2023届高三数学二轮复习一：函数与导数练习题

专题一：函数与导数

一、函数的图象与性质

一、单项选择题

1.（2022∙哈尔滨检测）下列既是奇函数，又在（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=siαrB.y=zInx

C.y=tanxD.y=~~

12*+1-1XV3

2（2。22・西安模拟）设外）=k（∕∖）二%若加）=3,则X的值为（）

A.3B.1

C.-3D.1或3

3.（2022.常德模拟涵数段）=舞黑的图象大致是（）

4.（2022•张家口检测）已知函数式X）=M■,则（）

A.函数式x）是奇函数，在区间（0,+8）上单调递增

B.函数Ar）是奇函数，在区间（一8,0）上单调递减

C.函数加C）是偶函数，在区间（0,+8）上单调递减

D.函数式X）非奇非偶，在区间（-8,0）上单调递增

1—Y

5.（2021•全国乙卷）设函数於）=不，则下列函数中为奇函数的是（）

A..Ax-D-I

B.ΛΛ-1)+1

C.Λχ+1)-1

D.Λx+1)+1

6.设定义在R上的函数4x)满足负x)√(x+2)=13,若＞U)=2,则＜99)等于()

A.1B.2

13

C.OD.y

'α—2)2,(XXW4,

7.已知函数/(x)是定义在(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，且当QO时，/(χ)=J1则方

手L4),X＞4,

程40=1的解的个数为()

A.4B.6

C.8D.10

8.(2022・河北联考)若函数H2x+D(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是()

A.函数兀0的周期为4

B.函数人])的图象关于点(1,0)对称

C./2021)=0

D./2022)=0

二、多项选择题

9.下列函数中，定义域与值域相同的是()

A.y=^B.y=lrLV

+1

==

C.y"^xi-D.y~二T

[1,xeQ,

10.(2022・淄博检测)函数Da)=1依Q被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是()

A.函数D(X)的值域为[0,1]

B.若O(w)=l,则O(xo+l)=l

C.若f)(x∣)-O(X2)=0,则为-X2CQ

D.3x∈R,D(x+√2)=1

11.下列可能是函数,")=程高(其中α,b,

C∙∈{—1,0,1})的图象的是()

ɪɪ

-2-10\^^Γ~2^x

AB

12.已知函数产危一1）的图象关于直线X=-1对称，且对VXeR,有段）+五一x）=4.当x∈（0,2］时，危）

=x+2,则下列说法正确的是（）

A.8是,/（X）的周期

B.KX）的最大值为5

C.<2023）=1

D.犬x+2）为偶函数

三、填空题

13.（2022・泸州模拟）写出一个具有下列性质①②③的函数於）=.①定义域为R:②函数,/W是

奇函数；③/（x+π）=XX）.

14.已知函数/）=ln（√x2+l—X）+1,则./（In5）+y（ln∣）=.

2

（x~a）9x≤0,

15.已知函数段）={ι1ι若式0）是7U）的最小值，则■的取值范围为________.

x+一+〃，x>0,

X

16.（2022・济宁模拟）已知函数兀0=铲u—sin&）,则使得於）42%）成立的X的取值范围是.

二、基本初等函数、函数与方程

一、单项选择题

£)等于()

1.幕函数段)满足14)=欢2),则/

ʌ-ɜB.3

c._gD.-3

2.(2022•泸州模拟)若logαb>l,其中α>0且α≠l,b>l,则()

A.O<a<∖<hB.∖<a<b

C.∖<b<aD.1<b<a1

3.函数yu)=-亚T的零点有(

7)

γ∣25-χz

A.2个B.3个

C5个D.无数个

4.朗伯比尔定律(Lan±ert-Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光

物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为A=Ig4=KAc,其中A为吸光度，T为透光度，K为摩

尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为mol∕L,人为吸收层厚度，单位为cm.保持K,人不变，当吸光物

质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T变为()

A.2TB.尸

eɪrD.IOT

5.(2022♦十堰统考)己知a=ln3,⅛=30∙5,c=lg9,则()

A.a>h>cB.c>a>b

C.b>d>cD.b>c>a

6.(2022・聊城模拟)”环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人

们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg∕cm3,排放前每过滤一次，该污染物

的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg∕cm3,若要使该工厂的废气

达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：怆2比0.30,lg3g048)()

A.6B.7C.8D.9

1x~∖~3

7.(2022•湖南联考•)已如函数yU)=2'一丞+Ig匚，贝∣J()

