2022-2023学年浙江省杭州市重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市重点学校九年级（下）期中数学试

卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.2-（-5）的值是（）

A.3B.—3C.—7D.7

2.下列运算正确的是（）

A.2x—X=2B.2m+3m=5m2C.5xy—4xy=xyD.2α+3h=5ab

3.某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2,0.0000064用科学记数法表示为（）

A.6.4×10一5B.6.4X106C.6.4XIo-6D.6.4×IO5

4.如图所示，AB=BD9BC=BE,要使△ZBEwADBC,需添加条件（）

A.Z-A=Z-DB.Z.C=∆E

C.乙D=(ED.Z-ABD=乙CBE

5.若Q>b成立，则下列不等式成立的是()

A.2cι-1>2b—1B.-CL+1>—b+1

C.m2a>m2bD.—a>—b

6.某厂准备加工500个零件，在加工了IOO个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是

原来的2倍，结果共用6天完成了任务.若设该厂原来每天加工％个零件，则由题意可列出方

程（）

ʌ100,50OLD100,500,厂100,400.C100,400,

A.——I------=6B.------F-Z-=6C.--I------=6zL).------F—=6

2xXX2xZxXXIx

7.如图，在4ABC^,AB=AC,BE1AC,。是AB的中点，且DE=BE,则4C的度数是（）

B.70°C.75°D.80°

8.在AZBC中，。是BC边上的点（不与B,C重合），连接AD,下列表述错误的是（）

A.若力。是BC边的中线，则BC=2CC

B.若40是BC边的高线，则AO<AC

C.岩AC是NBAC的平分线，则△ABD与^ACC的面积相等

D.若AD是4BAC的平分线又是BC边的中线，则力。为BC边的高线

9.已知一个二次函数图象经过乙（一3/1）,22（-1/2），「3（1/3），”（3/4），其中丫2<丫3=丫4,

则y「y2,y3中最值情况是（）

A.yι最小，为最大B-%最小，为最大C.丫2最小，为最大D.无法判断

10.如图，△4CB中，∆ACB=Rt∆,已知4B=α,∆ADC=β,AB=

则BO的长可表示为（）

R-2—

A.a■(cosa—cosβ)mtan)?—tana

a∙sina

acosa—D.a-cosa—asina-a-tanβ

C.tan/?

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.从1,2,3,4,5,6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是

12.因式分解：2α?—8=.

13.已知函数y=αx+b和y=kx的图象交于点P,根据图象可得，求关于X的不等式αx+

b>kx的解是.

14.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿48=2小，它的影子BC=

1.6m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m,MN=0.8m,则木竿PQ的长度为

______m.

Q

宜....干P....—

15.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过

格点（网格线的交点）4,B,D,点C为弧8。上一点.若ZCAD=30°.

则徐的长为.

16.如图，在矩形ABCD中，力B=α,BC=6,点E在边BC

上，且需=，连结4E，将AABE沿4E折叠，若点B的对应

点B'落在矩形4BC。的边上，写出α与b之间的等量关系

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

小英解不等式亨-竽≤1的过程如下，其中有一个步骤出现错误，请指出这个错误步骤的

序号，并写出正确的解答过程.

解：去分母得:3(l+x)-2(2x+l)≤1①，

去括号得：3+3x-4x-2≤1②，

移项得：3x-4x≤1-3+2③，

合并同类项得：-x≤0④，

两边都除以一1得：x≥0⑤.

18.(本小题8.0分)

某中学为了了解孩子们对篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球五种体育运动的喜爱程度，随

机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查(每人必选且只能选择一种运动)，并将获得的

数据进行整理,绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

某中学各体育项目最喜爱的

人数的扇形统计图

(1)本次调查共抽取了名学生.

(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数.

(3)若该校有1500名学生，请估计喜爱足球运动的学生有多少人？

19.(本小题8.0分)

如图，△?!BC中，D、E分别是AB、4C上的点，RBD=2AD,CE=2AE.

