2022-2023学年河北省承德市双滦区高一年级下册期中数学模拟卷（含解析）

2022-2023学年河北省承德市双滦区高一下册期中数学模拟卷

(含解析)

—＞单选题

1.已知角0的终边经过点。(一A])，则Sina的值为(

)

2√5

B.还c.D.

A弋55^1^

【正确答案】A

【分析】利用三角函数的定义即可得解.

【详解】因为角α的终边经过点尸(-2,1),

所以Sina

5-

故选：A.

2.已知复数Z=±2,则！•的虚部为(

)

3+i

44.33

A.-B.-IC.D.

5555

【正确答案】C

【分析】根据复数的除法运算化简复数z,进而求其共轨复数，即可求解.

3—i_(3—i)(3—i)8—6i43.

【详解】Z--------1,

3+i(3+i)(3-i)1055

故-z=4—+3^i,故彳的虚部为巳3,

555

故选：C

3.已知而=(4,2),ZC=(L4),则万面=()

A-8B.-16C.8D.16

【正确答案】A

【分析】先求而再根据数量积的坐标运算求解.

【详解】因为刘=(4,2),太=(1,4),SC=JC-Zfi=(1,4)-(4,2)=(-3,2)

贝IJ篇A=(4,2)∙(-3,2)=4X(-3)+2X2=-8,

故选：A

4,已知函数/(x)=sin(eυx+e)。＞0-兀＜夕＜0的图象如图所示，则夕的值是()

【正确答案】A

【分析】由图可得函数的最小正周期，从而可得①，再利用待定系数法即可得解.

TJrSTC

【详解】由图可知一=兀-'=H,

266

所以T=史=空，所以＜υ=9,

3ω5

则/(x)=Sin(WX+e),

TT

把-,O代入得,

16

TtTt/兀

所以g+9=—,+2Λπ,攵∈Z,则*=+2kπ,k∈Z,

八7K

又因一兀＜。＜0,所以e=一百.

故选：A.

5.已知平面向量G=(7,T),方二(—3,4),则5M在B上的投影向量为()

A.卜1,2)B.(1,-2)C.f-∣∙＞yjD.

【正确答案】D

【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.

→→

5a-b-5×(-3)+(-5)×4

【详解】53在5上的投影向量的数量为-1»

→√(-3)2+42

∖b∖

—>

所以51在B上的投影向量为Tx±∙=343_4

5,55，-5

∖b∖

故选：D

6.已知1e(-^,θj,siπ2a二

,则Sina-COSa=()

A03√32√32√3

B.-------r------Un.

323亍

【正确答案】D

【分析】注意到(Sin(Z-CoSa)2=1-sin2α,后结合角度范围可得答案.

4

【详解】注意到(Sina-COSa)2=1-2SinCZCOSa=I-Sin2α

3

2√3

又α∈——,0=Sina<0<cosa=sinα-CoSa<0,则Sina-COSa=-

I2J亍

故选：D

7.在等腰梯形ZBCO中，AB//CD,AD=DC=CB=工AB,M,N分别是CD,BC

2

的中点，则京=()

151515

Æ+9D

3-6-3-一2-8-

12

1——3一

—AM+-AB

28

【正确答案】C

【分析】根据几何关系，找到以NN为对角线的平行四边形，再通过几何关系找出四边形的

边与ZM和/8的长度关系，最后根据平行四边形法则即可表示出丽.

【详解】如图，过N作NE〃AB交AM于E,

AHFB

，E是的中点.

分别过C,N炸CH〃AM,NF//AM,交AB于H,F，

因为ZENE为平行四边形，所以苑=万+万，

且河=*孙同=IENl=^M一苧=%B∣T阳=£网

15

由此可得ZN=“+—/8.

28

故选：C.

8.设向量W与5的夹角为6,定义ZaB=握in。+展OSq.已知向量W为单位向量，W=√Σ,

卜-6∣=1,则［㊉B=（）

A.巫B.√2C.叵D.2√3

22

【正确答案】C

【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量7与B的夹角，代入新定义求解即可.

