2022-2023学年湖北省荆州市荆州区高三年级（上）数学期末模拟测试

荆州市荆州区2022-2023学年高三年级(上)期末模拟测试

数学

一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分。下列各题，每小题只有一个

选项符合题意。)

1.设集合4=麻2_4》+3叫，8={xeZ[l<x<5},则A「8=()

A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{1,2,3)

2.已知复数z=3-2i)(l+3i)(aeR)的实部与虚部的和为12,则|z-5|=()

A.3B.4C,5D.6

3.已知中，AB=AC=1,3C=及，点。是△/回的外心，则CO.AB=()

A.工B.-1C.1D.叵

2222

4.小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为，乘坐地

铁的概率为，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为和，则小明准时到校的概率为

()

5.已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2,当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为()

A.8%B.16%C.8显兀D.40兀

6.已知点A(—1,2),5(1,0),C(l,-2),0(4,2),则向量.与CD夹角的余弦值为()

A.也B.一农C.一述D.述

10101010

4

7.已知正项等比数列{叫前〃项和为5“，”=冬，且数列加,}的前"项和为若对于一

an+]

切正整数〃都有S“<7；,则数列{《,}的公比4的取值范围为()

A.(1,+8)B.(0,1)C.(2,+w)D.(0,4)

8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在表面积为64万的球面上，且%，平面4%,1s4=4,

27r

ZBAC^—,AB=26，”是边回上一动点，则直线SM与平面力比所成的最大角的正切值为()

4V33

A.3B.C.Vr3D.-

32

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知函数/（幻=26•工+网11%|）（：05%,给出下列四个命题，其中正确的是（）

A.f（x）的最小正周期为乃B.〃x）的图象关于点（5,中心对称

7171

C.7（幻在区间-二，二上单调递增D./（X）的值域为[—2,2]

44

10.三角形△中，角A氏C的对边分别为下列条件能判断^是钝角三角形

的有（）

A.Q=6,Z?=5,C=4B.AB•BC=2a

八a-bsinC

C.----=------D.Zr0siir9C+c29sin-0jB=2hccosBcosC

c+bsinA+sinB

r22

11.已知双曲线cj-2v=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为耳，K,左、右顶点分别为A，4,

a"b

。为双曲线的左支上一点，且直线PA与尸&的斜率之积等于3,则下列说法正确的是（）

A.双曲线。的离心率为2

B.若，且以出外=3,则0=2

c.以线段2月，44为直径的两个圆外切

D.若点、P第二象限，则/尸月4=2/2人耳

12.如图所示，在长方体ABC。—A4GA中，AB=AR,点£•是棱CO上的一个动点，给出下

列命题，其中真命题的是（）

A.三棱锥8-AEG的体积恒为定值

B.存在唯一的点£,使得截面.AEG的周长取得最小值

C.不存在点色使得平面AEG

D.若点、E满足CE>DE,则在棱0A上存在相应的点G,使得A。〃平面AEG

三.填空题（共4题，总计16分）

13.等差数列｛0“｝的公差为2,若为，%，&成等比数列，则4=____-

14.定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.

现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：

①甲同学的5个数据的中位数为125,总体均值为128；

②乙同学的5个数据的中位数为127,众数为121；

③丙同学的5个数据的众数为125,极差为10,总体均值为125.

则数学成绩一定优秀的同学是.

22

15.设4,A2,氐分别是椭圆C：=+4=1（Q>%>0）的左、右、上顶点，0为坐标原点，〃为线

Q-b~

段的的中点，过A作直线4〃的垂线，垂足为"若〃到x轴的距离为则C的离心率为

16.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则

移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用&表示解下〃"W9,n《N）个圆环所

f2a为偶数

需的最少移动次数，数列｛a｝满足a=1,且a,,=Ln.生太共，则解下〃（〃为奇数）个环

2a,i+2,"为奇数

所需的最少移动次数为—.（用含"的式子表示）

四.解答题（共6题，总计74分）

17.已知数列｛a.｝满足2a“=。“+]+%+2，且q=1,/=-1.

（1）请你在①，②中选择一个证明：

①若4=%一4用，则㈤是等比数列；

②若仇=2/+。用，则｛，是等差数列.