(I)求证：∆ADE-∆ABC;

(2)若。尸=4,求FC的长度

B

20.(本小题10.0分)

设函数y=5(k是常数，卜力0),点M(3,α)在该函数图象上，将点M先关于y轴对称，再向下

平移4个单位，得点N,点N恰好又落在该函数图象上.

(1)求该函数表达式；

x

(2)若(XI,为)，(犯,、2)，(X3，、3)是(1)小题函数图象上的三个点的坐标，且满足刀3>X2>I>°>

请比较为+乃与2为的大小，并说明理由.

21.(本小题10.0分)

如图，四边形4BCC内接于。O,BD是C)。的直径，过点4作AE1CD,交CD的延长线于点E,

OA平分/BDE.

(1)求证：HE是。。的切线；

(2)已知4E=8cm,CD=12cm,求O。的半径.

22.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与X轴，y轴分别相交于4(-3,0)、

B(0,-3),二次函数y=/+niχ+ɪɪ的图象经过点4.

(I)求一次函数y=kx+b的表达式；

(2)若二次函数y=i+7nχ+九图象与y轴交点为(0,3),请判断此二次函数的顶点是否在直线

y=kx+b(k≠0)的图象上？

(3)当n>0,τn≤5时，二次函数y=/+mx+n的最小值为3求t的取值范围.

23.(本小题12.0分)

如图1,在正方形ABC。中，点G在射线BC上，从左往右移动(不与点B,C重合)，连结AG,作

DEIaG于点E,BFIAG于点F,设器=k.

DC

(1)求证：AE=BF-,

(2)连结BE,DF,设NEOF=α,4EBF=β,求证：点在G射线BC上运动时，始终满足tαnα=

ktanβ；

(3)如图2,设线段AG与对角线BC交于点H,△ADH和以点C,D,H,G为顶点的四边形的面

积分别为SI和S2,当点G在BC的延长线上运动时:求弱(用含k的代数式表示).

图1

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：原式=2+5=7.

故选：D.

根据有理数的减法法则直接计算.

本题考查有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b=a+(-b).属

于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：A.2x-X=X,选项A不符合题意；

B.2m+3m=5m,选项B不符合题意；

C.5xy-4xy=xy,选项C符合题意；

Zλ2a+3b不是同类项，不能合并，选项。不符合题意；

故选：C.

根据合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同

它的指数不变即可求解.

本题主要考查了合并同类项，掌握同类项的法则是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：0.0000064=6.4X10-6.

故选：C.

绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为aXlOf,与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负整指数幕，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的O的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数.解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法，一般

形式为a×IO-%其中1≤∣a∣<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.【答案】D

【解析】解：∙∙∙AB=BD,BC=BE,

.∙.要使△√1BF≤ΔDBC,需添力口的条件为∕2BE=∆DBC,

又NzWE-乙DBE=4DBC-ADBE,

^∖i∆ABD=乙CBE,

；.可添力口的条件为4ABE=4。BC或NABD=乙CBE.

综合各选项，。选项符合.

故选Q.

根据已知条件是两个三角形的两组对应边，所以需要添加的条件必须能得到这两边的夹角相等，

整理得到角的可能情况，然后选择答案即可.

本题考查了全等三角形的判定，根据两边确定出需添加的条件必须是这两边的夹角是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：A,---a>b,

••2a>2b,

.∙.2α—1>2h—1,故本选项不符合题意；

B;：a>b,

••一a<一b,

二—a+1<-6+1,故本选项不符合题意；

C.当m=0时，m2a=m2b,故本选项不符合题意；

D..∙a>b,

∙∙∙-a<-b,故本选项不符合题意；

故选：A.

根据不等式的性质逐个判断即可.

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的

两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或

除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负

数，不等号的方向改变.

6.【答案】D

【解析】解：设该厂原来每天加工X个零件，

根据题意得：—+^=6.

