第八章(第四,五,六节)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页正态分布均值和方差的区间预计我们知道，正态随机变量是最为常见的，异常是无数产品的指标顺从或近似顺从正态分布。因此,我们主要研究正态总体参数的区间预计。先研究均值的区间预计，然后再研究方差的区间预计。这些在实际应用中是很重要的.一：均值的区间预计下面分两种情况举行研究。方差已知，对举行区间预计设总体，其中已知。又为来自于总体的样本。由第七章第三节中的结论可知于是由标准正态分布可知，对于给定的，可以找到一个数，使,,,即,也就是说，落在区间内的概率为。区间,(8.11)即为的置信区间。称为在置信度下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。当＝0.05时，查标准正态分布表得临界值＝1.96，此时的置信区间是当＝0.01时，查标准正态分布表得临界值＝2.58，此时的置信区间是从上可知，越大，则越小,置信区间越小，(精度高,难于办到),落在区间内的控制也就越小。因此，在实际应用中，要适当选取。例1：已知某种滚珠的直径顺从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm）为14.615.114.914.815.215.1试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。解当＝0.05时，,查表得＝1.96,,,于是＝14.95－1.9614.95+1.96故所求置信区间为。对于不是顺从正态分布的总体，只要充足大，则由中央极限定理，随机变量近似地顺从标准正态分布，因此依然可以用作为的置信区间，但此时依然又多了一次误差。方差未知，对举行区间预计上面的研究是在已知的情况下举行的，但实际应用中往往是未知的情况。设为正态总体的一个样本，因为未知，我们用样本方差来代替总体方差，,,,,,按照第七章定理四，统计量.于是，对给定的，查分布表可得临界值，使得,,,即,故得均值的置信区间为,(8.12)当时，查t分布表得临界值＝2.306。因此，在方差未知的情况下，的置信区间是.例2设有某种产品，其长度顺从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件，得样本均值＝9.28（cm），样本标准差＝0.36（cm），试求该产品平均长度的90％置信区间.解：当时，查t分布表得＝，于是＝9.28－1.86,故所求置信区间为〔9.06，9.50〕。例3设灯泡的寿命顺从正态分布，现从一批灯泡中随机地抽取6只，测得寿命的数据（单位：h）为1020,1010,1050,1040,10501030.求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限。解因为总体方差未知，故统计量于是对给定的，查t分布表可得临界值，使得,,即,由此得到的置信度为的单侧置信区间的置信度为的单侧置信下限为.本例中，＝0.95,n=6,=代入得单侧置信下限为＝.实际应用例4:收获前如何预测水稻总产量问题问题：某县多年来向来种植某种水稻品种并沿用传统的耕作主意，平均亩产600千克，今年换了新的稻种，耕作主意也作了一些改进，收获前，为了预测产量高低，先抽查了具有一定代表性的30亩水稻的产量，平均亩产642.5千克，标准差为160千克，如何估算总产量。解：因为总产量是随机变量，因此最有参考价值的是估算出总产量在某一个范围内，因而这是一个区间预计问题，设水稻亩产量X为一随机变量，因为它受众多随机因素的影响，我们可设它顺从正态分布，即X~N。只要算出水稻平均亩产量的置信区间，则下限与种植面积的乘积就是对总产量最保守的预计，而上限与种植面积的乘积则是对总产量最积极的预计。按照正态分布关于均值的区间预计，在方差未知时，的置信度为95%的置信区间为(，其中为样本标准差。在例中，n=30,，将这些数据代入，有=642.5因此得到的95%的置信区间为(582.25,699.75)。置信下限约为585.25千克/亩，小于以往的常数――总体均值600千克/亩，置信上限约为700千克/亩，则大于以往总体均值600千克/亩，由此得出的结论是：今年的产量未必比往年高。