2023版高考数学一轮总复习7-3基本不等式及其应用习题

7.3基本不等式及其应用

基础篇固本夯基

考点基本不等式及其应用

1.(2021云南曲靖第二中学二模,3)已知a,b,c∈(0,+8),3a-2b+c=05U4⅛¾()

A.最大值是√5B.最大值是苧

C.最小值是√5D.最小值是苧

答案B

哈尔滨师范大学附属中学期末,已知且则的最小值是

2.(20216)x>0,y>0,5x5y3x+4y

()

A.5B.6e.ɪD≡

55

答案A

3.(2022届江西十七校期中，8)函数f&)中产的值域为()

A.[5,+8)B.[4,+8)

C.(5,+8)D.(4,+8)

答案B

4.(2022届兰州西北师大附中期中，10)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名

的海伦公式,利用三角形的三边长求三角形的面积,若三角形的三边长分别为a,b,c,则其面

积S=y∕p(p-a)(p-t>)(p-c),其中p=∣∙(a+b+c),现有一∙个三角形的边长a,b,C满足a+b=7,c=5,

则此三角形面积的最大值为()

A.17√2lB.粤C.5√6D.”

答案D

5.(2021昆明一中模拟,9)函数y=lnx+L的值域为()

Inτx

A.(-8,-2]B.[2,+8)

C.(-∞,-2]U[2,+∞)D.[-2,2]

答案C

6.（2021兰州诊断，11）己知函数f（x）=∣xVaχ2-bx（a>0,b>0）的一个极值点为1,则ab的最大

o2

值为（）

ʌ-ɪB*C.lD.⅛

答案D

7.（2021四川名校一模,9）设a>O,b>O,a+b=l,则下列选项错误的是（）

A.a∙b2的最小值为T

B.十的取值范围是［9,+8）

C.生铲的最小值为2方

D.若c>l,贝4（等-2）∙c+±的最小值为8

答案C

8.（2018天津，13,5分）己知a,b∈R,且a-3b+6=0,则的最小值为.

答案ɪ

4

9.（2019天津，13,5分）设x>0,y>0,x+2y=5,则比粤工•的最小值为.

答案4√3

10.（2019江苏，10,5分）在平面直角坐标系XOy中，P是曲线y=xf（x>0）上的一个动点，则点

P到直线x+y=O的距离的最小值是.

答案4

11.（2022届黑龙江大庆实验中学月考，15）若函数f（x）满足条件f（x）-4fQ=x（xX0）,则

If（X）I的最小值为.

答案⅛

综合篇知能转换

考法利用基本不等式求最值的方法

i

1.（2021河南六市二模，10）若a,b为正实数,且77+⅛l,则a+b的最小值为（）

2a^ba+2b

24

A.7B,C.2D.4

33

答案B

2

2.（2021山西高考前测试,7）已知a,b,c∈（0,+o°）,且a>4,ab+ac=4,则2+：+，的最小值是

a加Ca+i^-c

（）

A.8B.6C.4D.2

答案A

3.（2022届江西10月大联考，11）已知£•〈ɑ〈B0且

ɑB≠0,2cos（α+B）-cos（α-B）心三■,则tan（α+B）的取值范围是（）

COSP

ʌ.[-√3,0）B.[-γ,θ）

C.（0,√3]D.（0,f]

答案D

4.（2020天津，14,5分）已知a>0,b>0,且ab=l,则;的最小值为.

答案4

5.（2017天津，12,5分）若a,b∈R,ab>O,则四”的最小值为______.

ab

答案4

6.（2020江苏，12,5分）已知5xV+y'=l（x,y∈R）,则x、/的最小值是.

公案2

口>T≈CL

5

7.（2022届兰州西北师大附中期中，15）已知二次不等式ax2+2x+b>0的解集为｛x∣Xr-ɪ）,且

a>b,则注的最小值为________.

a-b

答案2方

8.（2022届河南名校联盟11月月考,16）已知a>0,b≠0,且a+b∣=3,则?+等的最小值

a∖b∖

为.