X2x

故选：D.

根据共用6天完成任务，等量关系为：用老机器加工IOO个零件用的时间+用新机器加工400套用

的时间=6即可列出方程.

此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解

决问题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：TBELZC,

.∙.∆AEB=90。，

∙∙∙D是AB的中点，

ʌDE=^AB=BD=AD,

・.・DE=BE,

ʌDE—BE—BD,

.,.△BDE为等边三角形,

：•Z-ABE=60°,

，乙4=90。-60。=30。，

・・・AB=ACf

ʌZC=∣×(180°-30°)=75°,

故选：C.

根据直角三角形的性质得到DE="4B=BD=AD,得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形

的性质得到乙4BE=60。，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.

本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中

线等于斜边的一半是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：4、•••4。是BC边的中线，

BD=CD,

：.BC=2CD,故A正确；

8、•••4。是BC边的高线，

.∙.∆ADC=90°,

在RtZMDC中，AD<AC,故B正确；

C、∙.∙4D是的中线，则AABD与△4CD的面积相等，故C错误：

。、•••40是NBAC的平分线又是BC边的中线，

.∙.△力BC是等腰三角形，

.∙.AD为BC边的高线，故。正确，

故选：C.

根据三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论.

本题考查了三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的

关键.

9.【答案】4

【解析】解：。3（1，丫3），「4（3,，4），且'3=%，

.∙.该二次函数的对称轴为：X=2.

：「2（-142），「3（1/3），且丫2<%，

・・・在对称轴左侧，即X<2时，y随X的增大而增大.

∙∙∙Pι（-3yJ,P2（-l,y2）,P3（lj3）中，-3<-l<l,

，当<y?<为•

故选：A.

利用旷3=丫4推导出函数的对称轴X=2,根据丫2<可知y随X的增大而增大可判断丫2，中

的最值情况.

本题考查二次函数的增减性，熟练掌握二次函数增减性是突破本题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：・・・4。=90。，乙B=a,∆ADC=β,AB=α,

BCBC

・・n，

•cosB=cosa=—AB=—a

则BC=a∙cosa,

.cACAC

一,

SinB=sιna=—AB=a

故AC=a∙sinaf

则tcm∕?=蔡

八一

HZ)4CCisina

故C=丽='r

则

Bo=BC-DC=a-cosa-tan/?

故选：C.

利用锐角三角函数关系分别表示出BC,DC的长进而得出答案.

此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键.

11.【答案W

【解析】解：1,2,3,4,5,6这六个数中是3的倍数的数是3和6,

.•・六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是叁=ɪ,

Dɔ

故答案为:ɪ

根据随机事件概率大小的求法解答即可，找准两点：①符合条件的情况数目：②全部情况的总

数.二者的比值就是其发生的概率的大小.

本题考查概率的求法与运用，一般方法为:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,

其中事件4出现m种结果，那么事件4的概率P(4)=≡

12.【答案】29+2)("2)

【解析】解:2α2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).

故答案为：2(a+2)(a-2).

首先提取公因式2,进而利用平方差公式分解因式即可.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.

13.【答案】x<-4

【解析】解：•••由函数图象可知，当％<—4时一次函数y=αx+b在一次函数y=∕cx图象的上方,

二关于X的不等式αx+b>kx的解是X<-4.

故答案为：X<—4.

直接根据函数图象得出结论即可.

本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键.

14.【答案】2.3

【解析】

【分析】

本题考查用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然

后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论.

先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可.

【解答】

.∙.PQ=QD+DP=1.5+0.8=2.3(τn).

15.【答案】目

【解析】解：由题意得：格点。是前所在圆的圆心，连接OD,0C,

•・•/.CAD=30°,

・•.∆C0D=2∆CAD=60°,

力的长=607Γ×∖∏3_√^13π

Λ―180-=3

故答案为：空.