注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分.

（2）求数列｛&｝的通项公式及其前n项和S,.

18.在4中，角4,8,C的对边分别是a,b,c,且满足sin?B+sin2C-sinBsinC=sin2A.

(1)求角4

(2)如图，若b=c，点。是△外一点，DA=3,DC=B设NADC=。，求平面四边

形ABC。面积的最大值及相应的。值.

19.长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大

计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计，是保护后代子孙生

活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量)'随时间，的增长满足指数模型：

y=a*,其中a表示初始时刻的鱼群数量，。表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021

年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据整理如下：

时间/(单位：月)1234567

112479

鱼群数量y(单位：千克)8

044163

(1)根据上表与参考数据，建立理相状态下鱼群的数量丫关于时间f的回归方程；

(2)科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率人与某个环境指标x(xe((),2乃))满足关系：

人=—世上少+c(其中c与每年禁渔的总时间d(单位：月)(醺"i2,deN)有关，c=4-l.)

(i)在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标x的取值范围？

(ii)在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全年禁渔令

的科学性.

参考数据

77e°'45

yVeL45

/=11=1

3

3.251478103.601.574.26

8

1n

其中4=匕参考公式：对于一组数据(/，用)，仇,%),,(〃,/,)，其回归直线

Z/匕-nuv

v=a+pu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为B=三-------,a=v-pu

S,u；-nil2

i=l

20.在四棱锥产16切中，平面4血_L平面加9,底面4?切为梯形，AB//CD,ADVDC,且45=1,

AD=DOD六2,4PDOI20。.

(1)求证：AD,PC；

(2)求二面角/S4比C的余弦值；

21.已知椭圆E:会+%=1(。>8>0)的离心率为石，短轴长为2JL

(1)求椭圆£的标准方程；

2

尤2

(2)已知点A、3是双曲线今y1的两个实轴顶点，点P是双曲线上异于A、8的任意一

点，直线P4交E于M,直线交E于N,证明：直线MN的倾斜角为定值.

12

22.已知函数/(x)=lnx+2,^(x)=-e2'-In—(a>0).

(1)设函数〃(x)=/(x+l)-x—2,求/?(x)的最大值；

⑵证明：/(x)<.?(%).

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参考答案及解析

一.单项选择题

1.【答案】：c

【解析]因为4=卜尸―4》+3<0},所以A={x|l《xV3},因为3={xwZ[l<x<5},所以B={2,3,4},

所以Ac8={2,3}.故选：C.

2.【答案1C

【解析】：z=(a—2i)(l+3i)=(a+6)+(3a-2)i,

则有，。+6+3。-2=12,解得。=2,

则z=8+4i,z-5=3+4i,故|z-5UJ32+42=5.

故选：c

3.【答案】：C

【解析工AB2+AC2=BC2,：.AC1AB,即为等腰直角三角形，即NABC=45°

点。是△4比'的外心，.•.点。是BC的中点

故选：C

4.【答案】:B

【解析】：小明上学可以乘坐公共汽车准时到校概率为0.4x(l-0.05)=0.38

小明上学可以乘坐地铁准时到校的概率为0.6x(l—0.04)=0.576

所以小明准时到校的概率为0.38+0.576=0.956

故选：B

5.【答案】：C

【解析工设圆锥的底半径为「，母线为/,高为〃，则厂＞2

2/

由圆锥的底面圆心到母线的距离为2,则2/=〃/,即//=—

4

22r

又所以广=产+47解得，I=

r2-414

r

r2r4

14

由r>2,则一---T2__j_

r2r47r一公"I

当f=—,BPr=2>/2时，I最小值4

r4

则圆锥的侧面积为jrrl=2V2x4万=8，5万

故选：C

6.【答案】：B

【解析工设A3与CO夹角为。，因为AB=(2,—2),CZ)=(3,4),所以858=第三=一^!