【详解】由题意得卜一耳=近2—2工石+方=712-2×1×√2COS^+（√2）2=1«

解得COSe=YZ>

2

所以Z㊉B=①£+也B=、口/+71+上/Li+'2=巫.

22V22\222

故选：C

二、多选题

9.下列函数中以2兀为周期的是（）

X.X

A.V=tan—B.V=sin—

2-2

C.y=sinLrD.y=cosN

【正确答案】AD

【分析】对于ABD,利用三角函数的性质以及周期公式逐一判断即可；对于C,举例子证

明/(χ)不是周期函数即可判断.

γT=—=Z2ττ

【详解】对于A,=tan-,贝∣J一1一,故A正确;

23

2兀4

.XΓ­=4π

对于B,y=sιn-,则πl

2

2

X

所以y=sin5不以2兀为周期，故B错误;

对于C,因为y=∕(x)=SinkI,

所以至少存在X=£，使得/(x+2π)≠∕(x),

所以/(x)不是以2兀为周期的周期函数，故C错误；

2兀

对于D,y=cosIXI=cosx,则T=丁=2兀，故D正确.

故选：AD.

10.设复数Z]=2-i,Z2=2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的为()

A.Z2是纯虚数B.z∣-Z2对应的点位于第二象限

C.∣ZI+Z2∣=3D.zl=2+i

【正确答案】AD

【分析】根据复数的概念判断A；算出Z1—Z2判断B；算出∣z∣+Z2∣判断C；求出£■判断

D.

【详解】对于A：z2=2i,其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；

对于B：z1-z2=2-3i,其在复平面上对应的点为(2,-3),在第四象限，B错误；

对于C：z∣+Z2=2+i,贝∣J∣z∣+Z2∣="n=√?,C错误；

对于D：z∣=2-i,则1=2+i,D正确.

故选：AD.

11.关于函数/(x)=COS2x-2j3sinxcosx,则下列命题正确的是()

A.函数/(x)的最大值为2

B.X=巴是函数/(x)的图象的一条对称轴

6

(ηπ\

C.点不PO是函数/(X)的图象的一个对称中心

112√

D./(x)在区间一上单调递增

63_

【正确答案】AC

【分析】由题可得/(x)=2cos[2x+∕J,然后根据余弦函数的性质逐项分析即得.

【详解】因为/(X)=COS2x-2Jjsinxcosx=2cos(2x+g),

对A,由/(x)=2CoS(2x+；)可得函数的最大值为2,故A对；

对B,/[t)=2cos(2xt+∙∣)=2cosg≠±2,故B错；

(7兀)(77t兀、3

对C,/—=2cos2×一+—∣=2cos-7i=0,故C对；

[12J{123J2

对D,X∈—,—n2xH—∈[θ,7t],y=2cos∕在1∈[θ,7r]上单调递减，故/(x)在区

ππ

间一：,；上单调递减，D错.

63

故选：AC.

12.已知向量万=(I,-2),h=(-l5τ∏),则正确的是()

A.若加=1,则=B.若a∕∕b-则m=2

c.若"与B的夹角为钝角，则加>-；

D.若向量是,与。同向的单位向量,

√52#)、

贝丘=

^T,--5^

/

【正确答案】ABD

【分析】根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标表示即可判断A；根据向量共线的坐标

表示即可判断B；若万与6的夹角为钝角，则Zi<o,且乙与B不共线，列出不等式组，

1

一r«

即可判断C;若向量是C与万同向的单位向量，则C=而，从而可判断D.

【详解】对于A,若加=1,则”3=(2,—3),所以,—闸=而，故A正确；

对于B,若万〃5，则〃2-2=0,所以加=2,故B正确；

对于C,若2与B的夹角为钝角，则£力<0,且值与万不共线，

—1—2阳<01

即〈C八，解得加>—，且加≠2,故C不正确；

m-2≠02

对于D,若向量是C与不同向的单位向量，则C=R=［行'—一s~y故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.sin1Oocos400-cos50ocos10o=.