先确定格点。是筋所在圆的圆心，连接。D,OC,再利用勾股定理求出。。的长，然后根据圆周角

定理求出4C0060。，从而利用弧长公式进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

16.【答案】α=触或α=Q

【解析】解：如图，B'落在/W上,

：•乙BAD=Z.B=90°,

由折叠的性质得到々BAE=∆EAB,=45°,

・•・△4BE是等腰直角三角形，

ʌAB=BE=a,

,.BE_5

BC8

5,

•.a=§b;

ʌAB=CD,BC=AD,4。=NC=90。，

..BE_5

,∙,—一,

BC8

：・令BE=5%,BC=8x,

ʌEC=BC-BE=3x,AD=BC=ð=8%,

由折叠的性质得到：AB,=AB=a,EB'=BE=5x,

・・・CB,=√EB'2-EC2=4%，

：,DB'=CD-CB,=a-4x,

••,AB?=AD2+。42,

：•a2=(8x)2+(Q-4x)2,

・•・a=10x,

Vb=8x,

ʌα=-5D,,

4

・•・Q与b之间的等量关系是Q=Ib或Q=法

84

故答案为：Q=Ib或Q=Jb.

84

分两种情况，当B'落在AC上，由折叠的性质，矩形的性质得到力B=BE,即可得到α=，b；当夕落

O

在CD上,令BE=5x,BC=8x,由勾股定理求出CB'=√EB,2-EC2=4%,得到M=(8x)2+(α-

4x)2,求出Q=IOX,即可得到Q=`b.

本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是要分两种情况讨论.

17.【答案】解：由题目中的解答过程可知，第①步出错了，

去分母,得：3(l+x)-2(2x+l)≤6,

去括号，得：3+3x-4x-2≤6,

移项及合并同类项，得：-x≤5,

系数化为1,得：x≥-5.

【解析】先根据题目中的解答过程，可以发现第①步出错了，然后根据解一元一次不等式的方法

解答即可.

本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法.

18.【答案】200

【解析】解：(1)本次调查共抽取的学生数是：30+15%=200(名)，

故答案为：200；

(2)羽毛球的人数有：200-40-30-60-20=50(人)，补全统计图如下:

某中学各体育项目最喜爱的人数的条形统计图

扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数为360。X黑=108。；

(3)根据题意得：

40.

1500=300(A),

答：喜爱足球运动的学生有300人.

(1)根据乒乓球的人数和所占的百分比求出抽取的人数；

(2)用总人数减去其他球的人数，求出羽毛球的人数，从而补全统计图，用360。乘以篮球人数所占

百分比可得答案；

(3)用该校的总人数乘以喜爱足球运动的学生所占的百分比即可.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

19.【答案】(I)证明：∙∙∙BD=2AD,CE=2AE.

._∙ADAE1,

ABAC3

•・•∆DAE=∆BAC,

4。ES△ABC；

(2)解：∙∙Z4)E〜△ABC,

,ΛΓ∖∏/4vfrDEAD1

.∙∆ADE=∆ABC,前W,

ΛDEIlBj

・・・(DEF=Z-CBF9∆EDF=乙BCF,

•••△DEFSACBF,

tDE__DF_

Λ~BC~~FC,

VDF=4,

14

ʌ3=FC,

・•,FC=12.

【解析】⑴由BD=2AD,CE=24E.得出空==ɪ,/.DAE=∆BAC,即可证明^ADE-ΛABC；

AD/ICj

(2)⅛Δ½Z)E-∆ABC,得出NaDE=/.ABC,罢=丝=4进而得出DE∕∕BC,WHUDEF=乙CBF,

DCAD3

乙EDF=LBCF,证明ADEFSACBF,再利用相似三角形的性质，即可求出FC的长度.

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键.