最保守的预计为亩产585.25千克，比往年略低；最积极的预计为亩产可达到700千克，比往年高出100千克。因上、下限差距太大，这将不能做出确切的预测，要解决这个问题，可在抽查70亩，前后共抽样100亩，设平均亩产量与标准差不变，即,n=100，则的置信度为95%的置信区间为31.4，即(611.1,673.9)。置信下限比往年亩产600千克多11.1千克，这样就可以预测，在很大程度上，今年水稻平均亩产至少比往年要高出11千克。二.方差的区间预计设总体，是来自于总体的样本。现利用样本给出的置信区间。考虑统计量,,由第七章定理三可知，统计量。于是，对给定的，查分布表，可得临界值及,使得,,,,,因此，当总体中的参数为未知的情况下，方差的置信区间为,(8.13)注重这里选取的临界值,不是唯一的。例如可以选取等等。顺便指出，的置信区间是,(8.14)例3：某自动车床生产的零件，其长度X顺从正态分布，现抽取16个零件，测得长度（单位：mm）如下：,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.1312.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06试求的置信度为95%的置信区间。解：经计算可得查分布表得，,,故的置信区间为.第五节二正态总体均值差和方差比的区间预计一：二正态总体均值差的区间预计设和分离来自于正态总体N和N的两自立样本，相应的样本均值和样本方差分离记为和。我们的任务是求的置信区间。下面按总体方差的不同情况分离举行研究。1：方差和都已知由第七章第三节中的结论可知，，于是宛若上节一样研究，可得的置信区间为（8.15）2：方差和都为未知这时，只要m,n充足大，就以分离代替，并用(8.16)作为的近似置信区间。3：方差==且为未知由第七章定理五知，统计量顺从于t(m+n-2)分布。由此可得的置信区间为(8.17)这里假设未知方差=，实际问题是否这样，需要举行检验，这是关于参数假设检验的问题，下一章再举行研究例1：有两台车床A和B同生产一种型号的零件，为了比较这两台车床所生产的零件的直径的均值，随机地抽取A车床生产的零件8个，测得平均直径，标准离差。随机地抽取B车床生产的零件9个，测得平均值，标准离差。按照以往经验可以认为，这两台车床所生产的零件的直径都顺从正态分布，且它们的方差相等，求二总体均值差的95%置信区间。解：由抽样的随机性可推知两样本互相自立，又因它们的总体方差相等，因此由(8.17)式可求得置信区间。在这里，，查t分布表得临界值==2.1311.1380.125=0.303－=15.20－14.82=0.38故所求置信区间是，由此可认为。二：二正态总体方差比的区间预计设二正态总体和，其中参数均为未知。是分离来自于两总体且容量各为m和n的自立样本的方差。考虑统计量因为,所以=~F(m-1,n-1)对于给定的，查F分布表得临界值和，使于是，的置信区间为(8.18)当置信区间的下限大于1时，则；当区间的上限小于1时，则在这里，比较两个方差时，我们采用比的形式，但能否采用差的形式，请读者自己考虑例2设有二正态总体和，其中参数均为未知，随机地从两总体中分离抽取容量为10和15的自立样本，测得样本方差分离为，且二总体方差比的0.95置信区间。解这里，m=10，n=15，查F分布表得==故所求置信区间为。第六节一些易混的问题的研究到此为止，我们已经学会了参数的两种最常见的预计，即点预计和区间预计。那么一定会有学生想到既然都是对未知参数举行近似预计，那么这两种主意究竟哪个更好一些呢？他们的不同又在哪里呢。下面我们就来解决这个问题，也即是如何理解参数的点预计和区间预计所谓参数的点预计，就是利用样本X,X，……X中的信息构造一个统计量＝（X,X，……X）作为的预计量。容易的说，就是利用样本求未知参数的一个“近似值”，而衡量其“近似”程度好坏的标准有无偏性，有效性，一致性等。然而不管是怎么样一个优良的预计量，用去预计也只是一定程度确实切，至于如何反映确切度，参数的点预计就没有回答。也就是说任何一种“近似”若不附加“误差范围”，这种近似是没有价值的。因而用去预计必须按一定的置信度1－（即概率）要求构造某个随机区间（I（），I（）），使该随机区间包含的概率达到1－。