故选：B

7.【答案】：B

【解析工因为等比数列｛《,｝是正项等比数列，所以q>0,fl)>0,

4

若q=l,则%=%,2=&、■=%,S„=Tn,不满足题意；

«„+i

若它1,则一(7),T彖(j")q(iw),

"q。"+1q"\-qd(i-4)

丁0_6(1一。")(][]_q(i_q")(i_/)_q(i-力(i+q+d)

『"二~^七广八j)=彳，

因为q>0,q>0,所以若>>S.,则1—q">0,qn<\,0<^<l,

故数列｛4｝的公比q的取值范围为(o,i),

故选:B.

8.【答案】：B

【解析】：根据题意，将三棱锥S-ABC放入直三棱柱S&G-ABC,则两者外接球相同，

且取底面ABC,S4G的外心为旦,O2,连接。。2,且取其中点为。，连接。AA。如下所示：

因为三棱锥S-ABC外接球的表面积为64乃，设外接球半径为R,则《左配二的"，解得R=4；

对直三棱柱SBC-ABC,其外接球球心在OR的中点。处，也即。4=4,

故在R/0aA中，因为。4=4,。0]=gsA=2,设_ABC外接圆半径为，

则,+22=42，解得「=26；

2c/___B__C____—O~r/r0

在「ABC中，因为/区4。=<，且/"=26,故可得.2〃一，即5C=2x2gx±=6,

3sin石2

再由正弦定理可得=贝(lsinNACB=40=2《=L,又NAC8为锐角，故

sinZACB2r4G2

7t

ZACB=~；

6

n

则NABC=—,即4是以N84C为顶角的等腰三角形；

6

34

因为SA,平面ABC,故与平面ABC的夹角即为NSM4,则tanNSM4=——=——,

AMAM

又4W的最小值即为边上的高线，设其长度为〃，则〃=sinNABCxAB=』x2指=若.

2

故当ZSMA最大时，tanASMA为正,即直线S"与平面48C所成的最大角的正切值为巫.

33

故选：B.

多选题

9【答案】:BD

【解析】：/(x+^r)=2(—sinx+|sinx|)-(—cosjf)=2(sinx—|sin%|)-cosx^/(x)，所以A选项错

误.

三)=2、泊工+sin-\cos-=0,

cosx+|cosx|)(-sinx),

⑴(22)2

=2(cosx+|cosx|)sinx=-7—+x

12J

所以fM的图象关于点e,0卜心对称，B选项正确.

2一半+学-=0,/（0）=2（0+0）-1=0,所以C选项错误.

4sinxcosx,2kjr<x<2k兀+TI2sin2x,2k7i<x<2kji+TI

〃力=—<

0,2Avr+<X<2k兀+2万0,2k7i+TT<x<2k4+2乃

所以fW的值域为[-2,2],D选项正确.

故选：BD

10.【答案1BC

【解析】：A：由。>6>c可知4>8>C,且〃+。2=41>36=/,所以A是锐角，故A不能判

断;

B：由AB-BC=-accosB=2a,得cos6<0,则3为钝角，故B能判断;

由正弦定理&==二，得〃+c2—/=_"c，则COSA=—L,A=—,故C能判断;

C：

c+ba+b23

D：由正弦定理，条件等价于siYbsi件C+sin2csin2B=2sinBsinCcos5cosC,

jrT[

则sin6sinC=cos8cosC,即cos(8+C)=0,故B+C=—,则4=—,故D不能判断.

22

故选：BC

11.【答案】：ACD

【解析】：对于A,设P(x,y),则—-1，因为A(—。,0)，4(4,0),

Ia~

yyy2与，由1=3,得e2i+耳=2,故A正确.

所以%邙%-----------~--------

x+4x-ax2-a2a2«Va2

对于B,因为£=2,所以c=2a,根据双曲线的定义可得|PK|—|W|=2a,

又因为尸£，尸招，所以5△叼2=(忙耳卜归用=3,整理得|尸4Hp闾=6.

由电「+归用2=(2C『，可得(|p用_|p用『+2附卜|尸用=4C?,

即44+12=16/,解得。=1,故B错误，

对于C,设P片的中点为。「。为原点.因为。。为△「耳耳的中位线，所以

\OOi\=^\PF2\=^(\PFl\+2a)=^\PF]\+a,则可知以线段P%A4为直径的两个圆外切，故C

正确.

