平面ABIC∩平面PoE=PF,ABlU平面ABiC,

.∖AB∖∕/PF,

"：BE=CE,CD=DC∖,

：.ED//BC\,CF=FM,又CM=BIM,

.".BιF=3CF,

'：AB\//PF,BιF=3CF,

：.AP=3PC,

.∙.点P是线段AC上靠近点C的四等分点;

(2)取AB的中点0,连接。C,04,

：四边形ABBiAi为边长为2的菱形，ZAιAB=60°,

.∙.4B=2,ZVlAiB为等边三角形，

"：OA=OB,Z∖44B为等边三角形，

.,∙OAιXAB,

；平面ABBiAU平面ABC,平面A88ιAiC平面A2C=A8,OAI_LA8,04u平面ABBIAI,

.•.04_1_平面ABC,

又由48=2,尸为AC的中点，E为BC的中点，可得PE=CE=CP=1,

•••四边形ABBiAi为边长为2的菱形，AABC为等边三角形，ZAMB=60o,

.,.A1O=√3,

：。为CCl的中点，平面ABC〃平面ALBlC1,

点C1到平面ABC的距离h与点Ai到平面ABC的距离相等,

.*∙∕ι=ʌ/ɜ,

√3

・•.。为Ca的中点，...点。到平面ABC的距离为三，

/•三棱锥D-PCE的体积为一X-XlXlXSm60。×—=-

3228

C1

A金

OB

Ci

占

AT-R

19.（12分）一位父亲在孩子出生后，每月给小孩测量一次身高，得到前7个月的数据如下

表所示.

月龄X1234567

身高y（单52566063656870

位：厘米）

(1)求小孩前7个月的平均身高;

(2)求出身高y关于月龄X的回归直线方程(计算结果精确到整数部分)；

(3)利用(2)的结论预测一下8个月的时候小孩的身高.

二∑之1（Xi-元）（%一刃—∑MιXM-几取

参考公式:b

,∑JLι（X-%）2-∑陶瞪-荷，a=y-bx.

1

【解答】解：(1)小孩前7个月的平均身高为歹=；(52+56+60+63+65+68+70)=

62.

(2)设回归直线方程是y=bx+α,

由表可知，%=:（1+2+3+4+5+6+7）=4,

Xiyi=1x52+2x56+3x60+4x63+5x65+6x68+7x70=1819,

22222222

$=1xi=I÷2+3+4+5+6÷7=140,

rixy=7×4×62=1736,nx=7×42=112,

1819-1736

所以b=≈2.96,

2140-112

∑∕L1x?-7x

计算结果精确到整数部分，所以b=3,

所以以=y—bx=62-3X4=50,

故身高y关于月龄%的回归直线方程为y=3x÷50.

(3)由(2)知，y=3x+50,

当工=8时，y=3X8+50=74,

所以预测8个月的时候小孩的身高为74厘米.

20.(12分)己知函数/(无)=bυc-ax+a(α>0).

(1)当〃=2时，求/(x)的单调区间；

(2)设函数/(x)的最大值为“，证明：机20.

11—二

,

【解答】(I)解：a=2时，f(x)=Inx-2x+af∕(x)=--2=ʒ-

当%>方时，/(X)<0,f(X)单调递减，

当0<χV4时，/(X)>0,/(x)单调递增，

故函数的单调递减区间为8,+8),单调递增区间为(0,1).

(2)证明：令g(x)=Inx,h(ɪ)=aCx-1),

则/(无)=g(x)-h(x).

当a=∖时，h(X)为g(x)的切线，此时加=0,

当白≠1时，h(%)与g(x)至少有两个交点

则不存在x∈(0,+8),满足g(X)>h(ɪ),此时机>0.

综上可得：加20.

22

21.(12分)已知椭圆C：-7+77=l(Q>b>0)的短轴长和焦距相等，长轴长是2a.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/与椭圆C相交于P,Q两点，原点。到直线/的距离为Tg∙点M在椭圆C

上，且满足俞=C⅛+O⅛,求直线/的方程.

【解答】解：(1)设椭圆C的焦距为2c,

因为椭圆C：—+⅛=l(α>b>0)的短轴长和焦距相等，长轴长是2√Σ,

azDz

'2b=2c

所以2α=2√∑,解得Q=√Lb=∖,c=l,

α2=h2+C2

χ2

故椭圆C的标准方程为万+y2=1.

(2)若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为X=±考，

此时满足。命=法+防的点M显然不在椭圆C上，可得直线I的斜率存在，

设直线/的方程为y=Ax+j%P(XI,yi),Q(x2,”)，M(xo,ʃo),

联立方程T+y2=1,消去y后整理为(2k2+l)x2+4kmx+2m2-2=0,

ιy=fcx+m

2

可得x+X=—~7~,yι+%=k(x∙+x)+2m——πi+2m—2丁

l22F+1l22fc2+l2y+1

由△=160∏2-4(2*2+1)(2W2-2)=8(2⅛2-ra2+l)>0,可得2好+1>川,

又由盛=OP+OQ,4km2m

可得&=-,Vo=

2fc2+l2∕C2+1

ɪ4∕c7722771.

2222

将点M的坐标代入椭圆C的方程,有：;(-—τ-)+(―^-)=1,所以4W=2⅛+1,

22k2+l2k2+l

又由原点O到直线/的距离为7吗=空,可得20%2=9+9⅛2,

√l+∕c210

联立方程欺2广2给?可得广；飞,

(20m2=9kz+9InI=.

(k=2(k=2(k=—2(k=-2

解得［3或］3或J3或I3,

［m=2(m=~2Im=2