A.XD+Λ-1)<O

B.χ-2)+∕2)>0

c.χi)-Λ-2)<o

D.Λ-l)+∕2)>0

8.设x”X2分别是函数y(x)=x—和g(x)=xlog«x—1的零点(其中4>1),则X1+4X2的取值范围为()

A.(4,+∞)B.[4,+∞)

C.(5,+∞)D.15,+∞)

二、多项选择题

9.记函数/(x)=x+lnx的零点为松，则关于刈的结论正确的为()

B.^<Λ0<1

C.e』-Xo=O

-x

D.e°+χo=O

10.已知实数α,〃满足等式2022"=2023ij,下列式子可以成立的是()

A.a=b=OB.a<b<0

C.Q<a<bD.0<b<a

II.(2022.济宁模拟)已知函数Kr)是定义在R上的偶函数，且周期为2,且当χC[0,l]时,式》)=/.若函数g(x)

=/(x)—X—α恰有3个不同的零点，则实数。的取值范围可以是()

A∙(V-1)B(T,0)

Ce,DDG2)

12.(2022・长沙模拟)已知正数X,y,z满足3*=4v=12z,则()

AA÷^=-B.6z<3x<4y

xyzj

C.xy<4z2D.x+y>4z

三、填空题

13.(2022・成都模拟)已知两个条件：①α,⅛∈R,fia+b)=βa)-f(b);②/&)在(0,+8)上单调递减.请写出

一个同时满足以上两个条件的函数.

14.(2022.广州模拟)据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害.在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人

类粮食作物危害最大.沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁.已

知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍.该蝗虫群当前有1亿只蝗

虫，则经过天，蝗虫数量会达到4000亿只.(参考数据：lg2以0.30)

15.已知函数/)=|InXI,实数如〃满足且加)=_/(〃)，若危)在区间[小，网上的最大值是2,则、

的值为.

In（—x）,x<0,

16.函数y（x）=JC、、八若关于X的方程R2（X）一如X）+1=0有6个不相等的实数根，则”的取值

X∖2,X）,X^∖Jj

范围是.

三、导数的几何意义及函数的单调性

一、单项选择题

1.（2022•张家口模拟）已知函数y（x）=（-2x+lIW,则函数人》）在点（1,火1））处的切线方程为（）

A.2x+y-2=0

B.2χ-y-i=0

C.2x+y-l=0

D.2χ-y+l=0

2.已知函数yU）=x2+y（O）∙χ-/（0）∙cosx+2,其导函数为/（幻，则/（0）等于（）

A.一1B.0

C.1D.2

3.（2022•重庆检测）函数yU）=ercosx（x∈（0,兀））的单调递增区间为（）

AG,§B（Q）

C（O,引D借π）

4.（2022•厦门模拟）已知函数人X）=（X—l）e`rHX在区间χG[l,2]上存在单调递增区间，则m的取值范围为

()

A.(0,e)B.(—8,e)

C.(0,2e2)D.(一8,2e2)

5.（2021.新高考全国I）若过点（4,份可以作曲线y=e'的两条切线，则（）

A.eb<aB.eι<b

C.0<a<et,D.0<⅛<e0

Z口in..一ʌo3u—In

o∙i1ɪ矢口cie,b2-'-1,c—yi.5,则匕IlJ日`j大小天乐止确日`jze（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

二、多项选择题

7.若曲线“V）="2-χ+lar存在垂直于y轴的切线，则a的取值可以是（）

1

-

A.2B.0

1

C--*

8D.4

8.已知函数/(X)=Inx,κι>X2>e,贝IJ下列结论正确的是()

A.(X1—X2)[AX∣)~ΛX2)]<O

B.g[∕(Xl)+fix2)]<f^

C.X(/(X2)—x√(xι)>0

D.e[∕(x∣)-X%2)]<xι—xi

三、填空题

2

9.(2022・保定模拟)若函数7U)=lnx—本+“在(1,11))处的切线过点(0,2),则实数〃7=.

10.已知函数/(x)=χ2-cosx,则不等式/(2x—1)勺(x+1)的解集为.

11.(2022.伊春模拟)过点P(l,2)作曲线C：y=，的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为.

2

12.已知函数y(x)=%-αr+lnx,对于任意不同的x∣,x2∈(0,+∞),有蚓二&式>3,则实数4的取值范

ZX∖-X2

围是.

四、解答题

13.(2022.滁州模拟)已知函数«r)=∕-2x+αIIU&∈R).

