【2023小升初】立体图形的体积（思维提高）-小升初数学思维拓展卷（通用版）

立体图形的体积

选择题（共20小题）

1.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数，那

么这个长方体的体积是（）

A.128B.342C.375D.500

E.以上都不对

2.君君家为了节约用水，于是在马桶水箱内放了一个长0.22米、宽10厘米、高0.05米的

铁块。马桶水箱长、宽分别是42厘米、15厘米，注满水的水位是0.26米，则冲水一次

需要用掉__立方厘米的水。（）

A.17480B.16380C.13280D.15280

3.用一个长41厘米、宽16厘米、高37厘米的长方体木箱，用来装棱长为6厘米的正方体

的铁盒，最多可装（）个.

A.76B.72C.73D.74

4.如图，两个长方体容器（A）、（B）,其长、宽、高如图所示（单位：厘米）.容器4中没

有水，B中水深30厘米.要将容器B中的水倒一部分给A,使两个容器中水的高度相同，

这时水深为（）厘米.

5.有一个长方体容器（如图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米.如

果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是（）厘米.

6.在内壁长30厘米，宽20厘米，深15厘米的长方体容器内，倒入6升水，水位线离这个

容器上边的距离是（）

A.5厘米B.10厘米C.15厘米D.20厘米

7.有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30升.现在瓶中装有一些饮料,

正放时饮料高度为20厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米（见图）.瓶现有饮料（)

8.有一个箱子，它的底部是正方形，长、宽、高都是整数，它的体积为144,则这个箱子

的尺寸可以有（）种.

A.4B.5C.6D.8

9.长方体的体积是12,有两对侧面的面积分别是3和12,那么第3对侧面的面积是（）

A.12B.6C.4D.3

10.一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，它的体积将扩大（）倍

A.3B.6C.9D.27

11.一个正方体的棱长扩大3倍，它的体积扩大（）

A.3倍B.9倍C.27

12.把若干个1立方分米的正方体木块摆成一个最小的正方体（不包括1块），这个正方体

的体积是（）

A.4立方分米B.6立方分米C.8立方分米

13.一个长方体容器，底面是正方形，盛水高1分米。放入7个质量一样的鸡蛋后，水面升

高3厘米.要求一个鸡蛋的体积，只需再知道下面（）这一条信息。

A.7个鸡蛋的表面积是多少

B.长方体容器的表面积是多少

C.长方体容器的高是多少

D.长方体容器的底面周长是多少

14.把一块棱长是4厘米的正方体橡皮泥，切成棱长是2厘米的小正方体，可以得到

个小正方体。（）

A.4B.8C.2D.6

15.一个长方体，长5厘米，宽4厘米，高2厘米，它的体积是（）

A.40厘米B.40平方厘米C.40立方厘米

16.小莎有一个鱼缸，大小正好可容纳3条鱼.一位朋友又给她3条鱼，因此她需要另外购

买一个体积加倍的新鱼缸.那么下述符合她所购买的新鱼缸的条件是（)

A.比旧鱼缸的长度及宽度都加倍的鱼缸

B.比旧鱼缸的长度、宽度及深度都加倍的鱼缸

C.比旧鱼缸的宽度及深度都加倍但长度减半的鱼缸

D.比旧鱼缸的深度加倍但长度减半的鱼缸

E.比旧鱼缸的宽度加倍但长度减半的鱼缸

17.一个正方体的棱长扩大3倍后，体积是162立方厘米，原正方体的体积是（）立方

厘米.

