2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用（附答案解析）

2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•湖北期中）若/（x）=ex∙bιx,则/（x）的切线的倾斜角α满足（）

A.一定为锐角B.一定为钝角C.可能为直角D.可能为0°

2.（2021秋•运城期末）已知f(x)=sin则/(X)=()

A.cos%B.-cosxC.sinxD.-sirυc

3.（2021秋•新化县期末）若函数∕G）,g（X）满足/（x）+xg（x）=x2-1,且/(1)

则/（1）+g,（1）=（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2021秋•怀仁市校级期末）已知/（x）=CoS2x+e汽则/（χ）=()

A.-2sin2x+2e2τB.sin2x+e2γ

C.2sin2x+2e2vD.-sin2%÷βlv

5.（2021春•番禺区校级期中）函数y=cos（l+x2）的导数是（)

A.2xsin(l÷x2)B.-sin(l÷x2)

C.-2XSin(l+x2)D.2cos(l+x2)

6.（2020•南充模拟）设α∈R,函数/（x）=炉+〃・/”的导函数是/（x）,且，（x）是奇

函数.若曲线y=/（%）的一条切线的斜率是3,则切点的横坐标为（）

2

A.In2B.-ln2C.ln2D.~ln2

22

7.（2019春•南开区校级期中）下列式子不正确的是（）

A.（3X2+COSX）,=6;V-SinX

B.Clnx-2x）'=l--2x∣n2

X

C.（2sin2x）'=2cos2r

D（sinx）,=XCoSX-SinX

xXX2

8.（2015春•郑州期末）若函数/（x）=/sin2x+sinx，则，G）是（）

A.仅有最小值的奇函数

B.仅有最大值的偶函数

C.既有最大值又有最小值的偶函数

第1页（共12页）

D.非奇非偶函数

二.填空题(共4小题)

9.(2021秋•三明期末)函数/(x)=x∕"x的导函数/(x)=.

10.(2021秋•红桥区期末)函数/(x)=ax3+3x2+2,若，(-1)=6,则a的值等于

11.(2021秋•泾阳县期中)若函数f(χ)=_ɪ—,则f，(工)=.

12.(2021春•运城期中)已知函数/(x)=e2xM(0)In(x+2),则/(0)=

三.解答题(共4小题)

13.(2021春•武功县期中)求下列函数的导数.

(1)y=3χ2+χcos;

⑵y^Vχ-sin^∣^cos^^+ex'

14.(2021春•金台区期中)求下列函数的导函数：

(1)y=excosx-r2(f为常数)：

(2)y=l∏(4X+5)*.

X

15.(2021•海原县校级二模)设/(x)=Inx,g(x)=/(x)+fl(x).

(1)求g(X)的单调区间和最小值；

(2)讨论g(X)与g(ɪ)的大小关系.

X

16.(2020春•河南期末)已知函数/(x)—sinx+cosXj

Sinx-Cosx

(I)若/(x)=3,求tanx；

(H)证明：/(X)=—2——

sin2x-l

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2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.(2021秋•湖北期中)若/(x)=ex∙bvc,则/(x)的切线的倾斜角α满足()

A.一定为锐角B.一定为钝角C.可能为直角D.可能为0°

【考点】导数及其几何意义.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数(部分函数)，由导数确定单调

性极值后得正负，从而得出结论.

【解答】解：:/CO=∕∙∕NX,(X>O)

•ʌ//X_x,ex_ex(xlnx+l)

∙∙f(X)=e1Inx+—=------------------,

XX

设g(X)=XbvC+1,则g'(x)=历工+1,

当OVXV工时，g,(x)<0,g(x)递减，当寸，g,(x)>0,g(x)递增，

ee

而g(∙i)=—∣rr^+∣=ɪ-ɪ>Q,所以x>0时∙，g(x)》gd)〉0,所以，(X)

eeeee

>0,

切线斜率均为正数，倾斜角为锐角.

故选：A.

【点评】切线的斜率等于导数在该点的值，求倾斜角的范围就是求切线斜率的范围，属

于基础题.

2.(2021秋•运城期末)已知f(χ)=sin4-X)，则，(X)=()

A.CosxB.-CoSXC.SinXD.-SinX

【考点】导数的运算.

【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算.

【分析】先化简/(X),然后由常见函数的求导公式求解即可.

【解答】解：因为f(X)=sin—X)=cosx,

则，(x)=-sinx.

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故选：D.

【点评】本题考查了导数的运算，三角函数诱导公式的理解与应用，要掌握常见函数的

求导公式，属于基础题.

