2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第7讲 全称量词与存在量词6种常见题型 含解析

第7讲全称量词与存在量词6种常见题型

【考点分析】

考点一：全称量词与全称量词命题的概念

①全称量词：一般地，把含有“任意”“所有”“每一个”“一切”，这些在陈述句中表示所述

事物的全体词语，称为全称量词，用符号“V”表示，读作：“对于任意”.

②全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

③全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素X,X均具有一类性质P(X),简记为：对

V%∈Λ/,p(x).

考点二：存在量词与存在量词命题的概念

①存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称

为全存在量词，用符号勺”表示，读作：“存在”.

②存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.

③存在量词命题的形式：存在集合M中的元素X,X均具有一类性质P(X),简记为：对

3xeM,p^x).

考点三：全称量词命题，存在量词命题的否定

①命题的否定及真假判断

1.一般地，对命题P进行否定，就会得到一个新的命题，记作“一/?’‘，读作“非p”或0的否

定.

2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.

②全称量词命题的否定

一般地，全称量词命题”Vx∈M,p(x)”的否定是存在量词命题：Hx∈M,f(x).

③存在量词命题的否定

一般地，存在量词命题”3Λ∈M,P(X)”的否定是全称量词命题：∀xeM,/(X).

考点四：常见量词的否定：

量词等于大于(>)小于(V)是都是

否定不等于不大于(W)不小于(N)不是不都是

量词至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个

否定一个也没有至少有两个某个「某段至少有«+1个

【题型目录】

题型一：判断语句是否为命题

题型二：命题真假的判断

题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定

题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假

题型五：由全称、存在量词命题的真假确定参数取值范围

题型六：全称量词命题与存在量词命题的否定

【典型例题】

题型一：判断语句是否为命题

【例D下列语句中，命题的个数是（）

①空集是任何集合的真子集;②请起立；

③一1的绝对值为1；④你是高一的学生吗？

A.0BAC.2D.3

【答案】

【解析】①③是命题;②是祈使句，不是命题;④是疑问句，不是命题.

题型二：命题真假的判断

[例1]（2022・广西•高一阶段练习（多选题））下列说法中，以下是真命题的是（）.

A.存在实数%,使-2蜉+x°+4=0

B.所有的素数都是奇数

C.至少存在一个正整数，能被5和7整除.

D.三条边都相等的三角形是等边三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】

举例证明选项4C正确；举反例否定选项8；依据等边三角形定义判断选项D

【详解】

选项A：当/=Ii普时，-2片+/+4=0成立.判断正确；

选项&2是素数，但是2不是奇数.判断错误；

选项C：正整数35和70能被5和7整除.判断正确；

选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形.判断正确.

故选：ACD

【例2】（2022江苏无锡市•）有下列四个命题:

2

①VXeR,λ∕√+1>0；②VXGN,/〉。：③土eN,x≤x;④IXeQ,f=2

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，VX∈R,J7+1N1>O，故命题成立；

对于②，显然当X=O时满足XeN,但χ2=o,故命题为假；

对于③，显然X=O时满足XeN,()2≤0成立，故命题为真；

对于④，一=2的实数根为％=±及，是无理数，故命题为假.

综上，真命题的个数为2.故选：B.

【例3】(2022・湖南•高一课时练习)判断下列命题的真假：

(l)3x∈Z,%2=2；

(2)3x∈R,X2=2;

(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

(4)平面上任意两条直线必有交点.

【答案】(1)假命题(2)真命题(3)真命题(4)假命题

【解析】

【分析】

解方程，即可判断(1)(2),根据垂直平分线的性质判断(3),根据平面内两直线的位

置关系判断(4)；

(1)解：若V=2,解得x=±√∑,因为土夜不是整数，故命题“HxeZ,f=2”为假命

题；

(2)解：若丁=2,解得x=±√∑,因为±√ΣeR,故命题“3XeR,9=2”为真命题；

(3)解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的

距离相等；故命题:“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;“为真命题；

(4)解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，

故命题“平面上任意两条直线必有交点.”为假命题；

【题型专练】

1.(2022.全国.高一单元测试)已知集合P={l,2,4,5,6},M={2,4,6},则下列说法正确的

是()

A.对任意XeP,有XeMB.对任意XeP,有了任〃

C.存在x∈M,使得X任尸D.存在x∈P,使得XeM

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合间的关系，全称命题、特称命题的真假判断可得答案.