A.54B.18C.6D.81

18.在一个棱长为5分米的正方体容器中装有50升水，在把一块石头完全浸没其中，水面

上升了3厘米，这块石头的体积是（）立方分米。

A.2B.3C.7.5

19.如图，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角分别剪去一个边长为2厘

米的小正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器,这个容器的体积是__立方厘米。（）

h——13——

A.80B.85C.90D.95

20.如图，是边长为"的几个正方形，如果边长缩小3倍，则其围成的几何体的体积（）

A.缩小3倍B.缩小4倍C.缩小9倍D.缩小27倍

二.填空题（共20小题）

21.一个长方体容器内装有一些水。容器的底面是边长为36如〃的正方形，容器内水面高度

为12〃"〃。乌鸦往容器中放入一块棱长为∖Smm的正方体石块。这时水面的高度是

mm。

22.球的体积公式是V=43πrl,其中r是球的半径。在一个圆柱体容器内刚好可以放入若

干个和圆柱底面有相同半径的实心铁球。往容器内倒水，当容器内水的体积是一个铁球

体积的6倍时，水面刚好到达容器口。容器内放了个铁球。

23.一个长方体，长：宽=2：1,宽：高=3：2。如果长方体所有棱长之和是220厘米，则

长方体的体积是立方厘米。

24.有一个长方体容器（如图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是厘米。

25.若一个长方体的长边减少1厘米，可变成正方体、表面积就减少16平方厘米。原长方

体的体积是立方厘米。

26.市面上最近出现了一款带有两个水箱的智能加湿器设备。它除了可以提供加湿器的基本

功能以外，还可以通过配套的手机应用查看水箱的剩余水量高度。然而，智能设备最怕

出现故障，故障之后手机应用显示的水箱剩余水量可能出现固定量的误差。

小明想利用这两个水箱量出自己魔方（可以看作完美实心正方体）的体积。因为设备故

障无法直接知道水箱的准确水量高度，已知水箱A外壳上记录的长、宽分别为15厘米和

12厘米，水箱B外壳上记录的长、宽分别为12厘米和9厘米；很巧合的是.这时候小明

目测出这时两个水箱的水位高度相同。这时，他把两个一模一样的魔方各放入一个水箱，

魔方沉底且没有水溢出。放入后，小明观察到手机应用显示的水箱4的水位上升1厘米，

水箱8的水位高度上升2厘米。那么小明的两个魔方体积均为立方厘米。

27.一个长方体的棱长都是质数，其中相邻的两个表面长方形的面积之和是209平方厘米,

则这个长方体的体积是立方厘米.

上面`■

正面^λ

28.把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成A、B两个长方体.当A、B的表面

积之比为3：5时，如果A长方体的体积为312CW3,那么B长方体的体积为cm3.

29.如图是由若干个2cmX2troX2c机的小立方体组成的立体图形，其中阴影部分是中空的

通道.那么，这个立体图形的体积是cm3.

殿

30.已知长方体M的长、宽、高的比是5：4：3,M的所有棱长之和为240厘米，则M的

体积是立方厘米.

31.模具厂用铁块铸成一个如下图所示的长14分米、宽10分米、高4分米的长方体无盖水

箱，且底面和四壁均厚1分米。则注满水箱需用水立方分米。

32.一个长方体的相邻两个面面积之和是77平方厘米，它的长、宽、高都是整数厘米，且

都是质数.这个长方体的体积是立方厘米.

33.如图，将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这

根长方体木块原来的体积是立方分米.

10米

34.把一个长方体的木条左右两端切去长度分别为5厘米的一段和4厘米的一段后，得到一

个正方体.如果正方体的表面积比原长方体的表面积减少360平方厘米，那么，原长方

体的体积是立方厘米.

35.有一个长方体，如果把这个长方体的长变为原来的3倍，宽变为原来的5倍，高不变,

那么这个新的长方体的体积是原来长方体的体积的倍。

36.有一个长方体，它的正面和底面的面积之和是117,如果它的长、宽、高都是素数，那

么它的体积是_____.

37.如图，水深5米，那么此容器还能装立方米的水（n取3）.

38.如图，圆柱与圆锥的高的比是4：5,底面周长的比为3：5.已知圆锥的体积是250立

方厘米，圆柱的体积是..立方厘米.

39.有一个空着的长方体容器A和装有8厘米深水的长方体容器8（如图）.将容器2中的

水倒一部分到4容器，使A、B两个容器水一样深，这时B容器水深厘米.

40.有大、小两个正方体水池，它们的棱长分别是6米、3米.把一堆碎石完全沉没在大水

池的水里，大水池的水面升高了3厘米.如果将这堆碎石完全沉浸在小水池的水里，小

水池的水面升高了厘米.（注意：原来水池并没有装满，但有足够多的水，并且

水从未溢出）

≡.解答题（共20小题）

41.在一个长为16分米，宽为10分米的长方形玻璃鱼缸中，放进一块体积为800立方分米

的假山石，鱼缸中的水正好上升到缸口，如果把这块假山石取出，水面高度为16分米,

这个玻璃鱼缸的容积是多少升？

42.某日是台风天气，雨一直均匀地下着，在雨地里放一个如图1所示的长方体容器，此容

器装满雨水需要1小时.

