2023年高考数学理一轮复习教学案第4章4-2同角三角函数基本关系式及诱导公式

4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式

【考试要求】

1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2a=l,曰氏=tanα.

2.掌握诱导公式，并会简单应用.

【知识梳理】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：si∏2τ+cos%=1.

(2)商数关系：~^^=tan(rzfα≠τ+⅛π,⅛∈z∖

ɑosCtX

2.三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

ππ,

角2⅛π+cc(fc∈Z)π+ct—aπ-a2-a2+ot

正弦sina一sina一sinasinaCOSaCoSa

余弦cosa一cosaCoSa一cosaSina一sina

予

正切tanatana~tana一tana

口诀奇变偶不变，符号看象限

【常用结论】

同角三角函数的基本关系式的常见变形

sin2a=1—cos2«=(1÷cosa)(l—cosct)；

cos2α=1—sin2a=(I+sina)(1—sina)；

(sina+cosa)2=l±2sinacosa.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打''J"或“X”)

(1)若a,夕为锐角，则Sin%+cos?夕=1.(X)

Sina

(2)若a∈R,则tana=2------恒成立.(×)

(3)sin(7τ+a)=-sina成立的条件是a为锐角∙(×)

(4)若Sin(T-a)=；,则cosa=­1.(√)

【教材题改编】

I.已知a是第二象限角，sina=乎，则COSa的值为

2√5

答案

5

解析Vsin«=5»［是第二象限角，

.∙.cosa=-√1-Sin2a=一唔

2.已知普亲*•=—5,那么tana的值为________.

3sιna÷5cosa

答案-ft

SinCI—9cnςCl

解析由T区差区—-5,知COSar0,等式左边分子、分母同时除以CoSa,

3smQ十5cosa

__.tana—2L&23

可/付s荻K=-5,解付tana=一记.

3.∙sin(tt—π)∙cos(2π—。)的结果为

答案一sida

角窣析原式=］：:'(—sinG>COSa

Sin%.

题型一同角三角函数基本关系

例1(1)己知cosa=一专，则ɪɜsina÷5tana=.

答案0

角翠析Vcosa=—^<0且COSa≠—1,

・・・。是第二或第三象限角.

①若a是第二象限角，

13×∣∣+5×(-y)=0.

此时13Sina+5tana=

②若a是第三象限角,

12

13,

_12

sina1312

cosa55

~^Γ3

此时，13Sin<x÷5tana=13X(—^βJ+5X"^^=0.

综上，13Sinα+5tanQ=0.

(2)已知tana=g,则"n"∙<°s"=.si/a+sinctcosa+2=

2SIna十CoSa---------

答案-IT

解析已知tanα=1,

rSiriα-3cosaIana-35

sinα+cosatana+13,

sin2α÷sinacos1+2

sirPa+sinαcosɑ`

sin2ct÷cos2a

tan%+tana

2

tan2ɑ÷1

7

(3)已知sin/9+cos。=记，^≡(0,π),则tanθ=.

12

答案-⅛

760

解析由sin0÷cos。=行,得sin<9cos。=一^

因为8∈(0,π),所以Sin分O,cosθ<0,

所以sin0—cosθ=y∣1—2Sin6cos==近，

sin9+cos0=E，

解得

sin。—cos。=，

所以tan，=-5.

【教师备选】

1.(2022•平顶山联考)已知普士至丝2=5,则cos2α+Jsin2ɑ等于()

3cosɑ-sinaZ

-33

AqB∙-5

C.-3D.3

答案A

AnLLsina+3cosaEtana+3

解析由1^--------=5,得「一=5,

3cosa-sinα3—tana

可得tanα=2,

则cos2α÷^sin2α=cos2ot÷sinacosa

cos2α+sinacosa1+tanα

cos2cc+sin2a1+tan2a

=3

=亍

∣2

2.若αW(0,π),sin(π-α)÷cosα=ɜ,则Sina—cosα的值为()

答案C

解析由诱导公式得

.,,,,,也

SIn(TI-Q)十COSQ=SlnQ十COSa二ɜ,

所以(Sinα+cosa)2=1+2sinacosa=§,

7

贝IJ2sinacosa=—ξ<0,

因为α∈(0,π),所以Sina>0,

所以cos6(<0,所以sina—cosa>0,

因为(Sina—cosa)2=1—2sinctcos

4

所以sina—cosɑɪɜ.

思维升华(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于Sina+cosa,sinacosa9sin«—cosa

这三个式子，利用(Sina÷cosa)2=l÷2sinacosa,可以知一求二.

(2)注意公式逆用及变形应用：1=sin2a+cos2α,sin2a=1—cos2a,cos⅛=1—sin⅛.

