二元一次方程组（单元教学设计）大单元教学人教版七年级数学下册

8.1二元一次方程组(单元教学设计)

一、【单元目标】

通过情景导入，了解二元一次方程与二元一次方程组的概念与区别，学会根据题目的条

件列出二元一次方程或二元一次方程组，学会根据实际情况，找出二元一次方程组的整数解

情况等；

(1)用生活中常见的事例，让学生可以根据题目中所给的条件，列出二元一次方程组，

从中提炼出二元一次方程和二元一次方程组的概念；由之前所学内容“一元一次方程”，归

纳总结出二元一次方程与一元一次方程的联系与区别，从而加深学生对方程的理解；

(2)通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对二元一次方程和二元一次方程

组解的理解，同时会根据实际情况找出满足要求的整数解，提升了学生的数学抽象素养，进

一步发展了学生的类比推理素养；

(3)通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑

推理素养；

(4)在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转

化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；

(5)通过生活中的事例，提高学生对周围事物的感知能力，同时激发学生的学习兴趣，

提升学生的人文素养；

二、【单元知识结构框架】

(二元一次方程及其解的定义

二元一次方程组(二元一次方程组及其解的定义

(列二元一次方程组

三、【学情分析】

1.认知基础

二元一次方程和二元一次方程组及其解的定义,对我们后面学习的消元法解二元一次方

程组和二元一次方程组的应用题具有关键作用，本节内容强调基础概念，锻炼学生的思维能

力和判断能力；

2.认知障碍

学生在理解二元一次方程组的概念时，会和分式方程混淆，导致概念不清晰；在讲到二

元一次方程的解时，要理解此时的解具有无数组，但一旦限定在整数范围内，那就要根据题

目实际含义缩小范围;根据题意列二元一次方程组时,要读清题意,加强对逻辑关系的分辨，

准确列出二元一次方程组；

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约1课时

教学重点：二元一次方程及其解的定义，二元一次方程组及其解的定义；根据实际情

况列二元一次方程组；

教学难点：二元一次方程组的认识与识别,根据二元一次方程组解的情况求参数的值；

五、【教学问题诊断分析】

情境导入

小红到邮局寄挂号信，需要邮费3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问

各需要多少张这两种票额的邮票？

这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要票额为6角的邮票X

张，需要票额为8角的邮票，张，你能列出方程吗？

8.1.1二元一次方程及其解的定义

问题1（利用二元一次方程的定义求参数）：已知IR-IlXM+∕ι=3是二元一次方程，

贝!∣m+n—.

【破解方法】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）

含未知数的项的最高次数均为一次；（3）方程是整式方程.

【解析】根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1

的整式方程，即可求得加、〃的值.根据题意得Rl=I且Ir一Il≠0,2/7-1=1,解得勿=一

1,n—l,所以/»+〃=O.故填0.

问题2（二元一次方程的解）：已知I是方程2χ-ay=3的一个解，那么a的值

Iy=-I

是（）

A.1B.3C.一3D.一1

【破解方法】根据方程的解的定义知，将必y的值代入方程中，方程左右两边相等，

即可求解.

[χ-∖,

【解析】将代入方程2x—ay=3,得2+a=3,所以a=L故选A.

Iy=-I

8.1.2二元一次方程组及其解的定义

/孙=1，

问题3（识别二元一次方程组）：有下列方程组：②，1,③

-+7=1；

x+∏=3,

⑤其中二元一次方程组有（)

x—y—l,

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【破解方法】识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否

都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为

1.

【解析】①方程组中第一个方程含未知数的项灯的次数不是1;②方程组中第二个方

程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数.只有④⑤满足，其中⑤方程组中的贝是常

数.故选B.

问题4（利用二元一次方程组的解求参数的值）甲、乙两人共同解方程组

'ax+5尸15；①CX=-3,

,C…由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为乙看错了方程②

[4x—6尸一2.②g—1;

中的6,得到方程组的解为F=5'试计算产+（一益产的值.

」=4.IU

【破解方法】利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中,

得到关于字母参数的新方程，从而求解.

ɪɪ一3

i一说

x~-39x~^5，

明，是方程②的解；同样,是方程①的解.

Iy=-IS4

x,-∙3，x--5,

解：把代入②，得-12+6=-2,所以方=10.把代入①，得5a+20

Iy=-Ilr=4

=15,所以a=~l,所以a0'i+(-ɪi)20'5=(-l)z0'4+(WXIO)20'5=1-1=0.