(1)若函数在x=l处的切线与直线χ-4y—2=0垂直，求实数”的值；

⑵当a>0时，讨论函数的单调性.

14.(2022∙湖北八市联考)设函数y(x)=e*一("一l)ln(分-l)+(α+l)x.(e=2.71828…为自然对数的底数)

(1)当α=l时，求尸(X)=e'—7(x)的单调区间；

(2)若y(x)在区间(，1]上单调递增，求实数。的取值范围.

四、函数的极值、最值

一、单项选择题

1.下列函数中，不存在极值的是（）

A.y=x+;B.y=xejc

C.y=xlnxD.y--2x3~x

2.下列关于函数y（x）=（3—∕）e，的结论，正确的是（）

A.人-3）是极大值，41）是极小值

B.yu）没有最大值，也没有最小值

C./U）有最大值，没有最小值

D.加0有最小值，没有最大值

3.已知函数T（X）=X3—3犬-1,若对于区间[-3,2]上的任意XI，X2,都有股rD-y（x2）∣Wf,则实数，的最小值

是（）

A.20B.18C.3D.O

3

4.（2022・南充检测）已知函数/（无）=Λ-3∕πχ2+"χ+πt2在χ=-ι处取得极值0,则机+〃等于（）

A.2B.7C.2或7D.3或9

5.（2022・晋中模拟）已知函数y（x）=2%lnx+χ2-θr+3（α＞0）,若√（x）20恒成立，则”的取值范围为（）

A.[4,+∞）B.（4,+∞）

C.（0,4）D.（0,4]

6.（2022•昆明模拟）若函数√（X）=Λ2-4x+Hnx有两个极值点，设这两个极值点为x∣,%2＞且沏＜%2，则（）

A.AjG（1,2）B.a＞2

C.Λx,）＜-3D.∕xl）＞-3

二、多项选择题

7.（2022・新高考全国I）已知函数yU）=Jt3-x+l,则（）

A.有两个极值点

B.y（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=Λx）的对称中心

D.直线y=2r是曲线y=∕（Λ∙）的切线

8.（2022•河北名校联盟调研）若存在正实数，徵，“，使得等式4〃?+a（〃-3e2«7＞（ln"—lnm）=0成立，其中e为

自然对数的底数，则”的取值可能是（）

A.4B-⅛C⅛D∙2

三、填空题

9.函数式X)=X—InR的极值点为.

10.己知函数yU)=xl0r-x+2α+2,若函数y=«x)与y=∕(∕(x))有相同的值域,则实数α的取值范围是

11.(2021新高考全国I)函数於)=|2x—1|一2底的最小值为.

12.(2022•全国乙卷)已知X=Xl和X=X2分别是函数危)=2"—e∕(α>0且α≠1)的极小值点和极大值点.若

xt<X2>则a的取值范围是.

四、解答题

13.(2022∙西安交大附中模拟)已知函数y(x)=χ3—3ɑr+ɑ(ɑCR).

(l)讨论函数火x)的单调性；

(2)求函数T(X)在区间［0,3］上的最大值与最小值之差g(a).

14.(2022-许昌模拟)已知函数Ttr)=COsx一看.

(1)求函数<x)的图象在X=O处的切线方程;

(2)证明：函数©在区间管，§上存在唯一的极大值点xo.(参考数据：73<8,e3>16,

五、导数的综合应用

L导数与不等式的证明

1.(2022.吕梁模拟)已知函数KX)=e'-χ-l.

⑴求函数./U)的单调区间和极值；

(2)当时，求证："r)+x+12齐+cosx.

2.(2022-鹤壁模拟)设函数HX)=ln(a-χ)-χ+e.

⑴求函数火X)的单调区间；

Y

(2)当α=e时，证明：y(e—x)<ex÷2^.

2.恒成立问题与有解问题

1.(2022•河北联考)已知函数人¥)=加限1与g(x)=x2-hx.

(1)若危)与g(x)在J=I处有相同的切线,求mb的值.

(2)若对X∕x∈[l,e],都mZ>∈1,2使火x)2g(x)恒成立，求”的取值范围.

2.(2022-吕梁模拟)已知函数,危0=In(X+1)—OX

⑴讨论函数Kr)的单调性；

(2)当x20时，不等式/(X)WeX-I恒成立，求实数"的取值范围.

3.零点问题

(—])欠ɪ.(γ—1V

1.(2022•成都模拟)已知函数4X)=InX--~T~-

⅛=ιK

(1)分别求n=∖和〃=2的函数y(x)的单调性；

(2)求函数KX)的零点个数.