【正确答案】—##—0.5

2

【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算即可.

【详解】

sin10ocos400-cos50ocos100=sin10osin50o-cos50ocos10o

=-cos(50o+10o)=-cos60。=一(.

故答案为.—

2

则cos2a=

【正确答案】—逆##—3j5

99

【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数

关系求得CoSla-四］=逑，即可求值.

I4J3

【详解】由cos2α=sin(--2a)=-sin(26r--)=-2sina--cosa--.

1IftCTrTr,.

-,则O<α—<一，故cos

344

所以cos2a=

9

故考

TT

15.在MBC中，内角4瓦。的对边分别是。力,c,已知c=2,C=—若SinB=2sin/,

3f

则MBC的面积为.

【正确答案】空

3

【分析】根据正弦定理得到b=2α,根据余弦定理得到4=/+/一帅，解得。=2叵

3

b二型,再计算面积得到答案.

3

1222

【详解】sinB=2sinAf故Z>=2a,c=a+b~-labcosC,4=a-^-h-ah∙

龌得,4百12百

解得a=-----，b=------，S=-QbSlnC=-----

3323

故答案为.巫

3

本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.

16.已知/(x)=sin《(x+l)-√icosg(x+l)],则

/(l)+∕(2)+/(3)+...+/(2020)=

【正确答案】√3

【分析】

JT

化简得/(x)=2SinlX,利用周期即可求出答案.

【详解】解：/(x)=sin[∣√x+l)]-√Icos[∣√x+l)]=2sinqx,

；・函数/(χ)的最小正周期为6,

Λ/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=O,

∙∙∙/(1)+/(2)+/(3)+..∙+/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=√3,

故石.

本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题.

四、解答题

17.已知非零向量々与否满足同=1,且G―B)∙(Z+B)=g

一一1一一

(1)若a∙b=Q,求向量6的夹角.

(2)在(D的条件下，求忖一2@的值.

TT

【正确答案】(1)-

4

(2)1

【分析】⑴根据M叫∙(Z+B)=g和同=1,得到阿=当，再利用向量的夹角公式求

解；

(2)根据(1)的结果，利用向量的模公式求解.

【小问1详解】

解：因为("B)∙(α+B)=；,

→2-21|―|——I

所以Q-b=—,又何=1,a-b=—,

所以W=孝,商呼,

因为(”,B)∈[0,司,

所以卜,B)=?；

【小问2详解】

-^a-4a-b+4b'=1

4/小vɪθ

18.已知α为钝角，夕为锐角，sin«=—cos(α—〃)=记.

[兀

(1)求tan[α-w

(2)求Sin尸.

【正确答案】(1)7

力13√10

50

【分析】(1)根据α为钝角，sin。=：,求出COSa,tana的值，进而求出tan(a—的

值；

(2)根据夕为锐角，cos(α-P)=噜，求出1一夕的范围，求出sin(a—尸)的值，

sin=sin[a-(a-4)]即可求得结果.

【小问1详解】

(兀1A「I—F-I163

∙.∙fz∈—,πcosσ<0,cosσ=-√l-sma=-J1l-----=——

12)V255

π41

tana-tan-------1ɔ

Sina4

tana=------tan(a一：--------------£=-⅞-=-=7,

3π4-1

cosa1+tanatan—1—×11

43

/.tan∖a--∖=l.

I4j

【小问2详解】

βθ,7^yɑ-p∈(0,π:),sin(α_0)>O,sin(a_∕?)=Jl-COS?(α—β)ɪ-^ɔʌθ-

∖)10

sinβ=sin[a-(a-β)]=sinacos(α-B)一COSasin(α-B)

4√W33√W13√10

=—×-------F-X---------=----------

51051050

,。13√10

.,.sinB---------•

了50

π

19.已知函数/(x)=2Sinωx-st--(口＞0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为T.

3

(1)求/(X)的解析式和单调递增区间;

（2）求函数/（x）在区间一2,2上值域.

62_

TrI5TTJl

2x+-,单调增区间为kπ----,kπ+一，（左eZ）.

