2023-2024学年湖南雅礼中学高二年级上册数学期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年湖南雅礼中学高二上数学期末学业质量监测试题

注意事项:

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线y=好的焦点坐标是()

A.(O,l)B.(l,0)

c-°7D-?°

2.已知点尸(-2,4)在抛物线丁2=2加(0>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()

A.(0,2)B.(O,4)

C.(2,0)D.(4,0)

3.已知命题p：丸e(10,+oo),Igx。>1,则命题P的否定为()

AVxe(10,+oo),lgx<lB.VXG(10,+OO),lgx>l

C.V%^(10,-H»),Igx>1D.V%g(10,+oo),lgx<l

4.若点尸("1)在椭圆C：；+y2

=1上,则该椭圆的离心率为()

铲

1R后

A.—15.------

24

旦D

24

5.设加、〃是两条不同的直线，a、0、7是三个不同的平面，则下列命题正确的是()

A.若机则m_LaB.若加加，则“_La

C.若mlla,n!la,则加〃〃D.若。则a//y

6.已知函数/(月=式—12x,则()

A.函数/(%)在(-8,0)上单调递增

B.函数/(%)(-00,8)上有两个零点

C.函数/(%)有极大值16

D.函数/(%)有最小值-16

7.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为()

A.20B.25

C.40D.50

,2,2

8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：三—4=1（。〉0］〉0)的左焦点为尸，过歹且与X轴垂直的直线与C交

a'b

于A,B两点,若ABO是正三角形，则C的离心率为（）

A1+回R省+S~

62

C.书画D.石+近

9.如图，在正方体ABC。—AgGR中，AB=a>AD=b>-AA=c,若石为。。的中点，F在BD上,且

BF=2FD,则EF等于（）

D（Ct

AB

1-1,1-11；1-

A.一a——b——cB.—a——b-—C

222332

1I,111,1

C.——a——b+—cD.—a——b-\--C

332233

10.已知数列｛2｝满足％=1,4+1=3%+2〃（〃金N*）,bn='（里.设，6Z,若对于XMwN*,都有勿〉，恒成立,

则最大值为

A.3B.4

C.7D.9

11.函数/(x)=2x—Inx的单调递增区间为()

B-[2，+C°

D.(O,2)

3,

12.点A是曲线丁=鼻炉-Inx上任意一点，则点A到直线y=2x—l的最小距离为()

V?B立

而,5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设直线4的方向向量分别为0=。,2,-2)力=(一2,3,7")，若§"，则实数m等于.

14.已知点歹是抛物线x2=4y的焦点,点M(1,2),点尸为抛物线上的任意一点,则\PM\+户刊的最小值为.

15.已知y=/(x)是定义在尺上的奇函数，当xNO时/(x)=x—2'+1,则当尤＜0时/(%)=.

22

16.已知兄、工双曲线卓=1(。〉0]〉0)的左、右焦点，A、8为双曲线上关于原点对称的两点，且满足

■7T

AFXLBFX,NA%,则双曲线的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)等差数列｛4｝前"项和为S"，且S4=20,q=2

(1)求通项公式明；

(2)记〃=不，求数列也｝的前n项和Tn

18.(12分)给出以下三个条件：①Ss=15；②%,《，。9成等比数列；③。6=3。2・请从这三个条件中任选一个,

补充到下面问题中，并完成作答.若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分

已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为sn,1=1,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若2=3",令%=anbn,求数列｛%｝的前"项和Tn

19.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图

(2)求月平均用电量的众数和中位数

20.(12分)已知命题p：集合M=—依+1=。｝为空集，命题4不等式(a-3)(a-4)<0恒成立

(1)若P为真命题，求实数。的取值范围；

(2)若Pvq为真命题，。人q为假命题，求实数。的取值范围

21.(12分)已知数列｛4｝的前“项和S"/+2〃，数列也｝是各项均为正数的等比数列，其中伪=1,且2伪也,34

成等差数列.

(1)求｛4｝,｛〃｝的通项公式；

(2)设c“=a“"〃，求数列｛g｝的前〃项和T..

___jr

22.(10分)如图，在四棱锥P—A6CD中，底面A8CD为直角梯形，ZABC=ZBAD=-,平面A5CZ>,

2

PB=AB=BC=6,AD=3.

(1)求点B到平面PCD的距离；

(2)求二面角P-CD—A的平面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】化为标准方程，利用焦点坐标公式求解.

【详解】抛物线的标准方程为d=y,

所以抛物线的焦点在y轴上，且°=不所以与=:，

224

所以抛物线的焦点坐标为［0,；］.