8.1.3列二元一次方程组

问题5：小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元.设

他购买了1元的贺卡X张，2元的贺卡y张，那么可列方程组（）

Vy

A-+-=10,2+=8

ZBJTo

/+y=8U+2y=10

x+y=]0,x+y=8,

,%+2y=8%+2y=10

【破解方法】要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未

知数，即可得到方程组，进而得到正确答案.

【解析】根据题意可得到两个相等关系：（1）1元贺卡张数+2元贺卡张数=8（张）；（2）1

元贺卡钱数+2元贺卡钱数=10（元）.设他购买了1元的贺卡X张，2元的贺卡y张，可列

x+y=8,

方程组为故选D.

x+2y=10.

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.

1.下列方程组是二元一次方程组的是（）

.∫x+y=5Jχ+y2=4J孙=2ʃ5y=15

[y=7+z[2x+5y=7[x+y=3[3x+2y=8

【答案】D

【分析】运用二元一次方程组的定义逐一判断即可解题.

【详解】解：A.方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意;

B.有一个方程的次数是2,不是二元一次方程组，故此选项不符合题意：

C.有一个方程的次数是2,不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；

D.此方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；

故选:D.

【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键.

（X=2

2.下列方程的解为I的是（）

Iy=-I

A.3x-4y=10B.gx+2y=3C.x+3y=2D.2(x-y)=6y

【答案】A

【分析】把％y的值代入方程计算，即可求解.

【详解】解：A选项，3x-4y=3×2-4×(-l)=6+4=10,符合题意；

B选项，∣x+2y=∣×2+2×(-l)=1-2=-1≠3,不符合题意；

C选项，x+3y=2+3χ(-l)=2-3=-lx2,不符合题意；

D选项，2(x-y)=2(2+1)=6≠6y=6×(-1)=-6,不符合题意;

故选：A.

【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握代入求值的方法，有理数的运算法则是解题

的关键.

x=-l(3x+2y=tn

3.已知C是二元一次方程组的解，则机+〃的值是()

y=2∖nx-y=11

A.2B.—2C.3D.一3

【答案】B

X=-I

【分析】根据二元一次方程的解的定义，将•。代入方程组，进而求得利〃的值，进而

[y=2

即可求解.

[x=-lf3x÷2y=W

【详解】解：∙.∙C是二元一次方程组的解，

[y=2[nx-y=l

.ʃ-ɜ÷4=/??

"[-H-2=1

艮IJ/H=1,n=-3,

.*.m+n=l-3=-2,

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键.二元

一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

4.若方程(m+l)x+3y'"=5是关于X,N的二元一次方程，则机的值为.

【答案】1

【分析】根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为1,

然后进行求解即司;

【详解】解：根据题意得％=1且加+1*0,

解得m=∖.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键.

Ix=I

5.已知，是方程%一做=5的一个解，那么a的值是_______.

U=T

【答案】2

Cx=1

【分析】把，代入3x-αy=5,即可求解.

Iy=T

【详解】解：把=1,代入3x-αy=5得：

Iy=-I

3×l-(-l)×α=5,

解得：a=2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数

的值是方程的解是解题的关键.

6.哪些是二元一次方程？为什么？

(1)/+y=20;(2)2*+5=10;(3)2a+36=l;(4)/+2x+l=0;(5)2x+y+z

=1.

【答案】(3),见解析

【详解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都

是1的方程叫做二元一次方程.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

【变式1】在下列方程组中，不是二元一次方程组的是()

x-3y=3x+l=3x+2y=3

A.D.y

y=-ιy÷2=-l3x-2y=-l

X-y=4

【答案】D

【分析】根据由两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组进行判断

即可.

【详解】解：A.是二元一次方程组；

B.是二元一次方程组；

C.是二元一次方程组；

D.不是二元一次方程组；

故选:D.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组是由两个共含有两个

未知数，未知数的次数是1,且都是整式的方程组成是解题的关键.

(χ=2

【变式2】已知，是二元一次方程y-H=7的解，则A的值是()

Iy=-I

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】D

【分析】将代入二元一次方程y-"=7,得到关于k的一元一次方程，解方程即可

求解.

【详解】解：依题意，—l-2k=7

解得：k=Y

故选:D.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键.

(χ=2

【变式3】已知，是方程方+处=3的解，则代数式6α+3bT的值为________.

Iy=I

【答案】8

【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出方+6=3,整体代入代数式求值即可求解.