3.(2021秋•新化县期末)若函数/(x),g(x)满足/(x)+xg(x)-X2-1,且/⑴=1,

则/⑴+g'⑴=()

A.1B.2C.3D.4

【考点】导数的运算.

【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用：数学运算.

【分析】根据f(l)=1即可求出g(1)=-1,然后对函数/(x)+xg(x)=χ2-1求

导即可得出，(x)+g(x)+xg'(x)=2x,然后即可求出/⑴+g'⑴的值.

【解答】解：：/(1)=1,.V(I)+g(1)=0,g(1)=-1,

V/(x)+xg(x)-X2-1.:.f(X)+g(x)+xg'(X)—2x,

：.f(1)+g(1)+g,(1)=2,

：.f(1)+g'⑴=2-(-1)=3.

故选：C.

【点评】本题考查了已知函数求值的方法，基本初等函数和积的导数的求导公式，考查

了计算能力，属于基础题.

4.(2021秋•怀仁市校级期末)已知/(x)=cos2x+e2v,则/(x)=()

A.-2sinZv+2e2xB.sin2x+e2x

C.2sin2x+2e2xD.-Sin2x+e2x

【考点】导数的运算.

【专题】计算题；函数思想；综合法：导数的概念及应用；数学运算.

【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式进行求导即可.

【解答】解：V/(x)=COS2x+e2∙v,

：./(x)=-2sin2x+2e2v.

故选：A.

【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础

题.

5.(2021春•番禺区校级期中)函数y=cos(l+x2)的导数是()

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A.2xsin(l+x2)B.-sin(l+x2)

C.-2xsin(ɪ+x2)D.2cos(l+x2)

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】计算题.

【分析】因为函数y=cos(l+x2)为复合函数，利用复合函数的导数公式求出函数y=cos

(l+x2)的导数.

【解答】解：y'=~sin(l+x2)∙(l+x2)'=-2xsin(1+x2)

故选：C.

【点评】求一个函数的导函数，应该先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法

则及基本初等函数的导数公式进行求值.

6.(2020•南充模拟)设αCR,函数/(x)=/+0*/*的导函数是.广(x),且/(x)是奇

函数.若曲线y=/(X)的一条切线的斜率是∙∣,则切点的横坐标为()

A.InlB.-InlC.1^-D.-In2

22

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】压轴题.

【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数

入手求出切线的方程.

【解答】解：对/(x)=er+α∙e'求导得

/(x)=ex-ae'x

又/(X)是奇函数，故

f(0)=1-a=0

解得a=∖,

故有，(ɪ)="--匕

设切点为(Xo,yo)，

xx

则f'(x0)=e°-e^°^

得e*o=2或/°=-衣(舍去)，

zT导XO=/〃2.

故选：A.

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【点评】熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0,则一定过原

点.

7.（2019春•南开区校级期中）下列式子不正确的是（）

A.(3X2÷COSX)'=6X-SiIIX

x

B.Unχ-2)'=2一2*/"2

X

C.(2sin2x),=2cos2x

D.(sinx)r—xcosx-sinx

2

X

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】计算题.

【分析】观察四个选项，是四个复合函数求导的问题，故依据复合函数求导的法则依次

对四个选项的正误进行判断即可.

【解答】解：由复合函数的求导法则

对于选项Z,(3X2÷COSX)'=6x-SinJV成立，故A正确

对于选项B,（InX-2，'』-2.n2成立，故B正确

X

对于选项C,(2sin2x)'=4cos2x≠2cos2x,故C不正确

对于选项D,(SinX),XCoSX-SinX成立，故。正确

XX2

故选：C.

【点评】本题考查了复合函数的求导法则，求解中要特别注意复合函数的求导法则

（2sin2x）,=2cos2x∙（2x）'=4cos2x,对函数的求导法则要求熟练记忆，本题属于基

础题.

8.（2015春•郑州期末）若函数/（x）—ygi∏2χ+sinx,则/（X）是（）

A.仅有最小值的奇函数

B.仅有最大值的偶函数

C.既有最大值又有最小值的偶函数

D.非奇非偶函数

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】导数的概念及应用.

【分析】先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用

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函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可.

【解答】解：函数./(χ)~-^^sin2x+sinx,

".f(x)=cos2x+cosx=2cos2χ+cosχ-l=2(cosx+~^)2-^-'⅛cosx->f(X)

取得最小值.ɪ;当coax=1时，/(X)取得最大值2.

8

且/(-X)=/(X).即/(X)是既有最大值，又有最小值的偶函数.