【详解】

由于P={l,2,4,5,6},M={2,4,6},所以MP,故存在XeP,使得X/.

故选：D.

2.（2022・安徽•青阳第一中学高一阶段练习（多选题））下列命题是假命题的为（）

A.若,则X=NB.若*2=1,则χ=l

Xy

c.若χ=y,则JI=4D.若χ<y,则∕<y2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】

A选项，若一=一,则χ=y,A正确.

8选项，若χ2=ι,贝!∣X=±1,B错误.

C选项，χ=y<o时，不能得到石=6,C错误.

。选项，X=T,y=l,x<y,但∕=y2,。错误.

故选：BCD

3.（2022•江苏•高一单元测试）下列全称量词命题中真命题的个数为个.

①对任意的实数”，b,都有“2+⅛2≥2a6;

②二次函数y=N—奴-1与X轴恒有交点；

③VX∈R,y∈R,都有χ2+∣γ>o.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据实数的性质，二次函数的性质证明命题①②正确，举反例说明③错误.

【详解】

由（a-b）2≥0,EPa2-2ab+b1≥0,贝!!/+户≥2ο⅛,①正确；

二次函数y=χ2-αχ-1中A="+4>O,即Y一如一1=（）恒有两个不等实根，故二次函

数y=/—Or-I与X轴恒有交点，②正确；

2

X=O,y=0时，χ+∣y∣=O,③错误.

综上，正确的命题有2个.

故答案为：2.

4.（2022•全国•高一专题练习）下列命题中是假命题是（）

I

A.Vx∈R,∣x∣+l>0B.3x∈R,μj+1=2

C.3x∈R,∣Λ∣<1D.Vx∈N*,（Λ-I）2>0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用绝对值的性质以及特值法进行排除.

【详解】

因为Vx∈R,∣x∣>0,所以Vx∈R,∣x∣+l>0恒成立，真命题；

取X=I,满足=+∣=2,真命题：

取X=O.1,满足用<1,真命题：

Wx=IwN*,不满足（X-D2>0,假命题.

故选：D.

5.（2022.全国.高一专题练习）下列四个命题中的真命题为（）

A.3x0eZ,1<4x0<3B.3⅞eZ,4x0+1=0

C.Vx∈R,χ2-l=0D.VX∈R,χ2-2x+2≥0

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可.

【详解】

13

若1V4/V3,得:V/V1则XoWZ,故A错误，

44

由4%+l=0得％=-J,则/史Z,故B错误，

由％2-1=0得》=士1,故C错误，

χ2-2x+2=（x-l）-+1≥0恒成立，故D正确，

故选：D.

题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定

【例1】（2022.全国•高一专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（）

A.所有的二次函数的图象都关于），轴对称

B.正方形都是平行四边形

C.空间中不相交的两条直线相互平行

D.存在大于等于9的实数

【答案】D

【解析】

【分析】

直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案.

【详解】

选项A中，“所有的”是全称量词；

选项B中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词；

选项C中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词；

选项D中，“存在”是存在量词.

故选：D.

【例2】（2022•全国•高一专题练习）下列命题不是存在量词命题的是（）

A.有些实数没有平方根

B.能被5整除的数也能被2整除

C.存在子∈{x∣x>3},使x2-5x+6VO

D.有一个m,使2-与卜旬-3异号

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全称量词命题与存在量词命题的定义与性质，判断即可.

【详解】

解：对于A,有些实数没有平方根，有存在量词“有些“，是存在量词命题；

对于B,“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”，是全称量词命题；

对于C,存在x∈{Rx>3},使/-5x+6<0,有存在量词“存在”，是存在量词命题；

对于D,有一个〃?，使2-机与Wl-3异号，有存在量词“有一个“，是存在量词命题.

故选：B.

【题型专练】

1.（2022.湖南.高一课时练习）下列命题中为全称量词命题的是（）

A.有些实数没有倒数

B.矩形都有外接圆

C.存在一个实数与它的相反数的和为0

D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全程量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案.

【详解】

解：对于A,含有存在量词有些，为存在量词命题；

对于8,含有全称量词都有，为全称量词命题；

对于C,含有存在量词存在一个，为存在量词命题；

对于，含有存在量词有一条，为存在量词命题.