(x=2

【详解】解：•••，是方程以+力=3的解，

Iy=I

.*.2a+h=3,

∙*∙64+3b—1

=3(左+3-1

=3x3—1=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关

键.使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.

【变式4]己知X=E是二元一次方程2x+y="的一个解.

y=4

⑴贝IJa=

(2)试直接写出二元一次方程2x+y=α的所有正整数解.

【答案】(D5

x=lfx=2

[y=3Iy=I

【分析】(1)将J2代入二元一次方程2户户a中，即可求得a的值；

.y=4

(2)将a的值代入方程2户尸a,再用列举法求出方程的解即可.

L=11

【详解】(1)将I2代入二元一次方程2*+尸a中可得：2×→4=a,^5；

y=4

故答案为：5

(2)把45代入方程2户产a中可得：2户户5,所以可列出所有正整数解为：

JX=I∫x=2

[y=3,[y=ι'

【点睛】考查二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的

关系.

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.下列是二元一次方程3χ+y=5的解为()

[x=lIX=2(x=-lfx=O

Iy=OIy=TIy=-2Iy=-5

【答案】B

【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5,如果等于5就是方程的解，如果不

等于5,就不是方程的解.

(x=lfx=1

【详解】解：A.把C代入得：3×l+0=3≠5,即《C不是二元一次方程3x+y=5的

U=O[y=0

解，故本选项不符合题意；

Fx=2/、{x=2

B.把＜,代入得：3×2+(-l)=5,即{,是二元一次方程3x+y=5的解，故本选项

Iy=-I[y=-l

符合题意；

JQ-—ɪ(X=­1

{=_2代入得：3×(-l)+(-2)=-5≠5,即J=_2不是二元一次方程3彳+丫=5的解，

故本选项不符合题意；

fx=O,、fx=O

D.把]=_5代入得：3x0+(—5)=—5*5,即[=_5不是二元一次方程力+丫=5的解，故

本选项不符合题意;

故选：B

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数

的值是方程的解是解题的关键.

2.下列方程组中，表示二元一次方程组的是()

x+y=5X=y+11

fx+y=3∫χ+y=5D∙L>,+l

A.B.∙1c.2

[z+x=5­=xU+y=122x=-——

y2

【答案】D

【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可.

【详解】解：因为A选项中含有三个未知数，因此不是二元一次方程组，不符合题意；

因为B选项中含有分式，因此不是二元一次方程组，不符合题意；

因为C选项中含有二次项，因此不是二元一次方程组，不符合题意；

因为D选项中是二元一次方程组，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方

程，②方程组中一共只含有两个未知数，③含未知数的项的次数是L

3.下列方程中，二元一次方程的个数是()

①2^=4,②Z+y=5,③x-V=0,④x=y,(g)⅛ɪ+2x=l,@x2-2x+l=0,⑦

2X2

-χ+y=4z,(8)2x-y=0.,⑨孙二1.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可.

γ一3

【详解】解：①宁=4只含有一个未知数，因此不是二元一次方程；

7

②,+>=5不是整式方程，因此不是二元一次方程；

X

③X-V=O中未知数的最高次数是2,因此不是二元一次方程；

④X=y是二元一次方程；

⑤昼+2x=l是二元一次方程；

⑥x2-2x+l=0含有一个未知数，且最高次数是2次，因此不是二元一次方程；

⑦-x+y=4z含有3个未知数，因此不是二元一次方程；

⑧2x-y=0是二元一次方程；

⑨移=1中未知数的次数是2次，因此不是二元一次方程；

综上分析可知，二元一次方程的个数是3个，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义,解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义,

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数项的次数为1次，那么这个整式方程就叫做

二元一次方程.

4.方程/-2-3y2∙τ=6是关于X,》的二元一次方程，则m+2"的值为.

【答案】3

【分析】根据二元一次方程的定义可得〃L2=1,2W+1=1,进一步即可求出结果.

【详解】解：根据题意，得利-2=1,2〃+1=1,

解得：m=3,n=0,

所以加+2"=3+2xO=3:

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整

式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键.

fx=3

5.若＜C是二元一次方程以+加=-2的一个解，则3a-2⅛+2025的值为_______________

U=-2

【答案】2023

【分析】先将方程的解代入方程，求出,3a-%=-2,再整体代入求值即可.

CX=3

【详解】解：将‘二代入方程可得，3a-2b=-2,

Iy=-2

原式=-2+2025

=2023；

故答案为：2023.

【点睛】本题考查了二元一次