2023-2024学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各式中与，I是同类二次根式的是（）

A.720B.JIC.yp2AD.<02

2.用配方法解一元二次方程/一6%-7=0,则方程变形为（）

A.（x-6）2=43B.（%+6）2=43C.（x-3）2=16D.（x+3）2=16

3.下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（）

A.人的身高与年龄B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度

C.正方形的面积与它的边长D.圆的周长与它的半径

4.如图，点P在反比例函数y=；（%>0）第一象限的图象上，PQ垂直x轴，垂足为

Q,设APOQ的面积是s,那么s与k之间的数量关系是（）

C.s=k

D.不能确定

5.下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（）

A.4,8,4/3B.4,8,475C.7,24,25D.7,14,15

6.已知下列命题中：

①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

7.计算：72a-76a=

8.方程产=5%的根是.

9.函数y=，2久一1的定义域是.

-1

10.已知/Q）=—,那么f（五）=.

11.若函数y=（fc+l）x是正比例函数，且y的值随x的值增大而减小，贝心的取值范围是.

12.关于x的一元二次方程一2%+1=0有两个不相等的实数根，则实数小的取值范围是

13.到点4的距离等于2厘米的点的轨迹是.

14.若直角三角形斜边上的高是3,斜边上的中线是6,则这个直角三角形的面积是.

15.如图，在AABC中，NC=90。，边4B的垂直平分线DE交AC于。,

CD-10cm,AD—20cm,则Z71=

16.若点P在x轴上，点4坐标是（2,-1）,且则点P的坐标是

17.在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个

大正方形（如图所示，AB<BC）.如果小正方形的面积是25,大正方形的面积为49,

那么

BC

AB=-----'

18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三--------------------------

角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”汝口

图，已知直线。〃[2,11与，2之间的距离是3，“等高底”△48C的“等

底”BC在直线匕上（点B在点C的左侧），点4在直线。上，AB=

y[2BC,将AABC绕点B顺时针旋转45。得到AaiBCi，点4、C的对应点分别为点&、的，那么&C的长

为一

三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题5分）

计算：露

20.（本小题5分）

如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB1BE,垂足为B,DELBE,垂足为E,AC.DF相交于点G,且

AC=DF,BF=CE.求证：FG=CG.

21.（本小题5分）

如图，走廊上有一梯子以45。的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子

挪动位置，使其倾斜角变为60。，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）.

22.（本小题5分）

某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示.

⑴哪位选手先到终点？（填“甲”或“乙”）；

（2）甲选手跑到8千米时，用了小时.起跑小时后，甲乙两人相遇；

（3）乙选手在0<%<2的时段内，y与x之间的函数关系式是；

（4）甲选手经过1.5小时后，距离起点有千米.

23.（本小题6分）

如图，在△48C中，AB=AC,NB=30。.

（1）在BC边上求作一点N,使得力N=BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，求证：CN=2BN.

24.（本小题8分）

如图，已知在△ABC中，AB=AC,ABAC=30°,。是BC的中点，DElAB^E,。尸//AB交2C于尺求

.1

证：DE=^DF.

25.（本小题8分）

如图，已知一次函数y=；%和反比例函数y=g（k力0）的图象交点是4（4,m）.

(1)求反比例函数解析式；

(2)在x轴的正半轴上存在一点P,使得A/IOP是等腰三角形，请求出点P的坐标.

26.(本小题10分)

如图，在RtAZBC中，/.ACB=90°,C：A=CB,点、D、E在线段4B上.

(1)如图1,若CD=CE,求证：AD=E出；

(2)如图2,若“CE=45。,求证：DE7!=AD2+BE2；

(3)如图3,若点P是△ABC内任意一点,^BPC=135°,设4P=a、BP=b、CP=c,请直接写出a,b,c

之间的数量关系.

ADEBDEBB

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：力、=2门与，I不是同类二次根式；

B、「=£与是同类二次根式；

C、，苕=2五与，^不是同类二次根式；

。、旧=?与合不是同类二次根式；

故选：B.

化简二次根式，即可判定.

本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是能正确化简二次根式.

2.【答案】C

【解析】【分析】

首先进行移项变形成/-6久=7,两边同时加上9,则左边是一个完全平方式，右边是一个常数，即可完

成配方.

配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

【解答】

解：%2-6%-7=0,

■•­X2—6x=7,

%2—6%+9=7+9,

(x-3)2=16.

故选：C.

3.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了正比例函数的定义，此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，

还是对应的乘积一定，再做判断.判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一

定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例.

【解答】

解：力、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；

2、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；

C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；

。、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；

故选：D.

4.【答案】B

【解析】解：,:点P是反比例函数y=g图象上一点，且PQlx轴于点Q,

1

S^POQ=1^1=s,

解得：|k|=2s.

・••反比例函数在第一象限有图象，

k=2s,即s=1

故选：B.

根据点P在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义就可以求出s与k之间的数量关系.

本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据反比例函数系数k的几

何意义找出△POQ面积s与k的关系.