2.(2022・广州模拟)已知函数於)=厘+$加一cosx,f(X)为兀r)的导数.

(D证明：当XnO时,f'(X)》2；

(2)设g(x)=∕(x)一级-1,证明：g(x)有且仅有2个零点.

参考答案

一、函数的图象与性质

I.D2,B3.C4.A5.B6.D

7.D［由题意知，当QO时，

(x—2)2,0<x≤4,

函数兀v)=h"八.

MX—4),x>4,

作出函数式X)的图象，如图所示，

又由方程HX)=I的解的个数，即为函数y=∕(x)与y=l的图象交点的个数可知，

当x>0时，结合图象，函数y=7(x)与y=l的图象有5个交点，

又因为函数y=>(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以当x<O时，函数y=∕(x)与y=l的图象也有5个交点，

综上可得，函数y=∕(x)与y=l的图象有IO个交点，即方程段)=1的解的个数为IOJ

8.D函数y(2x+D(XdR)是奇函数，

.,.χ2x+D=-χ-2x+1)=>

Λ2x+l)+∕-2x+l)=0,

.∙.函数火X)的图象关于点(1,0)对称，故B正确；

；函数12x+l)(XeR)的周期为2,

.∙.y(2(x+2)+1)=fl2x+1),

即42x+5)=A2x+l),

.∙√(x)的周期为4,故A正确；

Λ2021)=Λ4×505+l)=y(l)=0,故C正确;

X2022)=Λ4×505+2)=/2),无法判断12)的值，故D错误.］

9.AD10.BD11.ABC

12.ACD［因为函数y=∕(x—1)的图象关于直线X=-I对称，故式x)的图象关于直线*=-2对称，因为对

VXeR有人的+式一为=4,

所以函数y=Λx)的图象关于点(0,2)成中心对称，所以χ-2+x+2)=∕(-2-(x+2)),

即Xx)=Λ-4-x)≈4-χ-X),

又犬一4-χ)+Kx+4)=4,

即迷一4—x)=4-∕(x+4),

所以兀v+4)=A-χ),

所以+4)+4)=八一(x+4))=AX),

所以4x+8)=Ax),

所以8是T(X)的周期，故A正确；

又4x+2)=Λ-x+2),故函数

负x+2)为偶函数，故D正确；

因为当Xe(0,2]时，y(x)=x+2,

且KX)+<-χ)=4,

则当x∈[—2,0)时，一χG(0,2],

所以4-x)=-x+2=4-/U),

所以√(x)=x+2,

故当χC[-2,2]时，KX)=X+2,

又函数y=∕(x)的图象关于直线》=-2对称，

所以在同一个周期[-6,2]上，

./U)的最大值为五2)=4,故40在R上的最大值为4,故B错误；

因为#2023)=/(253X8—1)=4-7(1)=1,

所以C正确.]

13.sin2%(答案不唯一)

14.215.[0,2]

16.(θ,|)

解析令g(x)=eR-cos&)，将其向右平移1个单位长度，

得y=e-11―cos(会一/)=eμ-11—Sin(Ej,

所以y(x)=eXF—sin(^τ)是函数g(x)向右平移1个单位长度得到的.而易知g(x)是偶函数,

当x>0时，g(x)=e*-cos&:),

gα)=e'+]sm(刃，

当0<r≤2时，显然g'(戏>0,

当x>2时，ev>e2,

兀？兀.(π兀

-2≤2sm^≤2'

所以g'(x)>0,

所以g(x)在(O,+8)上单调递增，在(一8,0)上单调递减.

从而可知;U)在(1,+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减.

2

所以当凡X>∕(2Λ)时，有k-l∣>∣2χ-l∣,解得(Kr勺.

二、基本初等函数、函数与方程

1.A2,B3.B4.B5.C6.C

,.1—x+3(1.x+3、

7-D[因1为y(-χ)=2λ--+Ig3+T^=^V^2τ+ɪ8)ɪ,

所以y(x)是奇函数，所以yu)+y(—χ)=o,故A,B错误；

又因为Λ%)=2x-^+lgɪ⅛∣=2x-^+lg(-1-⅛)>且害>°，

即(x+3)(3—JC)>O,

解得一34<3,

根据单调性的结论可知段:)在(一3,3)上单调递增，所以当x∈(0,3)时，∕jt)>O,当x∈(-3,0)时，∕x)<0,

所以7U)-Λ—2)=八1)+负2)>0,C错误；

Λ-1)+Λ2)=Λ2)-∕∣)>O,

D正确.]