故选：B.

2.（2022・湖南•高一课时练习）下列命题，是全称量词命题的是,是存在量词命题

的是（填序号）.

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45。的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案.

【详解】

解：④含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题，

①②③含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.

故答案为：①②③；④.

3.（2022•全国•高一课时练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）

A.任何一个实数乘以0都等于0b自然数都是正整数

C.实数都可以写成小数形式D.一定存在没有最大值的二次函数

【答案】D

【解析】

【详解】

A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题.

8选项中，意思是所有的自然数都是正整数，它是全称量词命题.

C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题.

力选项中，“存在”是特称量词，它是存在量词命题.

故选：D.

题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假

【例1】(2022•全国•高一单元测试)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判

断其真假.

(1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除；

(2)Vx∈R,X2-4X+6>0;

(3)3x∈N,%2≤x;

(4)3ΛWN*,使X为29的约数；

(5)Vx∈N,%2>0.

【答案】(1)存在量词命题，真命题

(2)全称量词命题，真命题

(3)存在量词命题，真命题

(4)存在量词命题，真命题

(5)全称量词命题，假命题

【解析】

【分析】

利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题.

(1)命题中含有存在量词“至少有一个“，因此是存在量词命题，99既能被11整除，又能被

9整除，故该命题为真命题.

(2)命题中含有全称量词"V”,故是全称量词命题，因为丁-4X+6=(X-2)2+2≥2,所以

f-4x+6>0恒成立，故该命题为真命题.

(3)命题中含有存在量词”才’，故是存在量词命题，当X=O或X=I时，X2=x,故该命题

为真命题.

(4)命题中含有存在量词T”，故是存在量词命题，当X=I时，X为29的约数，所以该命

题为真命题.

(5)命题中含有全称量词“V"，故是全称量词命题，当X=O时，x2=0,所以该命题为假

命题.

【例2】(2022.甘肃.静宁县第一中学高一阶段练习)下列四个命题：

①VXWR,χ2-x+!≥0(2)χ3+l=0

(3)VM∈≥④至少有一个实数X,使得V+1=0

其中真命题的序号是（）

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全称量词命题与存在量词命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于①中，由χ2-χ+9=（χ-2）220成立，所以命题①为真命题；

对于②中，由Y+1=0无法判定真假，所以②不是命题，不符合题意；

对于③中，例如当〃=g时，此时/<",所以命题R,"22"为假命题；

对于④中，由d+l=O,解得χ=T,所以命题④为真命题；

故选：D.

【例3】（2021•浙江高一期末）（多选）下列命题错误的是（）

A.HxeZ,l<4x<3B.3x∈Z,2X2-3Λ+1=0

22

C.Vx∈R,χ-l=0D.W∈R,χ+2x+2>0

【答案】AC

13

【解析】A.由l<4x<3,得一<x<一，故错误；

44

B.由2d-3x+l=0得：X='或x=l,故正确；

2

C.由f一I=。得：χ=±l,故错误；

D.由χ2+2χ+2=（x+iy+l>0,故正确；

故选：AC

【题型专练】

1.（2022•山西•朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（）

A.3X∈R,X2+X+3=0

B.Vx∈R,Λ2+x+2>0

C.∀Λ∈R,X2>∣X∣

D.已知A={4∣o=2"},8={〃力=3帆},则对于任意的〃,w∈N*,都有AB=0

【答案】B

【解析】

【分析】

可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/

【详解】

选项43Λ∈R,X2+X+3=0,即/+χ+3=0有实数解，所以A=l-12=-11<0,显然

此方程无实数解，故排除；

177

选项B,VΛ∈R,X2+X+2>0>x）+x+2=（XH—）24—≥—>0,故该选项正确；

244

选项C,VxeR,x2>∣x∣,而当X=O时,0>0,不成立，故该选项错误，排除；

选项Z）,A={α∣4=2"},8={6l人=3，〃},当",weN*时，当a、。取得6的正整数倍时，

AoB≠0,所以，该选项错误，排除.

故选：B.

2.（2022•安徽•歙县教研室高一期末（多选题））已知集合户，。是全集U的两个非空子集,

如果尸CQ=Q且P□Q≠Q,那么下列说法中正确的有（）

A.VeP,有XeQB.3∈P,使得

C.∀∈β,有XePD.3∈β,使得XeP

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据PCQ=Q且PUQ≠Q确定正确选项.