5.【答案】D

【解析】解：4742+(4/^2=64=82,•••能够成直角三角形，故本选项错误；

8、•.•42+82=80=(4/5)2,.•.能够成直角三角形，故本选项错误；

2

C、•••7+242=625=252,.•.能够成直角三角形，故本选项错误；

D、•:72+142=245丰152,.•.不能够成直角三角形，故本选项正确.

故选：D.

根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可.

本题考查的是如果三角形的三边长a,b,c满足a2+F=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

6.【答案】B

【解析】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题.

其中真命题的个数是2个；

故选：B.

根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可.

本题考查了命题与定理，用到的知识点是全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质，主要考查

学生的分析问题和解决问题的能力，是一道比较容易出错的题目.

7.【答案】2y/~3a

【解析】解：V2a-V6a=72a•6a—V12a2=2V-3cz，

故答案为：20a.

根据二次根式的乘法法则计算即可.

本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.

8.【答案】%i=0,久2=5

【解析】解：x2-5%=0,

%(%-5)=0,

•••x=0或久—5=0,

*,*X]=0,%2=5.

故答案为巧=0,%2=5.

先把方程变形为/-5x=0,把方程左边因式分解得x(x-5)=0,则有x=0或％-5=0,然后解一元一

次方程即可.

本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边

因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可.

9.【答案】x>l

【解析】解：根据题意得：2比—120,

解得：xj

故答案为无>

根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.

本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

10.【答案】

【解析】解：〃门)=出

2—4

-(2+AA3)(2-73)

=2—s/~3-

故答案为：2—，^.

把x=门代入函数表达式，再分母有理化即可得解.

本题考查了函数值的求解，掌握分母有理化是关键.

11.【答案】k<-l

【解析】解：,•,正比例函数y=(k+l)x中，y的值随自变量x的值增大而减小，

/c+1<0,

解得，k<—1；

故答案为：k<-1.

根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1<0,然后解不等式即可.

本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系.解答本题注意理解：直线y=kx所在的位

置与k的符号有直接的关系.k>0时，直线必经过一、三象限，y随久的增大而增大；k<OHt,直线必经

过二、四象限，y随比的增大而减小.

12.【答案】m<1且m丰0

【解析】解：由题意得：/>0,

(-2)2—4mx1>0,

整理得：m<1.

又•:m0,

二实数nt的取值范是爪<1且m*0.

故答案是：m<1且m丰0.

由题意可得/>0且6力0,然后解不等式即可.

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条

件.

13.【答案】以点a为圆心，2厘米长为半径的圆

【解析】解:到点4的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点力为圆心，2厘米长为半径的圆.

故答案为：以点力为圆心，2厘米长为半径的圆.

根据圆的定义解答.

本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单.

14.【答案】18

【解析】解：•••直角三角形斜边上的中线是6,

・,・斜边长=2x6=12,

•・•直角三角形斜边上的高是3,

・•・这个直角三角形的面积=1x12x3=18,

故答案为：18.

利用直角三角形斜边上的中线性质可求出斜边长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答.

本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关

键.

15.【答案】30。

【解析】解：•••DE垂直平分4B,

・•.BD=AD=20cm,AE=BE,DE1AB,

在Rt△BCO中，Z-C=90°,

BC=y/BD2-CD2=V202-102=10<3,

在Rt△力BC中，AB=yjBC2+AC2=J(1073)2+302=20AA3>

ABE=^AB=10V-3，

，BE=BC,

在Rt△BCD^Rt△BEO中，

(BD=BD

Sc=BE'

・•・Rt△BCD=Rt△BED(HL),

•••Z.CBD=乙EBD,

DA=DB,

•••Z-EBD=乙A,

•••Z-ABC=2乙4,

•••Z.A+乙ABC=90°,

・•・5+2/4=90°,

解得乙4=30°.

故答案为：30。.

先根据线段垂直平分线的性质得到BD=力。=20cm,AE=BE,DELAB,再利用勾股定理计算出BC=

10/3,AB=20<3>贝!1BE=1OV^,接着证明Rt△BCDmRt△BED,所以4CBD=KEBD,贝IJNABC=

2N4然后根据三角形内角和计算出乙4的度数.

本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意■点，到线段

两端点的距离相等.

16.【答案】(3,0)或(1,0)

【解析】解：由题意设PQ,0),因为P2=

7(2-x)2+(-l-0)2=y[2,

解得：x=3或x=1,

所以点P的坐标是(3,0)或(1,0),

故答案为：(3,0)或(1,0),

设出P的坐标，利用两点距离公式，求出P的坐标.

此题考查点的坐标问题，关键是两点间距离公式的应用，考查计算能力.

17.【答案吗

【解析】【分析】

此题考查勾股定理的证明.首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出4B和8c的长，进而可

端的值•

【解答】

解：•••小正方形的面积是25,

AC=5,

•••△HAG=ABCA,

・•.AH=CB,

•・•大正方形的面积为49,

••・BH=7,

AB+AH=7,

设力B=x,

则力"=7-x,

在RtAABC中：久2+（7一久）2=52,

解得：X1=4,g=3，

当％=4时，7—x=3,

当％=3时，7-x=4,

1•■AB<BC,

AB=3，BC-4,

.BC_4

“而一于

18.【答案】3，1一3

【解析】解：如下图：

BC=3,AC=3,AB=ArB=

711C=ArB-BC=3-\/~2-3,

故答案为：3，1-3.