8.C[令fix)=0,得Xl=α",即ζτ=.*>

ʌI

所以Xi是y=(与y=αv(α>l)图象的交点的横坐标，

且显然Oal<1.

令g(x)=0,得X21θgaX2-1=0,

即IogaX2=9,

所以X2是y=:与y=k>gd(α>l)图象的交点的横坐标，因为y=a'与>∙=log(Λ关于y=x对称，

所以交点也关于y=x对称，

所以有Xl

Xl

4444

所以即+4x2=xι+需，令y=x+j易知y=x+嚏在。1)上单调递减，所以XI+4M>1+I=5.]

9.BC10.ABD11.BD

12.ABD[设3]=4>'=12z=f,z>l,

贝IJX=Iog37,j=log√,Z=Iog3,

所以++.表+表=1°&3+唾4=10端2=：，A正确;

≡,⅛3χ-log√-log,12-lo≡'29<1'

则6Z<3X9

“3x_3103_31ogy4_log/64

因z74γ-41og√-41og,3-logz81

=log8i64<l,

则3x<4y,

所以6z<3x<4j,B正确；

因为J+/=*

所以x+y=(x+y)g+,∙z=g+j+2)z,4z,

当且仅当x=y时，等号成立，

又Xwy,故x+y>4z,D正确;

因为(=；+"=

孙

则，=X+y>4z,

所以孙>4z2,C错误.]

13.左)=0>(答案不唯一)

14.5415.e2

16.(2√2,3)

解析函数40的图象如图所示,

令r=∕(x),则关于X的方程"⑴一，亦v)+l=0有6个不相等的实数根，等价于关于f的方程2产一4f+l=O

z1=6z2-8>0,

0<f<∣,解得2√2<a<3.

{3-a>0,

三、导数的几何意义及函数的单调性

1.C2.C3.D4.D5.D6.B

7.ABC[依题意，7U)存在垂直于y轴的切线，即存在切线斜率k=0的切线,

又k=f1(x)=20x+~-1,x>0,

.∙.2αx+}-l=0有正根，

即_2.=92_：有正根，

即函数y=-2o与函数y=G)2__4QO的图象有交点，

令[=f>0,

则g(r)=I=G-O2一；,

“⑺为⑤=-；，

Λ—20≥一不即α≤g∙]

8.BCD「;段)=InX是增函数，

Λ(Xi-X2)[f(X∖)-fiX2)]>09A错误；

；孙1)+於2)]

=^(lnΛι+l∏Λ2)

=TIn(X的)=ImjXIX2,

(X\+X2>∖X]+X2

ʌʃ产1-，

由X]>X2>e,得.*'2>√X1X2,

又/2=IrLr单调递增，

・・・；欣汨)十/(12)]</("B正确；

令h(x)^^∙,

则/⑴=上普，

当x>e时,h,(x)<0,∕z(x)单调递减，Λh(x↑)<h(x2)9

—x√Uι)>0,C正确;

令g(∙r)=MX)—乂

则g'a)=2—1,

当x>e时,g,(x)<O,g(x)单调递减,

.∙.g(Xl)<g(X2),即班即)一X∣<ς∕(X2)-X2=>e[∕Ul)-/(X2)]。|一必D正确.]

9.610.(0,2)

11.2x+yS=0

解析设Aa1,y∖)9B(X2,竺),

,4

y=丁

所以曲线。在A点处的切线方程为

4、

'->1=_示(工一为)，

将P(l,2)代入得

2-yι=-^(l~xι)f

4

因为y=1,化简得2x∣+v-8=0,同理可得2必+丫2—8=0,所以直线A3的方程为2x+y-8=0.

ʌi

12.a≤-l

解析对于任意不同的XI,Λ2∈(0,+∞),有空火&n>3.

Xl—X2

不妨设X↑<X29

则7(尤[)—/(X2)<3(X∣—X2),

即TUl)—3X1<∕(X2)-3X2，

设Fa)=/U)-3x,

则EaI)<RX2),又H<X2,所以产(%)单调递增，9(x)20恒成立.

F(x)=∕x)—3x=^x2—(α+3)x÷lnx.