对于D,设尸(气，匕))，则/<-。，为〉°•因为e=2，所以c=2a,b=43a>

则渐近线方程为y=±Gx,所以/尸46ZPF；A2e(0,^j.

又tan//¥；4=』一=%,tanZPA,/^=——比一

-x0+cx0+2ax0-a

2%

-2)，o(%-叽_2片(/_4)

所以tan2ZPA2F,=—卢j

l-\^-

<xo—a,7

=_电二=tanNP耳为

22x-a

（x0-a）-3a\^-l\（°）-3（片-/）x0+2a,

"）

因为2NP4耳w（0,1），所以NP耳4=2NP4耳，故D正确.

故选：ACD

12.【答案1ABD

【解析】：选项A：由CZM48可证C"平面4?G，

则点E到平面48cl的距离为定值，又底面ABC；的面积为定值，

故三棱锥E-A3G的体积为定值，

由等体积法可判断三棱锥B-AEG的体积为定值，则选项A正确；

选项B：将侧面。CGA翻折到与底面ABCO同一平面，得矩形。（匕口，

连接AG，与CD交于点E,即为周长最小时的E点，则选项B正确；

选项C：连接3£）,在底面ABC。内过点A作AE_L3£）,交CO于点E,

又由长方体可知DD]±平面ABCD,则DDt1AE,

由。。IBD=D可证得AE±平面BDD,,则BD11AE

连接BQ,由AB=AR可知四边形ABG2是正方形，则8"_L40,

因AEIAG=A,则BDt±平面AEC「选项C错误；

选项D：当CE>£>£时，在棱上取点F,使A/=CE,

连接C,F,AF,则可证得四边形AEC,F为平行四边形.

过点F作FM的R,交棱C.D,于点M,

则四边形为平行四边形，

又过点M作MN/DD],交CE于点N,

连接FN,再过点N作NG/DM,交DD1于点G,

则四边形D[GNM也为平行四边形，GN@、M,则RF^GN,

连接A,G,则四边形AFNG为平行四边形，A、G作N.

因40仁平面AEG，FNu平面AEG，则选项D正确.

故选:ABD.

二.填空题

13.【答案14

【解析】：由题意,a；=%8n(4+8)~=(q+4)(q+14)=»4=4.

故答案为：4.

14.【答案】：乙

【解析】：在①中，甲同学的5个数据的中位数为125,总体均值为128,

可以找到很多反例，如118,119,125,128,150,故甲同学的数学成绩不一定优秀；

在②中，乙同学的5个数据的中位数为127,众数为121,

所以前三个数为121,121,127,则后两个数肯定大于127,故乙同学的数学成绩一定优秀；

在③中，丙同学的5个数据的众数为125,极差为10,总体均值为125,最大值与最小值的差为

10,若最大值为129,则最小值为119.即119,125,125,127,129,故丙同学的数学成绩不一定

优秀.

综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙.

故答案为：乙.

15.【答案】：

2

h

【解析工直线4〃的方程为丁=或(4+。)，直线4〃的方程为y=4(x-a),

h/、

V-----(X+Q),Q

当印』」普，

联立2；得^=丫22..

v1

y=——-(%-«),4a-+"9।929

.b

2

.4a2〃8b,21b

2

4/+/9Va

故答案为：2±.

2

16.【答案】：2'i（1W〃W9,〃为奇数）.

【解析】：当〃为奇数时，n-1为偶数，〃一2为奇数,

则4=2%+2=2（2。吁2-1）+2=4%，

故数列｛为｝的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，

n+\

.•.a“=lx4^=2'i（lW〃W9,〃为奇数），

故解下为奇数）个环所需的最少移动次数为2”T（1W〃W9,n为奇数）.

故答案为：2'一（1W〃W9,〃为奇数）.

17【答案】：

（1）详见解析；

g0,e3〃+2+（-2）""

"39

【解析】：

【小问1详解】

选择①，由2%用+%+2,可得%=2%-％，

.•.数列｛4｝是以2为首项，以-2为公比的等比数列；

选择②，•”“=2%+怎+],2a“=a”+|+a,+2，

々+厂"=4+1+%+2-（24+。"+1）=%+。“+2-勿“=。，又瓦=2q+a2=1

数列｛/U是等差数列.

