2022-2023学年浙江省杭州市仁和高中高二数学理模拟试题含解析

2022-2023学年浙江省杭州市仁和高中高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题成立的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊥β B．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α⊥β，则l∥β D．若l∥α，α∥β，则l∥β参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．利用线面垂直和面面垂直的性质判断．B．利用线面垂直和面面平行的性质去判断．C．利用线面平行和面面垂直的性质去判断．D．利用线面平行和面面平行的性质去判断．【解答】解：A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l?β，所以A错误．B．若l⊥α，α∥β，则必有l⊥β，所以B正确．C．若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定，所以C不正确．D．若l∥α，α∥β，则l∥β或l?β，所以D不正确．故选B．【点评】本题考查了空间点线面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握点线面之间平行和垂直的性质和判定定理．2.已知圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，则直线的斜率等于（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B略3.在R上定义运算?：x?y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1?（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则实数k的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据运算?：x?y=x（1﹣y），把存在x1，x2（x1≠x2）使得1﹣2k+3+kx=1+成立，转化为y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，即可求得结果．【解答】解：∵x?y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1?（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则1﹣2k+3+kx=1+，即存在x1，x2（x1≠x2）使得k（x﹣2）+3=成立∴y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，y=k（x﹣2）+3与y=相切时，可得k=，过（﹣2，0）时，可得k=∴实数k的取值范围为＜k≤．故选B．4.已知直线与抛物线C：相交于A.B两点，F为C的焦点，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为(

)A.76

B.96

C.146

D.188参考答案：B6.双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为y=x，由于一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则有=2，即有b=2a，c==a，则离心率为e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．7.若=1﹣ai，其中a是实数，i是虚数单位，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后由复数相等的条件得答案．【解答】解：∵==1﹣ai，∴﹣a=1，a=﹣1．故选：D．8.当n=1，2，3，4，5，6时，比较2n和n2的大小并猜想（）A．n≥1时，2n＞n2 B．n≥3时，2n＞n2 C．n≥4时，2n＞n2 D．n≥5时，2n＞n2参考答案：D【考点】归纳推理．【分析】此题应从特例入手，当n=1，2，3，4，5，6，…时探求2n与n2的大小关系，也可以从y=2x与y=x2的图象（x＞0）的变化趋势猜测2n与n2的大小关系．【解答】解：当n=1时，21＞12，即2n＞n2；当n=2时，22=22，即2n=n2；当n=3时，23＜32，即2n＜n2；当n=4时，24=42，即2n=n2；当n=5时，25＞52，即2n＞n2；当n=6时，26＞62；…猜测当n≥5时，2n＞n2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，（1）当n=5时，由以上可知猜测成立，（2）设n=k（k≥5）时，命题成立，即2k＞k2，当n=k+1时，2k+1=2?2k＞2k2=k2+k2＞k2+（2k+1）=（k+1）2，即n=k+1时，命题成立，由（1）和（2）可得n≥5时，2n与n2的大小关系为：2n＞n2；故答案为：n=2或4时，2n=n2；n=3时，2n＜n2；n=1及n取大于4的正整数时，都有2n＞n2．故选D．9.若复数则的虚部为（

）A.－4 B.－4i C.4 D.4i参考答案：C【分析】利用复数的除法可先求出，然后再计算，从而可得其虚部.【详解】因为，所以，，故选C.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的概念，属于基础题.10.当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16参考答案：D【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

参考答案：12.学校为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每个人都参加且只参加一门课程的选修，为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈．据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为﹣40的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为

．参考答案：12【考点】分层抽样方法；等差数列的通项公式．【分析】由题意，每个个体被抽到的概率是=，抽取30名学生进行座谈，公差为﹣2，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个个体被抽到的概率是=，抽取30名学生进行座谈，公差为﹣2，设应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为x，则x+x﹣2+x﹣4=30，∴x=12，故答案为：12．【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．13.若的三顶点是A(a,a+1),B(a-1,2a),C(1,3)且的内部及边界所有点均在表示的区域内，则a的取值范围为_______▲_____.参考答案：

14.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别在线段AD，BC上，且AE=1，BF=3．如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成，则在翻折过程中，二面角的正切值的最大值为

▲

．

参考答案：15.直线3x+2y=1上的点P到点A(2，1)，B(1，–2)的距离相等，则点P的坐标是

。参考答案：(，–)16.如图，设P是60的二面角内一点，PA平面，PB平面,A、B为垂足

若PA=4．PB=2，则AB的长为_______．参考答案：17.已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则

，

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线C的极坐标方程为.（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值.参考答案：（1）；;（2）【分析】（1）消参数得的普通方程，根据得的直角坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得最值.【详解】（1）因为，所以，即（2）因为圆心到直线距离为，所以点到直线距离的最大值为【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.19.在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程；参考答案：(1)设C(x0，y0)，则AC中点M，BC中点N，….3分∵M在y轴上，∴=0，x0=-5。……..4分∵N在x轴上，∴=0，y0=-3。.即C(-5,-3)。………….6分(2)∵M，N(1,0)，∴直线MN的方程为=1，即5x-2y-5=0………4分.20.（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，面积，求的值．参考答案：(1)由acosC＋c＝b得

sinAcosC＋sinC＝sinB………2分又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC

∴sinC＝cosAsinC，……4分∵sinC≠0，∴cosA＝，又∵0<A<π，∴A＝.…………6分(2)，所以………………8分由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得：b2＋c2＝bc＋1=5，………………10分∴(b＋c)2=b2＋c2+2bc=13

∴b＋c，

………………12分21.（本小题满分14分）如图，在正方体中，(1)求异面直线与

所成的角；

(2)求证

参考答案：略22.已知函数．（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；（II）讨论在区间上的单调性．参考答案：（Ⅰ），对称中心为；（Ⅱ）增区间；减区间【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，利用三角