—,II1炉一(3+α)x+l

所以F(x)=χ-(3+a)+^=--------------------

X

令gα)=∕-(3+α)亢+1,

要使尸(x)20在(0,+8)上恒成立，只需g(χ)=χ2—(3+α)x+120恒成立，即3+αWx+:恒成立,

X÷^^≥2Λ∕x∙-=2,

X∖JX

当且仅当x=g即x=l时等号成立，所以3+αW2,即αW-l.

13.解函数定义域为(O,+∞),

求导得/(x)-2χ-2+^.

(1)由已知得/'(1)=2X1—2+a=-4,得α=-4.

.,a2x2-2κ+α

(2V(x)=2χ-2+最=~(x>O),

对于方程2x2-2x÷α=0,

记/=4—8〃.

①当∕wo,即W时，/(x)》o,函数y(x)在(0,+8)上单调递增；

②当/>0,即(Xaq时，

令/(X)=O,

Az]—：L241+7—2a

解2何θ尤1------2--------，X2=------2---------

又4>0,故Λ⅛>xι>0.

当x∈(o,Xl)U(X2,+8)时，/(χ)>o,函数yu)单调递增，

当X∈(X1,X2)时，f(X)<0,

函数./(X)单调递减.

综上所述，当。》T时，函数T(X)在(0,+8)上单调递增；

⅛O<fl<∣⅛,函数段)在(0,-2)g±年逅，+8)上单调递增,

在(口岸，W三可上单调递减.

14.解(1)当a=∖时，

F(X)—ex-j(x)—(X-I)In(X-1)—2Λ,

定义域为(1,+∞),

F'(X)=In(X-I)-I,

令F'(x)>0,解得x>e+l,

令尸'(x)<0,解得l<r<e+l,

故F(X)的单调递增区间为(e+l,+∞),单调递减区间为(1,e+l).

^1'

QV(X)在区间《，1」上有意义，

故OV-I>0在己，1上恒成立，可得a>e,

依题意可得/'(x)=e'—aln(or-l)+l>O在仔，1上恒成立，

设g(x)=/(x)=ex-a∖n(aχ-1)+1,g,(x)=ex-ɪ,

Γl1

易知g'(X)在“上单调递增，

2

故g'(x)Wg'(l)=e—^<0,

故g(x)=f'(x)=e,-Hn(Or-1)+1在已，1]上单调递减，最小值为g(l),

故只需g(l)=e-αln(4-1)+120,

设Λ(α)=e-aln(α-1)+1,

其中a>e,由∕√(a)=-ln(α-l)—-^^γ<0可得，

a—1

Λ(a)=e-aln(a-1)+1在(e,+8)上单调递减，

XΛ(e+l)=O,故a≤e+l.

综上所述，Q的取值范围为(e,e+l].

四、函数的极值、最值

1.D2,C3.A4.B5.D6.D

7.AC［因为/(x)=x3-x+l,所以/(x)=3χ2-1.令(x)=3x2-1=0,得x=±^.

由/(x)=3x2-1>0,得工>坐或工<一坐;由/(力=3/―IvO,得一坐<x<^∖

所以A%)=R-χ+ι在(乎，+8),(—8,一兴j上单调递增，在(一坐，坐^上单调递减，

所以兀¥)有两个极值点，故A正确；

因为7U)的极小值/停1=(芈)—坐+1=1—¥>0,五-2)=(—2)3—(―2)+1=—5<0,所以函数7U)在R

上有且只有一个零点，故B错误；

因为函数g(x)=x3-x的图象向上平移一个单位长度得函数yU)=Λ3-χ+l的图象，函数g(χ)=χ3-χ的图象

关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点((M)是曲线yu)=v—x+l的对称中心，故C正确；

假设直线y=2x是曲线y=7(x)的切线，切点为(Xo,ʃo),则/(Λ¾)=3Λ8—1=2,解得M)=±1；若Xo=1,则

切点坐标为(1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上；若XO=-1,则切点坐标为(一1』)，但点(一1,1)不在直线y

=2x±,所以假设不成立，故D错误.故选AC.］

8.ACD［由题意知，a≠0,

由47n÷a(n—3e½)(ln^—∖nm)=O,

得4+者一3»吟=。,

fl

令∕=-(∕>0),

4

则一々『Inf—3e21m,

设g(∕)=dnr-3e2ln∕,

则g'«)=1+InL手，

因为函数g'⑺在(0,+8)上单调递增，且屋(e2)=o,

所以当0<f<e2时,g'(r)<0,

当De?时，g'(0>0,

则g⑺在(O,e2)上单调递减，

在(e2,+8)上单调递增，

从而g(0min=g(e2)=—4e2,

4

即—M2—4e2,

a

解得或0<0∙

故α∈(-8,O)U[占+8).]