【详解】

由于P,。是全集U的非空子集，PCQ=Q且P0Q*Q,

所以。是尸的真子集，

所以meP,使得xeQ、∀eβ,有XWP,即BC选项正确.

故选：BC

3∙（2022∙重庆.高一期末（多选题））已知全集为U,A,B是U的非空子集且A=%B，则

下列关系一定正确的是（）

A.BXEU,X¢,AJlx∈BB.VxeA,X走B

C.Vx∈U,XGA^ixeBD.BxeU,XeA且XeB

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.

【详解】

全集为U,A,8是U的非空子集且AUa8,则A,B,U的关系用韦恩图表示如图，

U

AB

观察图形知，3x∈U,XeA且xw3,A正确；

因A8=0,必有Vx∈A,x^B,B正确；

若A即B,则（枷）cQ,8）w0,此时lr∈U,x∈［（瘠A）C（U助，即x/A且X史8,

。不正确；

因AB=0,则不存在x∈U满足x∈A且x∈8,。不正确.

故选：AB

题型五：由全称、存在量词命题的真假确定参数取值范围

【例1】（2022•辽宁•高一期末）已知命题：”Wx∈R,方程/+4x+α=0有解”是真命题，则

实数。的取值范围是（）

A.a<4B.a≤4C.«>4D.a≥4

【答案】B

【解析】

【分析】

由根的判别式列出不等关系，求出实数”的取值范围.

【详解】

“VxeH,方程Y+4x+a=O有解”是真命题，故A=16-44≥0,解得：4≤4,

故选：B

【例2】（2022•辽宁•模拟预测（多选题））己知命题PHXeR,α√-4χ-4=0,若P为真命题，

则a的值可以为（）

A.-2B.-1C.0D.3

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据给定条件求出?为真命题的o的取值范围即可判断作答，

【详解】

当α=。时，x=-i,。为真命题，则α=0成立，

当αwθ时，若P为真命题，则A=16+164≥0,解得aN—1且awθ,

综上，。为真命题时，区的取值范围为α2-1.

故选：BCD

【例3】（2022・江苏宿迁•高一期中）1.设全集U=R,集合A={x∣04x≤4},集合

B=[x∖2-a≤x≤∖+2a∖,其中Q∈R∙

(1)若命题“∀xwA,x∈3"是真命题，求〃的取值范围;

(2)若"x∈∕T是"％∈8"的必要条件，求。的取值范围.

33

【答案】(1)—<Q<2,(2)o≤i

22

【解析】

(1)因为∀X∈A,X∈B是真命题，所以AqB,

2-Q≤1+2Q

3

即12-6F≤0,解得一<α≤2.

2

1+2Q≥4乙

(2)因为"x∈A”是“x∈8"的必要条件，所以≡

当B=0时，即2-α>l+24,解得“<g,显然满足题意；

n,1f2-a≥Q313

当8力0时，即42：时，，解得α≤^,所以g≤α≤^,

JI1IX*v<-—■乙J‰

3

综上所述：α≤∣.

【题型专练】

1.(2022∙安徽•歙县教研室高一期末)若命题“IveR,f-x+α=0”为假命题，则实数。的

取值范围为.

【答案】a>-

4

【解析】

【分析】

命题为假命题时，二次方程无实数解，据此可求。的范围.

【详解】

若命题"3ΛWR,X2-x+α=0”为假命题，则一元二次方程Y-x+α=0无实数解，

；・A=I-4Q<0=>Q>L

4

∕∙4的取值范围是：Cl>—.

4

故答案为：Cl>—.

4

2.(2022・广东・仲元中学高一期中)已知命题P:*∈R,使f一船+m=。为假命题.

(1)求实数机的取值集合8;

(2)设A={x∣34<x<α+4}为非空集合，若x∈A是xe8的充分不必要条件，求实数α

的取值围.

【答案】(1)m>4

4

(2)-≤α<2

【解析】

【分析】

(1)由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；

(2)先根据A为非空集合求出α<2,再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进

行求解.