故选：C.

【点评】熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函

数的奇偶性是解题的关键.

二.填空题(共4小题)

9.(2021秋•三明期末)函数/(x)=x/〃x的导函数，(x)=2x+l.

【考点】导数的运算.

【专题】计算题；函数思想；定义法；导数的概念及应用.

【分析】根据导数的运算法则计算即可

【解答】解：f(X)=(X)'lnx+x(历X)'-Inx+1,

故答案为：lnx+\

【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题

10.(2021秋•红桥区期末)函数/(x)=ax3+3x2+2,若，(-1)=6,则α的值等于

4.

【考点】导数的运算.

【专题】计算题；导数的概念及应用.

【分析】根据题意，对函数/G)求导可得/(X)=3办2+6x,令X=-I可得/(-1)

=3<∕-6=6,解可得α的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，/(x)-ax3+3x2+2,

f(x)-3ax2+6x,

若/(-1)=6,

则有/'(-1)—3a-6—6,解可得α=4

故答案为：4.

【点评】本题考查导数的计算，关键掌握导数的计算公式.

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2√3

11.(2021秋•泾阳县期中)若函数f(X)=_ɪ—,贝Uf，(—)=—■

ɪ'X'2+cosxɪ'3'~25^

【考点】导数的运算.

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算.

【分析】根据题意，结合导数的运算法则，即可求解.

【解答】解：∙.∙f(x)=~ɪ—,

2+cosx

・・・f，(X)=-力IX2'

(2+cosx)

√3

.Ix.2,2√3

C/'W"-

故答案为：2√3

25

【点评】本题主要考查导数的运算法则，考查计算能力，属于基础题.

12.(2021春•运城期中)已知函数/(x)=e2x+f(0)In(x+2),则，(0)=4.

【考点】导数的运算.

【专题】计算题；方程思想；演绎法；导数的概念及应用；数学运算.

【分析】求出/(x),令x=0,列方程求解.

【解答】解：/(x)=2e%"(；),令x=0,得/(0)=2+1『),解得/(0)

=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查导数的公式，属于基础题.

三.解答题(共4小题)

13.(2021春•武功县期中)求下列函数的导数.

(1)y=3x2+xcosx;

(2)y=Vx-si∏^∣^cos^^+eX;

【考点】导数的运算.

【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算.

【分析】根据求导法则直接求导.

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【解答】解：(l)y'=(3X2),+(xco&r),=6x+x,cosx+x(cosx)'=6x+cosx-xsinx；

(2)"Y^Vx蒋SinX+ex,

_]]-X.

∙∙yFHCOSX-巳'

••_125_1_-2L-3

(3)・y=-一2^+~T=X^2x+5X,

xX'X,

=-X'2-2×(-2)X*3+5×(-3)x^4=

234

XXX

【点评】本题考查求导，先化简再求导，属于基础题.

14.(2021春•金台区期中)求下列函数的导函数:

(1)y=excosx-t2(E为常数)；

(2)y=ln(4x÷5)°÷ɪɪɪX,

X

【考点】导数的运算.

【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算.

【分析】直接利用常见函数的导数公式，四则运算的导数公式，复合函数的求导公式求

解即可.

【解答】解：(1)y'=excosx-exsixυc=ex(CoSX-Sinx)；

12I-Inx

(2)y=------十一—.

4x+5X2

【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数公式，四则运算的导数公

式，复合函数的求导公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.

15.(2021•海原县校级二模)设/(x)=Inx,g(x)=/(x)+f(X).

(1)求g(x)的单调区间和最小值；

(2)讨论g(x)与g(ɪ)的大小关系.

X

【考点】导数的运算.

【专题】导数的综合应用.

【分析】(1)利用导数研究函数g(x)的单调性极值最值即可得出.

(2)令/;(x)=g(x)-g(-L)=2∕"x+~k-X(x>0).UJ得h'(x)=—(X1)—≤0>

X'X/

函数人(x)在(0,+8)上单调递减.由于/?(1)=0,即可得出大小关系.

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【解答】解：(I)f'(X)=L(X>0).

X

:・g(x)=Inx+-(x>0).

令g'(X)=0,解得X=L

当OVXVl时，g,(χ)<0,函数g(x)单调递减；当IVX时，g,(x)>0,函数g

(%)单调递增.

・・・当x=l时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(1)=1.

综上可得：函数g(x)单调递减区间为(0,1)；函数g(x)单调递增区间为［1,+8),

最小值为1∙

(2)g(x)(X>0),gd^)=-仇x+x.