请问：雨水要下满如图2所示的三个不同的容器，各需要多长时间？

43.有一个棱长是10厘米的正方体木块，在它的上、左、前三个面中心分别穿一个3厘米

见方的孔，直至对面.求穿孔后木块的体积.（3厘米见方：边长3厘米的正方形）

44.如图所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半.这个容器还能

装多少水？

45.如图是一个长方体，阴影部分的面积和是78平方厘米，这个长方体的体积是多少立方

厘米？（单位：cm）

46.已知一个长方体的表面积为622平方分米，长为13分米，宽为7分米，那么这个长方

体的体积为立方分米.

47.现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无

盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好）.请问：你做的铁皮盒的容积是

多少立方厘米？

48.一个几何体从上面看、前面看、侧面看如图所示，那么，这个图形的体积是立方厘米.（π

取3.14,图中单位为：厘米）

*ta∙

49.在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个高100厘米，底面

为边长15厘米的正方形的长方体铁棍，这时容器里水深50厘米.把铁棍向上提起24厘

米，那么现在铁棍在水面下部分的长多少厘米？

50.一根长1米，横截面是直径为20厘米的圆的木头浮在水面上，机灵狗发现它正好是一

半露出水面，请求出这根木头与水接触的面的面积是多少？

51.一个长方体，长与宽的比是2：1,宽与高的比是3：2,如果长方体的全部棱长之和是

220厘米，求长方体的体积是多少？

52.有一个棱长为20厘米的大正方体，在它的每个顶点处按图所示的方法各作一个小正方

体（图中表示的是在一个顶点处作小正方体的方法），于是得到8个小正方体，在这些小

正方体空位中，上面四个的棱长为12厘米，下面四个的棱长为13厘米，所有这八个小

正方体公共部分的体积是多少立方厘米？

53.一根长方体木料，体积是0.078立方米.已知这根木料长1.3米，宽为3分米，高该是

多少分米？孙健同学把高错算为3分米.这样,这根木料的体积要比0.078立方米多多少？

54.一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为α,其中

0<a≤60.现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？

55.有一种饮料的瓶身如图，容积是3升.现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为

20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米.那么瓶内现有饮料多少升？

56.一块长方形铁皮，长130厘米，宽90厘米，现在要把这块铁皮制成一个深为10厘米的

无盖长方体铁盒（焊接处的铁皮厚度忽略不计），求这个长方体铁盒的容积最大是多少立

方厘米？并请你画出铁皮的分割方法.标上数据.

57.有一个棱长是10厘米的正方体木块，在它的上、左、前三个面中心分别穿一个3厘米

见方的孔，直至对面.求穿孔后木块的体积.