（ɜ）ɪ2ɪ2

（2）[-V^,2]

【分析】(1)根据正弦型函数的性质得出口的值，结合正弦函数的单调性确定函数/(χ)的

单调递增区间；

(2)根据正弦函数的性质得出sin(2x+1)e-ɪ,l,进而得出函数/(χ)在区间

兀兀

∙^7^,T上的值域.

_62_

【小问1详解】

TT

因为相邻两条对称轴之间的距离为一，所以/(X)的最小正周期T=π,

2

2兀(\

所以T二冏，∙.∙g>0,则G=2,.∖∕(x)=2sin[2x+y,

TZJT兀

又因为当2人不一一≤2x+-≤2kπ+~,左eZ时函数/(χ)单调递增,

232

即kτι-----≤X≤kτι4-----,左∈Z,

1212

SJTjr

所以函数/(X)的单调递增区间为kπ--,kπ+-,(AreZ)；

【小问2详解】

,ππ,√31

（2）当x∈时,2x+&∈0,—,所以Sinl2X+2∙∣∈

623313J2

所以函数/(χ)在区间的值域为[-石,2].

20.在ZBC中,角48,。的对边分别为。也。,且满足24856+6=2。.

(1)求角A;

(2)若。为BC边的中点,且4。=后,∕C=2,求45C的周长.

【正确答案】(1)N=]

(2)8+2√7

【分析】(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将SinC转化成sin(4+8)即可求

解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.

【小问1详解】

在ZBC中因为24cos8+b=2c,

由正弦定理得2sinAcosS+sin5=2sinC,

所以2sinNcos8+sin8=2sin(A+B)=2sinAcos8+2sin8cosA,

即sin8=2sinBcosA,

又因为436(0,71),5亩台。0,所以(：05/=；,

所以Z=:

【小问2详解】

取/8边的中点E,连接DE,则DEHAC,

在VNz)E中,由余弦定理得：

ɔJT

AD2=AE2+DE2-2AE-DE∙cos——=13

3，

解得∕E=3,所以/8=6.

在Z6C中,由余弦定理得：

BC=y∣AB1+AC2-1,AB-AC-cosA+22-2×6×2×∣=2√7

所以ZBC的周长为8+2近.

21.己知向量α=(λΛ,l),B=(CoSX,sinx),x∈(θ,π).

(1)若ZdJ,求X的值;

(2)若/(无)=屋九且/(0)=半，求Sin(2a+胃的值.

【正确答案】（I）?

5

(2)

9

【分析】（1）根据题意得到tanx=—G，再结合Xe（O,π）即可得到答案.

（2）首先根据题意得到sinfa+-V-，从而得到

Iɜj3

cos^2a+^-^=l-2sin2^a+y^=^,再根据5出（2。+弓）=sin［（2a+g-ɪ求

解即可

【小问1详解】

因为α_1_各所以α∙B=J5cosx+sinx=0，所以tanX=-G

由于Xe(O,π),所以X=?-.

【小问2详解】

由/(x)=α∙⅛=√^cos%+sin%=2sinx+-

所以/(α)=2sin(α+∙∣∙2√2hπ.(兀'√2

即sina+一

~τ~I3J^T

.(,2π]∙?!πIɔ

而CoS2a+—=l1-2sιna+—=—

I3JI39

C2兀)π5

所以sm2a+—=sin2aH----=-cos

∖6)3)2I39

22.位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海

轮位于港口A北偏东30°且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西

方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以n海里/时的航行速度匀速行驶，经过，小时与海轮

相遇.

（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？

（2）若经过2小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？

（3）假设小艇的最高航行速度只能达到10灰■海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向

与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.

【正确答案】（I）2θG海里/时

（2）5JiI海里/时

（3）当小艇的航行方向为北偏西15。，航速为IOJM海里/时，小艇能以最短时间3（、万一I

2

小时和海轮相遇

【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；

（2）由两小时可确定边80,再利用余弦定理可得及速度：

（3）设/C∕0=e[θ<e<f],可得zo=l≥叵，8。=15+15Gta