2023年广西柳州市柳江区中考数学一模试卷

2023年广西柳州市柳江区中考数学一模试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．2．（3分）在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（）A．6个 B．8个 C．10个 D．12个3．（3分）方程x2＝5x的根是（）A．x＝﹣5 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝54．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．张老师驾车到达长江大桥红绿灯路口时遇到绿灯 B．九年级数学特长小组的13名同学中有两个同学在同一月过生日 C．大概率事件 D．抛掷一枚硬币出现正面朝上5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1＝2x B．x2+2＝0 C．x2﹣2x＝8 D．x2﹣3x＝06．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，若∠BAC'＝70°，∠CAB'＝30°，则旋转角的度数为（）A．30° B．20° C．50° D．40°7．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）8．（3分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．140° C．80° D．60°10．（3分）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m11．（3分）函数（a≠0）与y＝a（x﹣1）（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．12．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC的外接圆直径为（）A．5 B．12 C．13 D．6.5二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：1，则△ABC与△DEF的面积的比为．14．（2分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为．15．（2分）如图，点A，B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，点C，D为线段AB的三等分点，点D在等腰Rt△OAE的斜边OE上，反比例函数y＝过点C，D，交AE于点F．若S△DEF＝，则k＝．16．（2分）已知圆锥的底面周长是4π，母线长为3，则该圆锥的侧面积为．17．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则与x轴的另一个交点为．18．（2分）已知点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t，若n＜0＜m，则t的取值范围为．三．解答题（共8小题，满分72分）19．（6分）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．20．（6分）已知y是x的反比例函数，并且x＝2时，y＝6，求出y与x的函数解析式．21．（10分）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：（1）将格点△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．（2）将△ABC绕C点顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．22．（10分）“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次调查活动共抽取人；（2）“C”等所在扇形的圆心角的度数为度；（3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．23．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC＝10，，求⊙O的半径．25．（10分）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．（1）如图2，两墙AB、CD的高度是米，抛物线的顶点坐标为；（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．26．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．（1）猜想：ME与MF的数量关系为；（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠NMQ＝∠ABC，其它条件不变，直接写出：线段ME与线段MF的数量关系为；（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB：BC＝1：2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠NMQ＝∠ABC，AB：BC＝m，其它条件不变，直接写出ME：MF的值．

参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．2．解：设袋子里面共有小球x个，则+＝1，解得x＝10，经检验，x＝10是方程的解，即袋子里共有小球10个．故选：C．3．解：把方程移项得，x2﹣5x＝0即x（x﹣5）＝0，解得x1＝0，x2＝5．故选：D．4．解：A．张老师驾车到达长江大桥红绿灯路口时遇到绿灯，是随机事件，故不符合题意；B．就年级数学特长小组的13名同学中有两个同学在同一月过生日，是必然事件，故符合题意；C．大概率事件表示发生的概率大，并不代表一定发生，故不符合题意；D．抛掷一枚硬币出现正面朝上，是随机事件，故不符合题意．故选：B．5．解：A、x2+1＝2x变形为x2﹣2x+1＝0，此时Δ＝4﹣4＝0，此方程有两个相等的实数根，故选项A，符合题意；B、x2+2＝0中Δ＝0﹣8＝﹣8＜0，此时方程无实数根，故选项B，不符合题意；C、x2﹣2x＝8整理为x2﹣2x﹣8＝0，此时Δ＝4+32＝36＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项，不符合题意；D、x2﹣3x＝0中，Δ＝9＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D，不符合题意故选：A．6．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，∴∠CAC'＝∠BAB'∵∠BAC'＝70°，∠CAB'＝30°，∴∠CAC'+∠BAB'＝∠BAC'﹣∠CAB'＝70°﹣30°＝40°，∴∠CAC'＝∠BAB'＝20°；∴旋转角的度数为20°；故选：B．7．解：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），故选：B．8．解：如图所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．9．解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，∴∠ACB＝40°，故选：A．10．解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故选：B．11．解：a＞0时，一次函数y＝a（x﹣1）的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A符合；a＜0时，一次函数y＝a（x﹣1）的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选：A．12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴，∴△ABC的外接圆直径为13，故选：C．二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为3：1，∴△ABC与△DEF的面积比为9：1．故答案为：9：1．14．解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得a﹣1+a2﹣a＝0，解得：a1＝1，a2＝﹣1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．15．解：如图，过点D作DH⊥OA于点H，∵∠AOB＝90°，∠AHD＝90°，∠OAE＝90°，∴△AHD∽△AOB，△ODH∽△OEA，∵C，D为三等分点，∴AH＝AO，∵△AOE为等腰直角三角形，∴AO＝AE，设E（a，a），∵＝＝，∴OH＝AE＝a，将x＝a代入反比例函数中，得：y＝，∴D（a，），将x＝a代入反比例函数中，得：y＝，∴F（a，），∴S△DEF＝×（a﹣a）×（a﹣）＝，∵＝，∴＝，∴a2＝，∴S△DEF＝＝＝，∵S△DEF＝，∴＝，∴k＝8．故答案为：8．16．解：该圆锥的侧面积为：×4π×3＝6π．故答案为：6π．17．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故答案为：（3，0）．18．解：由题意可知，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2t，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，n＜0＜m，∴3＜2t＜5，∴＜t＜．故答案为：＜t＜．三．解答题（共8小题，满分72分）19．解：16（2﹣x）2﹣9＝0移项得：16（2﹣x）2＝9，去系数得：，直接开平方得：，即或，解得：，．20．解：设该函数解析式为y＝，得＝6，解得k＝12，∴y与x的函数解析式为y＝．21．解：（1）如图，△A1B1C1即为所画的三角形；（2）如图，△A2B2C2即为所画的三角形；22．解：（1）这次调查活动共抽取的人数为：16÷32%＝50（人），故答案为：50；（2）“C”等所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝108°，故答案为：108；（3）A等级的人数为：50×24%＝12（人）．补全条形统计图如下：（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果有2种，∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率＝＝．23．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．24．（1）证明：连接OC，∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥DC，又∵AE⊥DC，垂足为E，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAE；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AE⊥DC，由（1）得：∠EAC＝∠OAC，∴∠ABC＝∠ACE，在Rt△ABC中，，∴，∴，在Rt△ABC中，，∵AB是半径，∴半径，即⊙O的半径为．25．解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为x＝4，则，解得：a＝0.1，∴抛物线的表达式为y＝0.1x﹣0.8x+3，∴点A（0，3），即AB＝CD＝3（米），当x＝4时，y＝0.1x﹣0.8x+3＝1.4，即顶点坐标为（4，1.4），故答案为：3，（4，1.4）；（2）设抛物线的表达式为y＝a′（x﹣2）2+2，将点A的坐标代入上式得3＝a′（0﹣2）2+2，解得，∴抛物线的表达式为，当x＝3时，（米），∴点M到地面的距离为2.25米．26．解：（1）ME＝MF．理由如下：如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，则∠MHF＝∠MGE＝90°，∵M是正方形ABCD的对称中心，∴AM平分∠BAD，∴MH＝MG，在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，而∠MHA＝∠MGA＝90°，∴∠EMF＝∠HMG＝90°，∴∠FMH＝∠EMG，在