58.一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形.容器里直立着一个长方体铁块，

它的高是1米，底面是一个边长为15厘米的正方形.这时，容器里的水深1.1米.现在

把铁块轻轻地向上提起25厘米，那么露出水面的铁块上被浸湿的部分长是多少厘米？

59.如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米在侧面距离底

面9厘米的地方有个洞.这个容器最多能装毫升水（π取3.14）

60.如图，A8CZ）是矩形，BC=6cm,AB^10cm,AC和8。是对角线，图中的阴影部分以

C。为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（n=3.14）

立体图形的体积

参考答案与试题解析

一.选择题（共20小题）

1.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数，那

么这个长方体的体积是（）

A.128B.342C.375D.500

E.以上都不对

【分析】正面和上面之和为209,所以长X宽+长X高=长X（宽+高）=209,把209分

解质因数为209=11X19,因为长、宽、高都是质数：

（1）如果长=19,宽+高=11,11是奇数，只能分解成一个奇数+一个偶数，而偶数中

只有2是质数，11只能分解成2+9,而9是合数，不符合题意。

（2）如果长=11,宽+高=19,19只能分成2+17,所以所以这个长方体的三个棱长分别

为2、11、17,由此解决问题。

【解答】解：长义宽+长X高=长X（宽+高）=209,209=11X19,因为长、宽、高都

是质数：

（1）如果长=19,宽+高=11,11=2+9,而9是合数，不符合题意。

（2）如果长=11,19=2+17,符合题意，所以长方体的三个棱长分别为2、11、17

2×11×17

=22X17

=374

答：这个长方体的体积是374。

故选：Eo

【点评】解题的关键是根据题意判断出长、宽、高的长度，然后根据长方体的体积计算

方法进行解答即可。

2.君君家为了节约用水，于是在马桶水箱内放了一个长0.22米、宽10厘米、高0.05米的

铁块。马桶水箱长、宽分别是42厘米、15厘米，注满水的水位是0.26米，则冲水一次

需要用掉_立方厘米的水。（）

A.17480B.16380C.13280D.15280

【分析】马桶放入铁块后，会少装和铁块体积相同的水；所以直接用马桶的容积减去铁

块的体积，直接计算即可。

【解答】解：0.22米=22厘米，0.05米=5厘米，0.26米=26厘米；

42×15×26=16380（立方厘米）；

22×10×5=1110（立方厘米）；

16380-1110=15280（立方厘米）。

故选：r>o

【点评】本题切入点为马桶放入铁块后，会少装和铁块体积相同的水，直接用马桶原来

的蓄水量减去铁块的体积计算即可。

3.用一个长41厘米、宽16厘米、高37厘米的长方体木箱，用来装棱长为6厘米的正方体

的铁盒，最多可装（）个.

A.76B.72C.73D.74

【分析】以长41厘米为边，可以放41÷6=6个…5厘米，以宽16厘米为边，可以放16

÷6=2个…4厘米，以高37厘米为边，可以放37÷6=6个…1厘米，由此再利用长方体

的体积公式即可计算最多可以放的总个数.

【解答】解:41÷6=6（个）-5（厘米），

16÷6=2（个）-4（厘米）,

37÷6=6（个）…1（厘米），

6×2×6≈72（个），

答：最多装72个.

故选：Bo

【点评】解答此题关键是先分别求出长方体箱子的长宽高处最多能放几个小正方体，再

利用长方体的体积公式求出小正方体的总个数.

4.如图，两个长方体容器（4）、（B）,其长、宽、高如图所示（单位：厘米）.容器A中没

有水，B中水深30厘米.要将容器B中的水倒一部分给A,使两个容器中水的高度相同，

这时水深为（）厘米.

(B>

A.15B.12C.10D.8

【分析】在这个变化过程中水的体积没有变化，原来水的体积等于右边的底面积X高,

现在水的体积就是两个底面积之和X高，抓住这个关系进行解题.

【解答】解：

设现在水的高度是。厘米

30×40×β+30×20×α=30×20X30

1800«=18000

a=10

故选：c。

【点评】解决此类题目要从变化中找出不变的量，抓住不变量解题.

5.有一个长方体容器（如图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米.如

果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是（）厘米.

A.18B.12C.22D.6

【分析】先根据长方体的体积公式丫=必/7,求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱

内水的体积不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就

是水面的高度，然后即可解答.

【解答】解：30×20×6÷（20X10）

=3600÷200

=18（厘米），

故选：Ao

【点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面

的面积），就是水面的高度.

6.在内壁长30厘米，宽20厘米，深15厘米的长方体容器内，倒入6升水，水位线离这个

容器上边的距离是（）

A.5厘米B.10厘米C.15厘米D.20厘米

【分析】根据长方体的体积公式：V=sh,用水的体积除以长方体的底面积求出水的深（高）,

然后用长方体容器的高减去水的高即可.

【解答】解：6升=6000立方厘米，

15-6000÷（30X20）

=15-6000÷600

=15-10

=5（厘米）

故选：Ao

【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，注意：容积单位与体积之间的换

算.

7.有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30升.现在瓶中装有一些饮料，

正放时饮料高度为20厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米（见图）.瓶现有饮料（）

升.

【分析】无论是正放还是倒置，饮料的体积没有变化，如果将左图的空白部分置换成右

图的空白部分，则变成一个高为25厘米的圆柱，则水的高度就变成圆柱高的2025.

【解答】解：30X2025=24（立方分米）

答：瓶内现有饮料24立方分米.

故选：Co

【点评】此题主要采用置换的方法，化不规则为规则.

8.有一个箱子，它的底部是正方形，长、宽、高都是整数，它的体积为144,则这个箱子

的尺寸可以有（）种.

A.4B.5C.6D.8

【分析】根据长方体的体积公式：v="b∕7或v=sh,已知它的底部是正方形，长、宽、

高都是整数，它的体积为144,144必须是底面积的倍数，由此得出底面边长是1、2、3、

4、6、12.据此解答.

【解答】解：根据分析可知：底面边长是1、2、3、4、6、12.