【小问2详解】

1H

由上可知4,一%+1=2x（-2）"=-（-2）,即an+x-an=（一2）"，

二4=q+（%_«!）+（%-6）++（4-4-1）

3〃+2+(-2)田

9

18【答案】:

（2）最大值为6#，此时6=二

6

【解析】：

【小问1详解】

sin2A-sin2B-sin2C+sinBsinC=O>

由正弦定理知，a2-b2-c2+bc=O>

由余弦定理知，cosA="+’-----=-^-=—,0<A<^,,A=—•

2bc2bc23

【小问2详解】

由(1)以及b=c,得4ABe是等边三角形.

设ZADC=6(0<。<)),DA=3,DC=G,则SAW=4xbx3xsin。=^sin。.

22

余弦定理可得：AC?=12—6GCOS，，

则SAg=gxACx曰AC=$AC2=亨(12—6Gcos6)=3G—gcose.

故四边形ABCD面积S=更sin。？cos夕+3g=3&sin(0-四］+3g.

22k3J

­：o<0<7T,—,

333

.••当=时，s取得最大值为66,

故平面四边形ABC。面积的最大值为66，此时6=会.

6

19【答案】：

(1)9=4.26xe"4"

(2)(i)—<x<—；(ii)答案见解析

44

【解析】：

【小问1详解】

解：由丁=。/",两边同时取自然对数得lny=ln(a・*)=lna+初，

设v=lny,可得u=lna+4,

_7

因为7=4,v=3.25,Z"=140,

/=1

7__

所以％手、/v.一—7/v」。3.6。-7x4x3.25=吆=0.45,

£”布)2140-7x4-28

;=|

又由lna=v-^F=3.25-0.45x4=1.45，解得。=4.26，

即》关于/的回归方程为5=4.26x尹叫

【小问2详解】

解：(i)当实施禁渔令以后，C=0,要使得鱼群数量增加，

.sinx4-cosx„皿03兀7乃

贝n(Iljb=----------——>0,^—<x<—,

e44

33

(ii)根据题意知。=右-1=-j

、几-r*、sinx+cosx3mil,,,、2sinx

设函数/(幻=-----T------,贝ljf(x)=——,

e4e

令/'(x)=0,可得x=万，

当xe(0,%)时，/'(%)>0；当xe(肛2%)时，f\x)<0,

所以当x="时，/(兀)取得最大值±—=<0.

e4

此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少，因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.

20【答案】：

(1)证明见解析

7

【解析工

【小问1详解】

证明：•.•平面46切，平面％9,平面48Gm平面故＞=切，ADc.ABCD,ADVDC,

：.ADL平面PCD,'：PCu平面PCD,

J.ADLPC^

【小问2详解】

在平面板内过点〃作）DC,交PC于〃，由（I）知，平面如GI）他平面PDC,

C.ADLDH,：.AD,CD,力/两两垂直，

以〃为原点，DA,DC,以所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则0（0,0,0）,P（（）,-1,V3）,A（2,0,0）,5（2,1,0）,C（0,2,0）,

平面ABCD,

二平面四切的一个法向量为〃=（0,0,1）,又P4=（2,l,—石），PB=（2,2,-V3）,设平面为6的

一个法向量为机=（x,y,z），

m-PA=2x-^y-VJz=0

由＜取z=2,则m=(G,0,2),

m•PB=2x+2y-V3z=0

/\n-m22V7

，

AC°S\n,77==-7_,由题意可知，二面角尸-为锐角,

二面角46-C的余弦值为25;

7

21【答案】：

22

⑴—；

43

（2）证明见解析.

【解析1

【小问1详解】

c_1

a2a=2

22

解：由题意得＜2)=2内，解得所以，椭圆E的标准方程为土+二=1.

43

CT=/+dc=1

【小问2详解】

解：由(1)知，双曲线方程为三-2=1.

43

设。伍,％),则3片—4巾=12,则第=.(片一4),

2Q

因为A(-2,0)、5(2,0),所以即/即小〜^-^二毕二二]

x0+2X0-2X0-44

设直线R4的方程为y=