跟踪训练I（1）（2021・新高考全国I）若tan。-2,则需iJ等于（）

6226

----C-D-

A.5B.555

答案C

解析方法一因为tan。=-2,

所以角。的终边在第二或第四象限,

sin，

所以j1或

2-忑

斤Sin。(1+sin2Θ)SinO(Sin8+cosOy

sin9+cosθsin9+cosθ

=sin/sin0+cosθ)

=Sin2。+sin0cosθ

_4_2_2

=5-5=5-

方法二(弦化切法)因为tan。=—2,

Sin8(1+Sin2。)

所以Sine+cos0

SinQsin夕+cos史

sin0÷cosθ

=sin6(sin9+cosθ)

Sin汨+Silr6cosΘ

Sin2。+CoS2。

_taMe+tan0_4-2_2

=l+tan20=T+4=5,

(2)已知α是三角形的内角，且tana=—g,则Sina+cosa的值为

答案-邛

解析由tana=—g,得Sina=-geosa,

将其代入sin2a+cos2a=1,得与COS2Q=1,

9

所以cos2ct=Yð，易知CoSa<0,

济N对也.遮

所以COSa=­ɪθ,sina=ɪɑ,

故Sina+cosα=一邛.

题型二诱导公式

例2⑴已知sin（α-：）=；,则CoSe+α）的值为（

)

人萼B.—平

c3d--3

答案D

解析COSe+α）=CoS

=-sin（α-ξ）=-∣.

延伸探究本例⑴改为已知。是第二象限角，且SinM+：）=*则tan（。一：）

3

答案I

解析∙.∙e是第二象限角，且Sin（j+*,,

∙∙.e+:为第二象限角，

.,.cos(6+：)=一|,

/、Sin(8一日)

π

•.・ta(nngl/=I匕4π√∖

COSu-IJ

sin[(呜)号

CoSj(O+泊-

5

tan(π-α)cos(2π­ɑ)sinl~~a

(2)_3(_0_心皿_兀_团的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

答案B

—tana∙cosα∙(-cosa)

解析原式=

cos(π+«)•[—sin(π+α)J

tani∙cos2(¾

—cosɑ-sina

SinaCOSa

cosasina

【备选】

1.已知函数4x）="L2+2（a>0且a#l）的图象过定点尸，且角α的始边与X轴的正半轴重合,

α)Sin0+α)+Sin2a

cos∣

终边过点P，则一于（)

COS(T+ttJsɪn(-π-α)

22

ʌ-ɜβ∙-3

「33

C，2D.—2

答案B

解析易知函数./U）=OVP+2（α>0且QWl）的图象过定点P（2,3）,

故tanα=∣,

(华-Jsin仔+α)+sin2a

cos∣

则一

Cc>s0+ccjsin(-π-a)

÷sin2a

一sinαcosα+2sinαcos-

—sin«sina

COSa

sina

__1__2

tana3*

2.若sin%=3sin(χ-则cos*cosQ+§等于()

A33

ʌ-ɪob∙-io

3

D.

c∙∣4

答案A

解析易知SinX=-3COSjG

所以IanX=-3,

所以cosXCOSG+为

—sinxcosX

=FinXc。SX=Sin人+cosA

-tanX__3

tan2x÷110,

思维升华(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

(2)诱导公式的应用步骤

任意负角的三南函数利用茎公毛任意正角的三角函数刊用承导公式二0~2π内的南的三南函数

二双一

利用诱导公式三

锐角三角函数.

或四或五或六

跟踪训练2⑴已知cos(75t5+α)=/求COS(Io5t5-a)+sin(15tj-α)=,

答案0

解析因为(105。-α)+(750+α)=18(Γ,

(15°—α)+(α+75°)=90°,

所以cos(105o-α)=cos[1800-(75o+Ct)]

=­cos(75o+ct)

=一7

sin(15o-α)=sin[90o-(α+75o)]

=cos(75o+α)=∣.

所以cos(105o-α)+sin(15o-a)=—2+^=0.

Sin(―3π+a)+cos(a-π)

(2)(2022・盐城南阳中学月考)设tan(5π+ct)=2,则,

(Q-^^π)+Sin软+a)

Cosl

答案3

解析由已知tan(5π÷α)=tanα=2,

Sin(-3兀+α)+CoS(α一π)

，U、

COSl

sin(兀+α)+cos(兀一α)

α+?+Sinπe+0

COS,2

—sina-cosa

—sin÷cosa

sintt+cosa

sina-cosa

tana+1

tana—\ɜ'

题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

sin(α—3兀)cos(2τι—α)sin∣~a

例3已知人㈤=

cos(一兀一α)sin(~π~d)

⑴化简加）;

31π

右求人幻的值;

(2)a=3，

cos(-α-∣3π~

⑶若=5'a∈兀，~2_，求1α）的值.

sin(α—3π)cos(2π—α)sin∣—«

解dW=cos(—π-α)sin(-π-«)

-sinα><cosa><(-cosα)

—cos<z×sina

=­cosa.