20.【答案】解：(l)∙∙∙M(3,α)先关于y轴对称，再向下平移4个单位，得点N,

.∙./V(-3,α-4),

M与N都在反比例函数y=5上，

∙*∙3cι——3(α—4),

解得：Q=2,

∙∙∙M(3,2),

把M(3,2)代入反比例解析式得：2=全

解得：Zc=6,

则反比例函数解析式为y=/

(2)y1+y2>2y3,理由如下：

jx

∙∙∙(χ1,y1).(χ2,y2)(乂3，乃)是y=:图象上三个点的坐标，且满足Λ⅛>X2>ι>0>y=(在第一

象限为减函数，

∙∙∙O<y3<y2<y1,

则%+、2>2y3∙

【解析】(1)根据题意由M表示出N的坐标，再由M与N都为反比例函数图象上的点，列出关于α的

方程，求出方程的解得到α的值，确定出M的坐标，即可求出反比例函数解析式；

(2)根据反比例函数k>O,得到第一象限为减函数，求出为，y2,y3的大小，即可作出判断.

此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特

征，关于X轴、y轴对称点的特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

21.【答案】(1)证明:连结04.

VOA=ODf

・∙・Z-ODA=Z.OAD.

•・・ZM平分NBDE,

：•∆0DA=Z-EDA.

ʌ∆0AD=Z-EDAi

・・・EC//0A.

•・,AE1CD,

・•・OA1AE.

•・,点/在。。上，

.∙.4E是。。的切线.

(2)解：过点。作。FlCD,垂足为点F.

VZ-OAE=∆AED=∆OFD=90o,

四边形4。FE是矩形.

：.OF=AE=8cm.

又∙∙∙OF1CD,

■■DF=ɪCD=6cm.

在Rt△ODF中，OD=√OF2+DF2=IOcm,

即Oo的半径为IOCm.

【解析】本题考查了平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，属于中档题.

⑴得出NOaD=NEzλ4,证得EC〃04从而证得AElOA,即可证得AE是。。的切线：

(2)过点。作OFjLCD,垂足为点F.从而证得四边形ZOFE是矩形，根据勾股定理即可求得。。的半

径.

22.【答案】解：(I)•••点4(一3,0)、B(O,-3)在一次函数丫=/^+匕(卜#0)的图象上,

心智二。，解得仁』

一次函数解析式为：y=-x-3.

(2)•・,二次函数y=X2+mx÷n图象与y轴交点为(0,3),且/(一3,0)在图象上，

.∙.n=3；m=4.

・•・二次函数解析式为：y=+4%+4-I=Q:+2)2-1,

・•・顶点坐标(一2,-I).

当％=-2时，y=—X—3=—(—2)—3=—1,

・•・抛物线的顶点在直线y=-x-3±.

(3)•・•二次函数y=X2+mx+九图象过A(-3,0),

・∙・9—3m+n=0,即n=3m—9,

•・,n>0,

.∙.m>3,

ʌ3<m≤5.

•・,二次函数y=x2+mx+九的最小值为3

∙∙∙t=卡=4(3m?)-痴=_；2；

444z

当m=5时，t=—ɪ,

4

当m=3时，t=-7-

4

ʌ-ɪ<t<-ɪ.

44

【解析】(1)待定系数法求直线解析式即可；

(2)利用点(0,3)、4(-3,0)求出抛物线解析式，配方后得到抛物线的顶点坐标代入直线解析式验证

即可；

(3)根据点4在二次函数图象上，可以确立9-3m+n=0,即几=3m-9,由n>0可得3Vm≤5,

利用最值公式得t=-Xm-6)2；根据Tn范围确定t的范围即可.

本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴、开口方向、最值是作该类题的基础，需要熟练

掌握.

23.【答案】(1)证明：•・・四边形ABCD是正方形，

・・・AD=ABf∆BAD=90°,

・•・4BAF+∆DAG=90°,

•・・DEIAG,BFIAGf

ʌ∆AED=(BFA=90°,

ʌ∆ADE+∆DAG=90°,

ʌ∆ADE=∆BAF,