故选：C

2、C

【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点P（-2,4）在抛物线的准线上，即可求出参数0,即可求出抛物线的焦点.

【详解】解：抛物线y2=2px（p>0）的准线为》=-噂

因为P（-2,4）在抛物线的准线上

-2

2

P=4

：.丁二族故其焦点为（2,0）

故选：C

【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.

3、A

【解析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】因为命题P：3^£（10,+<»）,lgx0>l,故命题p的否定为：Vxe（10,4w）,lgx<l.

故选：A.

4、C

【解析】根据给定条件求出〃即可计算椭圆的离心率.

【详解】因点P（0,1）在椭圆C：：+£=1,则号1+\=解得万2=2,而椭圆长半轴长。=2,

所以椭圆离心率e=2=、==.

aa2

故选：C

5、B

【解析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.

【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直

则由不能得出mJ_a,故选项A不正确.

选项B.加J_£,“//加,则“J_a正确，故选项B正确.

选项C若加//a,〃//a,则加与“可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.

选项D.若a，△尸，则a与/可能相交，可能平行，故选项D不正确.

故选：B

6^C

【解析】对f(x)求导，研究Ax)的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.

【详解】/'(X)=3X2-12,由/(尤)>0,得x<—2或x>2,由/(x)<0,得-2<x<2,

所以/'⑶在(f,-2)上递增，在(-2,2)上递减，在(2,+8)上递增，

所以极大值为/(-2)=16>。，极小值为/(2)=-16<0,所以f(x)有3个零点，且/(元)无最小值.

故选：C

7、A

【解析】根据系统抽样定义可求得结果

【详解】分段的间隔为理=20

50

故选:A

8、A

【解析】设双曲线半焦距为c,求出|A3|,由给定的正三角形建立等量关系，结合〃/计算作答.

x--c

h12b2

【详解】设双曲线半焦距为C,则/(―C,O),而A尸，X轴，由2得|)|=幺，从而有|AB|二Z,

1/b2

而ABO是正三角形，即有|aq=@|A5|,则C=6-Q,整理得6帝—/)=丝，

2a

因此有3e2—Ge—3=0,而e>l,解得e=避上叵，

6

所以C的离心率为e=正土母.

6

故选：A

9、B

【解析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.

［详解［EF=DF-DE=-DB--DDl=-^AB-AD^--AA,=-a--b--c.

3232332

故选：B.

10、A

【解析】整理数列的通项公式有：。,用+23=3（4+2"）,

结合4+21=3可得数列｛%+2"｝是首项为3,公比为3的等比数列,

贝!|%+2"=3",...4=3"—2",

1c

t<------------2

原问题即：1-广J恒成立，

---+2-3---+2

当〃一中»时，1—［2］，即1—广］”

综上可得：r的最大值为3.

本题选择A选项

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推

关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关

系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项

11、B

【解析】求出函数/（力的定义域，解不等式/'（x）>o可得出函数/（尤）的单调递增区间.

iOy—1i

【详解】函数〃x)=2x—Inx的定义域为(O,+“)，由〃x)=2——=——>0,可得》〉不

xx2

因此，函数/(X)=2x-\nx的单调递增区间为

故选：B.

12、A

3,

【解析】动点A在曲线丁=持必-山工,则找出曲线上某点的斜率与直线y=2无-1的斜率相等的点为距离最小的点,

利用导数的几何意义即可

【详解】不妨设/(力=5公一Inx,定义域为：(0,+。)

对"了)求导可得：f'(x)=3x--

令/'(x)=2

解得：x=l(其中x=—；舍去)

当％=1时，y=|,则此时该点到直线y=2x—l的距离为最小

2-3-1

根据点到直线的距离公式可得：,2

a=---产——

亚

解得：4=走

10

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】根据向量垂直与数量积的等价关系，/］，40二.=°，计算即可・

【详解】因为4，/2,则其方向向量口，6，

a-Z?=lx(-2)+2x3+(-2)m=0>解得力=2.

故答案为：2.

14、3

【解析】根据抛物线的定义可求最小值.

【详解】如图，过P作抛物线准线y=-1的垂线，垂足为。，连接“Q,

^\PM\+\PF\=\PM\+\P^>|W|>2+1=3,当且仅当M,P,Q共线时等号成立,

故归时+|尸耳的最小值为3

故答案为：3.

15、f(x)=x+2-x-l

【解析】当x<0时，利用—x>0及/(%)=—/(—%)求得函数的解析式.

【详解】当x<0时，—x>0,由于函数是奇函数，故了(无)=一/(—尤)=一[—%—2、+1]=%+2--1.