31π

⑵若Q

3,

则述0:）=_以出（一半）

π

=­cos

32,

(3)由cos^-ct-^)=∣,

可得sina=—

5,

因为α∈[π,y^∣,

2√6

所以cosa

5,

所以j(a)=—cosa=^^^.

【备选】

2sin(π+α)cos(π~a)~cos(π+a).一八、

设式α)=------------------访―ʌ-------而―T(l+2smct≠O).

1+sin2α+cos(ɪ+ct)—sin2lɪ÷«)

⑴化简∕α);

(2)若。=一等23π，求大㈤的值.

(一2Sina)∙(-cosa)-(-cosα)

a1+sin2α+sina-cos2ct

2sinacosa+cosa

2sin2ct÷sina

Cc)Sa(2sina+1)

sina(2sina+1)

cosa1

sinatana

(2)当α=一答时,

Ka)=J(T卜

(23πλ

tanr^τJ

_1

tan(-4π+季

ɪɪvɜ,

tan6当

思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间

的联系，灵活使用公式进行变形.

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.

跟踪训练3(1)(2022・聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π—α)-3cos∣S+力+5=0,tan(τc+a)

+6sin(π+∙)-1=0,则sina的值是()

A妪h/Z「皿l

A.5mR7JIOnu∙3

答案C

3sin4一2tana÷5=0,

解析由已知得，

tan«—6sinβ-1=0.

消去SinA得tanα=3,

.*.sina=3cosa,代入sin2α÷cos2a=1,

93∕Tθ

化简得si/ɑ=而，则Sina=rλð一(ɑ为锐角).

,sin2r+2sin*∙χ

(2)已知一π<x<O,sin(π÷x)-cosx=—ʒ,则1tLtanX=

答案-⅜24

解析由已知，得SinX+cosX=上,

两边平方得sin⅛+2sinxcosΛ÷COS2X=^,

整理得2sinXCosX=一焉.

Λ(sinχ-cosx)2=1—2sinXCoS工=芯，

由-π<%<0知,sinx<0,

r.12八

又sinXCosX=—石<0,

cosx>0,.∖sinχ-cosΛ<0,

故sinχ-cosx=-7.

.SiS2x+2Sin2χ2sisn(cosx+sisx)

,e1—tanx.ɪsinx

COSX

2sinXCOSMCoSx+sinx)

cosχ-sinx

-24χl

25524

-7-Γ75∙

5

课时精练

1.CoS（一号θ等于（）

1

AB

√3一

.2∙一2

1

√23

C_D

2

C

宵

案

解

析/

(--COS

COS\19π3193

=COS(6兀+W匹—L

3=2,

2.若CoSI65°=。，贝Utan1950等于（）

RylLa2

Ay1一序D.

a

a

D.

7]一屋

答案C

解析若cos165。=〃，

则cos150=COS（1800-1650）

=­cos165°=—α

sin15O=Λ∕1-«2,

所以tan195o=tan（180o+l5o）

Sin15。√l-tz2

=tan15°=,

cos15°a

3.若CoS（a-^）=得，则Sin借一a）等于（）

512

A∙ɪɜd∙13

C星

e,13D13

答案D

7itππ

解析因为一

15a+L52,

所以普一a=；一

所以sin

4.（2022•天津西青区模拟）已知SinQ+cosa=-g,贝IJtana+9《等于（）

A.2B.^C.~2D.一；

答案A

解析由已知得1÷2sinGCOSa=2,

Λsinacosa=∣,

SinaCOSa

.*.tana

cosasina

sin⅛÷cos⅛1

=----------------=-=2

sinacosaɪ^

2

5.在AABC中，下列结论不正确的是（）

A.Sin（A+8）=SinC

.B+CA

B.sin-2-=CoSg

C.tan(A÷B)=-tanc(c≠S

D.cos(Λ+B)=cosC

答案D

解析在AABC中，有A+8+C=兀,

则Sin(A+3)=sin(7Γ-C)=sinC9A正确.

B+C(πA∖A

sin-ʒ-=sin(1-5J=cos5,B正确.

tan(A+θ)=tan(π-Q=—tanC正确.

COS(A+5)=CoS(π-C)=-cosC9D错误.

6.已知a£(0,π),且Sina+cosα=/给出下列结论:

Φ^<α<π;

12

②Sinacosa——病

③COSa=|；

@cos«—sina=--^.