9.110.(—8,OJ11.1

12Gl)

解析方法一由fix)=2αv-ex2,

得/(ʃ)=2ax∖na—2ex.

令/(x)=0,得OXlna=ex.

因为a>0且a≠1,

所以显然XW0,所以e=一~一.

人/、ax∖na

令g(x)=-γ-,

〜ax(∖nd∖2χ-axlna

则g'f(X)='<2-----------

"InQ(Wna-I)

=.

令g'(x)=0,得X=看・

故当x>之时，g'(Λ)>0,g(x)单调递增；

当*<i⅛时，g'(χ)<0,g(χ)单调递减.

所以g(x)极小值=g(jaJ=­j—

Ina

1

=6flnfl(Ina)2,也是最小值.

因为於)有极小值点X=X↑和极大值点X=Xl9

故/(X)=O有两个不同的根％=X1,X=X2,

故g。)的图象与直线y=e有两个交点，

所以W3<e,

11∖ne

即QEa(indr)2<e,又alna=Qma=

所以(IM2<L

由题意易知当X£(—8,X1),(X2,+8)时，

f,ω<o;

当XW(X1,X2)时，/(x)>0.

若a>l,则当χf+8时，/(χ)f+8,不符合题意，所以0<4<l,则一l<lno<0,

所以。£弓，1).

方法二由题意，，(x)=2ax∖na-2ex,

根据«x)有极小值点X=Aj和极大值点X=X2可知，X=Xl,X=X2为/(X)=O的两个不同的根，

,

又X1<X2,所以易知当X£(—8,χ∣),(χ2,+8)时，f(x)<0;

当X∈(尤1,X2)时，f(x)>0.

由f,(x)=0,可得α*lnα=ex.

①若α>l,则当X-+8时，,尸(χ)一+8,不符合题意，舍去.

②若0<Q<1,令gCr)=”!!。，A(x)=ex,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)和〃(x)的大致图象，如图所

示.

因为/(X)=O有两个不同的根，

所以g(x)与人(幻的图象有两个交点，

则过原点且与g(x)的图象相切的直线/的斜率Ke.不妨设直线I与g(x)的图象的切点坐标为(X0,α"lnα),

因为g'(x)=α"(In〃)2,

所以k=QAb(InQy=ɑ,

⅞

1—

可得出=嬴’从而k=alna(IM2<e,

1Ine

又ahω="hω=αk‰e=e,

所以e∙(ln4)2<e,则(Ina)2<1,

又0<α<l,所以一1VInaV0,

所以αcg,1)

13.解(1)因为4x)=χ3-30r+α(αeR),

所以，(X)=3Λ2—3α=3(x2—a).

①当“WO时，f(x)20恒成立，

Ar)在R上单调递增；

②当4>0时，x∈(-∞,-√α)U(√^,+8)时，，(χ)>0;

x∈(-ʌ/ɑ,W)时，f(X)<0;

故«r)在(一∙8,一4%)和(、「，+8)上单调递增，

在(一出，/)上单调递减.

(2)由(1)可知：

①当“W0时，兀V)在［0,3］上单调递增，g(α)=A3)-∕(0)=27-94;

②当犯》3,即a29时，

府)在［0,3］上单调递减，

g(α)=/(O)-/(3)=9。-27；

③当0<W<3,即OCa<9时，

Kr)在［O,W)上单调递减，

在(加，3］上单调递增，

于是/ɪ)min=fiy［a)=­1ay［a+a,

又fiβ)=a,<3)=27-8α.

故当0<〃<3时，

g(α)=27-9tz÷2er∖∣a；

当3≤α<9时，g(a)=2<r∖[cι,

综上可得，

"27-9α,α≤0,

27~9a+2a^a,O<a<3,

g(α)=4

2er∖∣a,3≤α<9,

.9«-27,心9.

14.⑴解因为y(x)=cosχ-上，

在X=O处的切点为(0,0),

求导得/(X)=-sinx+卜，

所以切线斜率为/'(0)=1,

所以函数/U)的图象在X=O处的切线方程为y=x.

(2)证明因为段)=CoSx-p,

所以f'(x)=—sinx+看，

因为当Xe哙,时，

函数9=—SinX,刃=2均单调递减，

所以∕'(x)=-sinx+已在区间《，彳)上单调递减，

因为e2<8,

J<eLi

22

__1__

y[?