其中I（），I（）是的函数。即P（I（）<<I（））=1－随机区间（I（），I（））称为的置信度为1－的置信区间。因为考虑到随机性，普通一个有限的随机区间不可能以置信度1包含，通常我们取置信水平充足小（如5%，1%等），使随机区间（I（），I（））包含的概率充足大。值得注重的是，从统计学中频率学派的观点看，被预计的参数固然未知，但它是一个常数，没有随机性，而区间（I（），I（））则是随机的，因此关系式P（I（）<<I（））=1－可解释为随机区间（I（），I（））以概率1－包含参数的真值，而不能说参数以1－的概率落入随机区间（I（），I（））。衡量一个置信区间优劣的标准则是在给定置信度1－之下，置信区间的长度要尽可能的小。举一个容易的例子，已知样本均值＝是总体均值E(X)的一个无偏的，有效的，一致的点预计量，若进一步假定总体X～N（，），其中已知，则由出发可构造的一个置信度为1－的置信区间为（，），这里为标准正态分布的上侧分位数。在实际应用中，通常我们所具有的资料是样本X,X，……X的一组观测值，由此代入I（）和I（）可得到一个决定的区间，记为（，该区间已非随机区间，它要么包含，要么不包含，二者必居其一。因此我们此时也不能说区间（以概率1－包含的真值，更不能说落在（的概率为1－，那么此时应如何解释区间（呢？从频率的角度我们可给区间（以如下解释：从给定的总体X中重复抽样多次，且各次抽得的样本的容量均为n。对每次抽得的样本观测值，都对应于一个决定的区间（。由伯努里大数定律，当抽样次数充足大时，在这些区间中包含真值的频率临近于置信度1－，即在这些区间中大约有100（1－）％的区间包含真值，100％的区间不包含真值。例如，若给定＝0.05，重复抽样100次所得到的100个区间中，大约有95个包含真值。第七节相信预计前面我们说过从统计学中频率学派的观点看，被预计的参数固然未知，但它是一个常数，没有随机性。也就是说无论是区间预计还是点预计，都是从统计学中的频率学派的观点出发的。而数理统计的奠基人之一费希尔却提出了一个出发点截然不同的预计主意，也就是这一节所提到的相信预计。相信预计法是费希尔在1930年提出的一种区间预计主意。在费希尔对数理统计学的众多贡献中，这一项是争议最大的。费希尔关于相信预计的思想可以通过一个容易的例子来说明。设为抽自正态总体的i.i.d样本，已知，未知。求的区间预计，对此，费希尔的推理如下：记则有分布，解上式得,其中为已知常数；由样本算出，也是已知的；的分布已知，故（在有了样本后）的分布可以求出，在此例中为正态分布。费希尔把的分布叫做的相信分布。如以F记这个分布，找出，使

则事件的“相信概率“为1。费希尔把作为的区间预计，并称之为的相信区间，其“相信系数”为1。本例可取惟独这个取法使最小，得到与置信区间预计相同的结果若未知，则可以用S取代，并利用的事实，一样可以得出的相信区间，也得到与置信区间预计相同的结果费希尔这个做法的清新之处，是把当做随机变量看，有其概率分布，而普通的看法是：是一个固然未知，但是固定的常数，这是一个观念上的分歧，这一点倒不能看做是费希尔主意的致命弱点，因为一种主意或理论，只要没有内在的矛盾，就可当做一家之言提出来，而不必一定与现存理论合拍，但是，费希尔未能对相信分布给出一个明确的定义和决定它的主意，而只能停歇在对个别例子用特定的主意去处理，如何对相信分布运算也缺乏明确的规矩。这些缘故使他的主意未能得到广泛的采纳，后来也有些学者继续在这个方向上作工作，以图解决这些问题，但未能取得实质性的发展。在容易的情况下，利用相信预计法求出的若干区间预计，都与用奈曼的置信区间主意求出的相同，但在较复杂的例子中这二者确有不同。最闻名且有实用价值的例子，是所谓贝伦斯－费希尔（Behrens-Fisher）问题。下面容易推荐一下这个问题。设和分离是抽自正态总体和的i.i.d.样本，，和都未知，，求的区间预计，这即是贝伦斯－费希尔问题。当时，可用t分布求解，但在的情况下，此问题没有适当的小样本解，倘若都很大，可考虑用大样本主意，用正态逼近去求解。此处,分离是X样本和Y样本的样本方差。费希尔用相信预计主意处理这个问题。其做法如下：记,则与自立，分离顺从自由度为和的t分布。于是，有(3-1)有了样本后，都已知，按费希尔的观点，上式给出了的相信分布，可找出d>0，使