其中所有正确结论的序号是（)

A.①②®B.②®@

C.①②③D.①③④

答案A

解析Vsinɑ+cosa=g,

等式两边平方得

1

(sina+cosQ)2=1+2sinacos«=25,

12

解得sinacosa=-故②正确;

12

Vα∈(0,π),SinaCoSa=-石<0,

・・αe(2，兀),

.*.cosα<0,故①正确，③错误;

cosa—sina<0,

且(COSa-sina)2=1-2sinacosa

49

=l-2×

(导25,

7

解得cosa—sina=—ʒ,故④正确.

7.coslo+cos2o+cos3oH------Fcos177o÷cos178o+cos179°=.

答案O

解析因为CoS(180。-Ct)=-CoSa,于是得

cosl°÷cos2o÷cos3oH------Fcos89o÷cos90o+cos91oH------Fcos177o÷cos178°÷cos179°

=CoSlo÷cos2o÷cos3o÷∙∙∙÷cos890÷cos90o-cos89o-cos3o-cos2o-cosI0

22

,r.八2cos0+sin0+cosθ~3

解析.型)=2+2c。S

co/e+cos6—2

2cos20÷cosθ+29

又COS手

π1

=cos2=2»

ll-

4+225

-

1.1,0≈^12∙

2+2+2

9.(1)已知cosa是方程3x2—%—2=0的根，且a是第三象限角求

(-a+ɪ)eos^ɪ+a^tan2(π一«)

sinl

的值.

2

解∖∙方程3x2-x-2=0的根为XI=1,Xi=—ɜ,

由题知Ce)Sa=—ɜ,

..亚+亚

..sιna——ɜ,tana—∙

.-4—cosasinatan』。

•∙原.

—sinacosa

25

=tan2α=^.

7

(2)已知sinx÷cosx=—y^(0<x<π),求COSX—2Sin尤的值.

7

角星,**sinx+cosx=一石(O<x<π),

/.cosx<0,sinx>0,即Sinx—cosx>0,

7

把sinx÷cosx=—jʒ,

49

两边平方得1+2SinXCoSX=

-.120

即pjπ2sιnxcosx=~~~∖βgy

・/.ɔ.289

..(sinχ-cosxλr2=1_2sιnxcosX=Y

PJn.17

即sinχ-cosx=y^,

sinx+cosx=—丘

17

sinx—cosx=丘

日∙512

解付SInX=百，cosx=-ɪɜ,

22

/.cosχ-2sinx=—

10.(2022•衡水模拟)已知角a的终边经过点P(3m,—6m)(w≠0).

sin(α+π)+cos(α-π)

⑴求(ɪnʌ(叫的值；

SIn(G(十N十2cos(α-5)

⑵若a是第二象限角，求sin{α+义θ+sin(兀一α)∙cosa—cos(]+α)的值.

解(I)YmHO,Λcosa≠0,

即sin(a+ττ)+cos(a-7τ)

sin(a+§+2COS

—sina-cosa

cosa÷2sina

—tana-1

1÷2tana'

又丁角a的终边经过点P(3m,-6∕n)(∕n≠0)f

—67n

tana=3〃？=一2,

sin（α+兀）+cos（α一兀）

故∙

sin(α+'

—tang—1

1+2tana

2-1__J

=l+2X(-2)="-3,

(2)・；a是第二象限角，

—6tn

则sina=

7(3/)2+(—6〃?)2

—&n

3√5lwl

2√5

5，

3m

cosC=/-----C丁

y∣(3m)12+(­6〃?)2

3m

-3√5∣∕n∣

=_亚

5，

.`si/(ɑ+:)÷sin(π-α)cosa—cos^÷α

=cos2α÷sinctcos«+sina

=(T)2+芈X(弋+芈

_一1+2小

5.

11.已知角a满足sinα∙cosa≠0,则表达式吗乎^+嘤工㈣伏《Z）的取值可能为（）

θliɪ（ALUb（A

A.-2或0B.-1或1

C.2或一2D.-2或2或0

答案C

—sinCLa

解析当火为奇数时，原式=肃9=(-1)+(-1)=-2;

cosa

COSa

当％为偶数时，原式=需1+1=2.

cosa

・・・原表达式的取值可能为-2或2.

12.（2022•河北六校联考）若Sina是方程5x2—3*77Λ-6=0的根,则

3π

等于()

Cosllsin(π÷α)

-3「5>5

A.gB.QC.gDa

答案B

解析方程5Λ2-7χ-6=0的两根为

3E3

Xi=-ʒ,%2=2,则Sina=一亍

卡COSa(-cosα)taι⅛15

sina(-sin«)(—sin«)sina3,

13.曲线尸。叶/一∙∣χ在X=O处的切线的倾斜角为«,则sin(2a+§=

4

答案5

2

解析由题意得y'=fα）=ev+2χ-亨

21

所以/(°)=e°_]=,

所以tan«=1,

所以α∈(θ,

3

所以