先根据勾股定理求出BC,再根据旋转法性质求解.

本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键.

19.【答案】解：原式=2--|1-/3|+2/3

=2-73+1-^43+2门

=3.

【解析】先分母有理化，再根据二次根式的性质化简，然后合并即可.

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题

的关键.

20.【答案】证明：BF=CE,

BF+FC=CE+FC,

即BC=EF,

AB1BE,DE1BE,

NB=NE=90°,

^.RtABC^WRthDEF,

(BC=EF

Uc=DF'

RtAABC三RtADEF(HL),

/.ACB—/-DFE,

GF=GC.

【解析】由“HL”可证RtAABC三RtADEF,可得乙4cB=NDFE,可得结论.

本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.

21.【答案】解：在RtAABO中，^ABO=45°,

则。B=OA,

•••4B=4米，

OA2+OB2=AB2=16,

OB=271(米)，

在RMCD。中，^ADO=60°,

•­,乙DCO=30°,

-1

OD=^CD=2(米)，

BD=OB-OD=(2AA2-2)米，

答：行走的通道拓宽了(2，1-2)米.

【解析】根据勾股定理求出。B,再根据含30。角的直角三角形的性质求出。D,进而求出BD.

本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质，灵活运用相关的定理是

解题的关键.

22.【答案】乙0.51y=10x(0<%<2)12

【解析】解：(1)由图可知，乙选手先到终点，

故答案为：乙；

(2)由图可知，甲选手跑到8千米时，用了0.5小时，起跑1小时后，甲乙两人相遇，

故答案为：0.5,1；

⑵由图可得，乙选手的速度为与=10(千米/小时)，

y与x之间的函数关系式是y=10x(0<x<2)；

故答案为：y=10x(0<x<2)；

⑶由图可知，甲0.5小时距离起点8千米，1小时距离起点10千米，

.­•0.5<x<1.5时,甲用0.5小时跑了(10—8)=2(千米)，

x=1.5时，甲距离起点10+2=12(千米)，

故答案为：12.

(1)观察图象直接可得答案；

(2)观察图象直接可得答案；

(3)求出乙的速度，即可得到y与尤之间的函数关系式；

(4)由图象知：0.5WXW1.5时，甲用0.5小时跑了2千米，即可得到答案.

本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息.

23.【答案】(1)解：作图正确；

(2)证明：连接4V.',4^

•••AB=AC,

Z-B=Z.C=30°.

・•・^BAC=180°-2乙B=120°.

•・•AN=BN,

・•・^NAC=Z.BAC-乙NAB=120°-30°=90°.

•・・Z.C=30°,

・•.CN=2AN.

・•.CN=2BN.

【解析】(1)作线段4B的垂直平分线上；

(2)根据等腰三角形的性质计算出NC的度数，再计算出NC4N的度数，然后根据三角形的性质可得CN=

2AN,进而得到CN=2BN.

此题主要考查了作图，以及直角三角形的性质，关键是正确画出图形,掌握在直角三角形中，30。角所对

的直角边等于斜边的一半.

A

24.【答案】证明：如图，过点。作DH12C于点H,

--AB=AC,。是BC的中点，

2D平分N84C,/\

•••DE1AB,DH1AC,/\

DE=DH,//\

•••DF//AB,ABAC=30°,

BD0

.­.乙DFH=ABAC=30°,

1

・•.DH=”F,

DE=^DF.

【解析】过点。作DH1AC于点H,根据等腰三角形的性质得到4D平分ABAC,根据角平分线的性质得到

DE=根据含30。角的直角三角形的性质得到DH=|DF,等量代换证明结论.

本题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、含30。角的直角三角形的性质，灵活运用等腰三角形

的三线合一是解题的关键.

25.【答案】解：(1);4点是一次函数y=和反比例函数y=2(k丰0)图象的交点，

1A

m=-X4,

解得租=2,

即4(4,2),

把4点坐标代入反比例函数y=§(k手0)得，2=

解得k=8,

二反比例函数的解析式为y=g；

(2)设P点的坐标为(71,0),

若使AAOP是等腰三角形，分以下三种情况：

①当。a=OP时，

由(1)知，4(4,2),

•••n=V42+22=2V-5»

即尸(2A,0);

•••4(4,2),

・•.OH=4,

OA=AP,

OP=2OH=2x4=8,

即P(8,0)；

・•・n=J(4—几)2+22,

即九2=(4—n)2+22,

解得7?=I，

即P(|,。)，

综上，符合条件的P点坐标为(2/耳,0)或(8,0)或(|,0).

【解析】(1)根据一次函数解析式求出a点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；

(2)若使A/IOP是等腰三角形，分。力=0P,OA=AP,OP=AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可.

本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及分类讨论思想是解题的关键.

26.【答案】(1)证明：如图1,"A=CB,工

•••Z-A=乙B,Iy\u

VCD=CE,//\

・•.Z.CEA=乙CDB,,/