答案3+2√5

9.（2022届江西新余月考，13）设（XmG若恒成立，则k的最大值为_______.

2ml-2m

答案6+4√2

应用篇知行合一

应用基本不等式在实际问题中的应用

3

1.（2020合肥二模，11I探索创新）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步,股十二

步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了

这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，

每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图

形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形的长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构

造的图形可以得到许多重要的结论.如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接

①由图1和图2面积相等可得d*；

②由ΛE≥ΛF可得，等;

③由ADNAE可得/

④由AD>AF可得a2+b2^2ab.

A.①②③④B.①②④

C.②③④D.①③

答案A

2.（2017江苏，10,5分I生活实践）某公司一年购买某种货物600吨,每次购买X吨,运费为6

万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则X的值

是—.

答案30

3.（2021江西宜春中学、万载中学、樟树中学第一次联考，15I生活实践）为了贯彻落实十九

大提出的“精准扶贫”政策,某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形

式脱贫,假设该厂第一年需投入运营成本3万元,从第二年起每年投入运营成本比上一年增

加2万元,该厂每年可以收入20万元,若该厂n（n∈N*）年后,年平均盈利额达到最大值,则n

等于.（盈利额=总收入-总成本）

4

答案4

4.(2014湖北，16,5分I生活实践情境)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车

流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度V(假设车辆以相同速度

V行驶,单位:米/秒)、平均车长1(单位:米)的值有关,其公式为F-2臂

v^+18v+201

(1)如果不限定车型，1=6.05,则最大车流量为辆/小时；

(2)如果限定车型，1=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.

答案(1)1900(2)100

5.(2022届郑州外国语中学调研二,20I生活实践)某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，

决定种植某种水果,该水果单株产量M(X)(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关

系:M(X)=卜0彳,5。/V匚单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元.已知这种水果的

IE，2(xW5,

市场售价为15元/千克,且销路畅通供不应求,记该水果的单株利润为f(x)(单位:元).

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时,该水果的单株利润最大?最大利润是多少？

解析(1)由题意得f(x)=15M(x)-30x,所以

(15X5(/+3)-30x,0≤X≤2,

f(X)=115X—+25-30x,2<x≤5

Γ75Λ2-30X+225,0WxW2,

(--30x+25,2<x≤5.

I1+Λ∙'

’75(X-T+222,0≤X≤2,

(2)将(1)中f(x)变形得f(x)=l`

805-30层+(l+x)],2<x≤5.

①当0≤x≤2时，f(x)κ=f(2)=465;

②当2<x≤5时,f(x)=805-30居+(1+x)]≤805-30×2(l+x)=505,

当且仅当Al+x,即x=4时等号成立.

因为465<505,所以当x=4时，f(x)%.=505,所以当施用肥料为4千克时,种植该水果的单株利

润最大,为505元.

6.(2022届河南调研，19I生产实践)某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售

量(等于该厂家的年产量)X万件与年促销费用m万元(mZ0)满足关系式x=2.ð-ɪ(k为常数),

5

如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1.5万件.已知生产该产品的固定年投入为10万

元,每生产1万件该产品需要再投入25万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平

均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将该产品的年利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；

(2)该厂家年利润的最大值为多少？

解析⑴由题意可知当m=0时,x=l.5.由L5=2.5-,得k=l,所以x=2.59.

因为每件产品的销售价格为2XW跑元,所以y=2x∙W空T0-25χ-m=25x+10-mf二Vm,即

XX2加1

y关于m的函数表达式为≥o.

ZΛ7÷lm

⑵因为m>0,所以至+m+122I—×(m+1)=10,BP-+m>9,当且仅当a=m+l,即m=4时等号

gNm4研1ΛT÷I

成立，所以y≤-y-9=63.5,所以y„=63.5.

故当该厂家投入的年促销费用为4万元时,年利润最大,且最大值为63.5万元.

7.(2022届河南十所名校测试二，19I生产实践)已知某公司生产的一新款手机的年