(1)

解：由题意，得关于X的方程V-4x+〃?=O无实数根，

所以A=16-4加<0,解得机>4,

即—>4；

(2)解：因为A={x∣34<x<α+4}为非空集合，

所以34<α+4,即α<2,

因为XWA是XWB的充分不必要条件，

4

则34≥4,BPα>-,

4

所以

3.(2022•黑龙江・哈尔滨市呼兰区第九中学高一阶段练习)从两个符号“T”T”中任选一个填

写到①的位置，并完成下面的问题.

已知集合A={x∣5≤x≤6},B={x∖m+∖<x<2m-∖},若命题：①XeA,则XeB是

真命题，求，”的取值范围.

7

【答案】选V,-≤m≤4,选3≤m≤5.

【解析】

【分析】

若选V,则是全称量词命题，如选3则是存在量词命题，分别列出关于，〃的不等式

组求解即可.

【详解】

解：由已知集合A={xI5≤X≤6},B={x∖m+∖≤x≤2m-↑},

若选W,K∣Jl'VxeA,则XeB”是真命题，则A[8,

m+l≤57

所以解得］≤∕n≤4;

2m-∖≥6

若选则P：“HreA,满足X€夕,是真命题,

/n÷1≤2/w-1

若-TP即“VxeA,则XmB''为真命题，则加+1>2加一1,或或

m+1>6

tn+∖<2m-l

2m-∖<5

解得机<3,或∕n>5,故若〃为真，只需3≤机≤5.

4.(2022・全国•高一课时练习)已知集合A={x∣-2≤x≤5},B=[x∖m+∖<x<2m-∖∖,且Ld

(1)若命题“VXEB,XEA”是真命题，求实数机的取值范围；

(2)若命题①“玉∈A,x∈3"是真命题，求实数m的取值范围。

【答案】(l)2≤w≤3(2)2≤m≤4

【解析】

/27+1≤2?«-1

(1)因为命题P："VXE5,X∈A"是真命题，所以<m+l≥^^2,解得2≤∕n≤3

2∕n-l≤5

(2)有题意知∕九+l≤26一1,得加≥2.又命题9："玉^∈A,x∈3"是真命题，所以

AnB≠0,

若A-8=0,则2m一1<一2或∕%+l>5,且〃z≥2,E∣Jm>4

故若4cB≠0,有∙2≤^≤4,故实数加的取值范围为2≤m≤4

5.(2022•安徽宣城.高一期中)设全集U=R,集合A={x∣l≤x<5},非空集合

B={x∣2≤x≤l+2α},其中α∈R.

⑴若“xeA”是“xeB”的必要条件，求。的取值范围；

(2)若命题“*w3,x∈δ1(A"是真命题，求α的取值范围.

【答案】⑴(2)a..2

【解析】

(1)解：若“xeA”是"x∈B"的必要条件，则B=A,乂集合8为非空集合,

1+2α..2

故有解得g”〃<2,

1+2。<5

所以目的取值范围;<2,

(2)解：因为A={x∣l<x<5},所以^A={x∣x<l或兀.5},因为命题”3χ∈8,x∈6f

是真命题,

所以B∂κA≠0,即l+2a.5,解得a.2.

所以臼的取值范围ɑ∙2.

题型六：全称量词命题与存在量词命题的否定

【例1】（2022全国高三其他模拟）命题“∀x>2,^+2>6”的否定（）

A.3X>2,Λ2+2>6B.3x<2,X2+2≤6

C.ΞX≤2,X2+2>6D.3X>2,X2+2<6

【答案】D

【解析】因为原命题“Vx>2,/+2>6”,所以其否定为“3c>2,χ2+2≤6",

故选：D.

【例2】（2022•全国•高三专题练习（文））已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，

则f为（）

A.任意一个无理数，它的平方不是有理数

B.存在一个无理数，它的平方不是有理数

C.任意一个无理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方是无理数

【答案】A

【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以力为：任意一个无理数，它的平方不

是有理数，

故选：A

【例3】（2022•山西晋中•模拟预测（理））命题P：Vx≥（）,χ2-2x+e2≤3,则Y为

2

【答案】≡⅞≥0,x^-2x0+e>3

222

【解析】命题P：Vx>O,x-2x+e≤3∙则V为：3ΛO>O,^-2x0+e>3

2

故答案为：3⅞≥0.Xg-2x0+e>3

【题型专练】

1.（2022•辽宁丹东•高二期末）命题F"∈N,〃>