【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及》轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.

16、72

【解析】可得四边形AF”码为矩形，运用三角函数的定义可得，|A用=2csina,忸制=2ccosa由双曲线的定义

和矩形的性质，可得2c|cosa—sin。|=2。，由离心率公式求解即可.

22

【详解】K、工为双曲线三一去=1(。〉0力〉0)的左、右焦点，1BF,

可得四边形月为矩形，

在放中，卜c,.•.|AB|=2c,

在放ZkABG中，ZABFl=a,可得|AFj|=2csina,忸G|=2ccoso,

.二|忸周一|4工卜||A耳H人川=2c\cosa-sina\=2a,

c11

e=—=-------------=----------------

/.a|coso-sina|rr(，

11v2cosI+I

n(n1

12I4)32

•*•e=A/2>

故答案为：0.

【点睛】关键点点睛：得出四边形A工8月为矩形，利用双曲线的定义解决焦点三角形问题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17>(1)an=2n；

(2)(=/一.

"n+1

【解析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,根据已知条件求d,利用等差数列的通项公式可求得数列｛q｝的通项公式.

(2)求得用=工-——,利用裂项相消法即可求得

nn+1

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,由§4=4%+6d=8+6d=20,解得d=2,

所以%=%+(〃一1”=2〃，故数列｛。〃｝的通项公式=2n；

【小问2详解】

由⑴得：Sn=n(n+1),

,11_1_1

所以2=不

+n〃+1

所以北=+化，

n+lj〃+1〃+1

18、(1)an=n

⑵7二+⑵心

"44

【解析】(1)若选①，则根据等差数列的前"项和公式，结合＜=%=1,求得公差，可得答案；若选②，则根据％,

%，生成等比数列，列出方程，结合Z=4=l,求得公差，可得答案；若选③，则根据4=3为，列出方程，结合

5,=«,=1,求得公差，可得答案；

(2)由(1)可得。“=%也,的表达式，利用错位相减法，求得答案.

【小问1详解】

设数列｛4｝的公差为d

选择①，由题意得S5=5q+10d=15,又工=%=1,则2=1,所以4=1+(〃-1)=〃；

选择②，由4,a3,生成等比数列，得。避9=嬉，即l+8d=(l+2d)2,

解得2=1,或d=0(舍去)，所以4=〃；

选择③，由4=3。2,得1+52=3(1+3),解得d=l,所以

【小问2详解】

由题意知，＜:”=〃•3”

23

：.Tn=1X3+2X3+3X3++(〃-1)x3”一+〃x3"①

24

3Tn=lx3+2x33+3x3++(〃-1)x3"+〃x3向②

①一②得

-IT=3+32+33+34++3"—〃x3"i=^—^-nx3"+1=--+

i-nx3"i

1-32

3(2n-l)-3n+1

44

19、(1)x=0.0075；(2)众数是230,中位数为224

【解析】(1)利用频率之和为一可求得x的值；(2)众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方

图的面积相等可求得中位数

试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+0.005+0.0025)x20=1,

Ax=0.0075

220+240

(2)月平均用电量的众数是---------230,

2

；(0.002+0,0095+0,011)x20=0.45<0,5,

月平均用电量的中位数在[220,240)内，

设中位数为。，由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a—220)=0.5,可得a=224,

.••月平均用电量的中位数为224

考点：频率分布直方图；中位数；众数

20、(1)(-2,2)

(2)(-2,2)(3,4)

【解析】(1)根据判别式小于0可得；

(2)根据复合命题的真假可知，p和g有且只有一个真命题，然后根据相应范围通过集合运算可得.

【小问1详解】

因为集合/=卜12—以+i=o｝为空集，

所以必—依+1=。无实数根，即△=/一4<0，解得-2<a<2,

所以P为真命题时，实数。取值范围为(-2,2).

【小问2详解】

由(a—3)(a—4)<0解得：3<。<4,即命题g为真时，实数。的取值范围为(3,4),

易知P为假时，a的取值范围为[2,+8),g为假时，a的取值范围为(-8,3][4,4w).

因为0Vq为真命题，。八4为假命题，则p和夕有且只有一个真命题，

当P为假g为真时，实数。的取值范围为(3,4)；

当P为真q为假时，实数。的取值范围为(-2,2).

综上，实数。的取值范围为(一2,2)(3,4)

21、(1)an=211+1,=2"T；

(2)7；=(21)2"+1.

【解析】(1)利用a,,=S,-求出数列｛4｝的通项，再求出等比数列的公比即得解；

（2）求出c“=a,j2=（2〃+l）-2"T,再利用错位相减法求解.