--1

因为e4<一,

2

所以rS=e=_盅

22_2&0

根据零点存在定理可得,

(X)存在唯一零点xo∈

使得，(Xo)=e-x°-Sinxo=O,

又y=/⑴在区间值号上单调递减,

所以当x∈值XO)时，f(x)>0,

当XGG0,£)时，/(x)<0,

所以XO是函数火X)在区间停，上唯一的极大值点.

五、导数的综合应用

1.导数与不等式的证明

1.⑴解易知函数y(x)的定义域为R,

uβx

∙∕(x)=e-χ-lf

V(ɪ)ɪeʃ-l,

令/α)=e"-ι>o,解得QO,

・・・危)在(0,+8)上单调递增，

令/(x)=er-l<0,解得XV0,

・・・於)在(-8,0)上单调递减，

即7U)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(一8,0),

，函数7U)的极小值为大O)=0,无极大值.

(2)证明要证"r)+x+15r^x2+cos%,

即证e，一CoSX20,

设g(x)=ex-$2—∙cosx,要证原不等式成立，即证g(x)20成立,

•：g'(x)=ex-x+sinx,

又sinx≥—1,

A

.∙.g'(X)=e*—x+sinx2e-A—1(当且仅当X=-5+2⅛π,Z∈Z时，等号成立),

由(1)知&'一尤一120(当X=O时等号成立)，.∖g,(Λ)>0,

.∙.g(x)在(0,+8)上单调递增,

∙∙∙gα)>g(θ)=o.

.∙.当/20时，fl,x)+x+1≥^v2÷cosX.

2.(1)解函数./U)=ln(〃一x)—x+e的定义域为(一8,。),

∖-χ+a

所以/。)=

χ-aχ-a

因为当x<a时，f(x)<0,

即危)在(—8,α)上单调递减,

故函数HX)的单调递减区间为(一8,。)，无单调递增区间.

(2)证明当α=e时，

fix)—ln(e—x)~x+e,

X

要证y(e—x)<ev+五，

即证Inx+%<e^v+^,

A

sπχτlnxIlelI

即证—+i<一+丁.

XX2e

InY

设g(x)=牛+l(x>O),

,1—InX

则S(X)=-->

所以当Oa<e时，g'(x)>0,

当x>e时，g'(x)<0,

所以g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

所以g(x)Wg(e)=5+l.

设/!(彳)=£+表，h'(X)=",

则当(XXVl时，h'(x)<0,

当x>∖时，h'(x)>0,

所以〃(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以Λ(x)S=∕z(l)=e+^,

又H<e+=

Y

所以当α=e时，/e-x)<ev+^.

2.恒成立问题与有解问题

1.解(iy,(X)=20rlnx+αx,g'(x)-2x~b,

；函数/外与g(x)在X=I处有相同的切线，

.W)=g⑴，

,,lr⑴=g'⑴，

o=ι-⅛,Q=1,

即，

.a=2-by6=1.

(2)欲使fix)2g(x)恒成立,

即ar2lnx^x2-bx成立，

即ax∖nχ-χ^-b成立，

V3⅛∈1,使y(x)2gCr)恒成立，,ɑrlnʃ-∙∣恒成立,

当X=I时，有一12一，成立，

∙∙α∈R,

e

x-2

当∕∈(1,e］时,.¾

e

,x~2

令Ga)F，

∣lnχ-χ+^

则G'(X)=(XInX)2'

ec

令MX)=］lnχ-χ+y

则m'(x)=*T,且M(I)=°，

当l<x<5时，m,(x)>0,

当，VX<e时，m,(X)<0,

.∙."2(x)在(1,§上单调递增，g,e)上单调递减，

∕n(l)=-1+∣>0,

加⑤=Iln∣>0,w(e)=0,

，当X£(1,e］时，/n(x)≥0,

即G'(x)20,G(X)在(Le］上单调递增，当x=e时，Ga)有最大值,

且G(C)=2>∙*∙Λ^2,

综上所述，α的取值范围是+∞).

2.解(1)由题意得x>—1,/'(X)=Wi4当&W0时，/(x)>0,

故函数KX)在区间(-1,+8)上单调递增；当”>0时，

在区间(-1,—1+5)上，f(X)>0，

在区间(一1+5，+8)上，f(x)<O,

所以函数加C)在区间(-1,-I+?上单调递增，在区间+8)上单调递减.

综上所述，当“WO时，函数在区间(一I,+8)上单调递增；当”>o时，函数y(x)在区间(一I,-i+