它的高分别是：

144÷r=i44,

144÷22≈36,

144÷33=16,

144÷42=9,

144÷62=4,

144÷122=1,

所以这个箱子的尺寸可以有6种情况.

故选：Co

【点评】此题主要考查长方体的体积公式、正方形的面积公式的灵活运用.

9.长方体的体积是12,有两对侧面的面积分别是3和12,那么第3对侧面的面积是（）

A.12B.6C.4D.3

【分析】根据长方体的表面积公式：s=Cab+ah+bh）×2,已知有两对侧面的面积分别

是3和12,3=1X3,说明长方体的长、宽、高其中一条棱是1,另一条棱是3,又因为

长方体的体积是12,所以12=1×3×4,那么第3对侧面的面积一定是1X4=4.据此解

答.

【解答】解：根据分析知：12=1X3X4,所以第3对侧面的面积一定是1X4=4.

故选：Co

【点评】此题考查的目的是掌握长方体的特征、以及长方体的表面积、体积的计算公式.

10.一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，它的体积将扩大（）倍

A.3B.6C.9D.27

【分析】可设原来长、宽、高分别为人b、h,那么现在就分别为3“3b、3儿分别表

示出原来的与现在的体积，即可得出答案.

【解答】解：设原来长为4,宽为b,高为/7,则现在的长为3“，宽为防，高为3人；

原来的体积：abh,

现在的体积：3a×3b×3c=27abc,

（27αbc）÷（abc）=27；

答：体积扩大27倍.

故选：Do

【点评】此题主要考查长方体的体积计算公式，通过计算可得出规律：长方体的长、宽、

高都扩大〃倍，那么体积就扩大滔倍.

11.一个正方体的棱长扩大3倍，它的体积扩大（）

A.3倍B.9倍C.27

【分析】正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大

倍数的立方倍，据此规律可得.

【解答】解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33=27倍.

故选：C»

【点评】此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化.

12.把若干个1立方分米的正方体木块摆成一个最小的正方体（不包括1块），这个正方体

的体积是（）

A.4立方分米B.6立方分米C.8立方分米

【分析】把若干个1立方分米的正方体木块摆成一个最小的正方体（不包括只摆一块的

情况），每个棱长上至少需要2个这样的小正方体，所以至少需要2X2X2=8个相同的

小正方体，由此即可解答.

【解答】解：小正方体拼组大正方体至少需要2X2X2=8个相同的小正方体，

所以拼组后的大正方体的体积最小是8立方分米，

故选：Co

【点评】此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用，小正方体的个数等于大

正方体每条棱长上小正方体的个数的3次方.

13.一个长方体容器，底面是正方形，盛水高1分米。放入7个质量一样的鸡蛋后，水面升

高3厘米.要求一个鸡蛋的体积，只需再知道下面（）这一条信息。

A.7个鸡蛋的表面积是多少

B.长方体容器的表面积是多少

C.长方体容器的高是多少

D.长方体容器的底面周长是多少

【分析】7个鸡蛋的体积就是上升的那部分水的体积，知道了水面上升的高度，再知道长

方体容器的底面积即可求解，从选项中找出可以求出底面积的条件即可。

【解答】解：这个长方体容器的底面周长是正方形，放入7个质量一样的鸡蛋后，水面

升高3厘米，所以只要知道了底面周长就可以求出它的边长，进而求出底面积。

故选：D.

【点评】解答此题的关键是：不规则物体的体积等于上升的水的体积，再根据长方体的

体积的计算方法求解。

14.把一块棱长是4厘米的正方体橡皮泥，切成棱长是2厘米的小正方体，可以得到

个小正方体。（）

A.4B.8C.2D.6

【分析】用大正方体的体积除以小正方体的体积就是得到小正方体的个数。正方体的体

积公式V=α3。

【解答】解：4×4×4÷（2×2×2）

=64÷8

=8（个）

答：可以得到8个小正方体。

故选：B。

【点评】本题考查了正方体的体积公式V="的灵活运用。

15.一个长方体，长5厘米，宽4厘米，高2厘米，它的体积是（）

A.40厘米B.40平方厘米C.40立方厘米

【分析】利用长方体的体积公式v=M∕l即可解决问题.

【解答】解：体积为：5×4×2≈40（立方厘米）

故选：Co

【点评】此题考查了长方体的体积的计算方法，即长方体的体积u=α".

16.小莎有一个鱼缸，大小正好可容纳3条鱼.一位朋友又给她3条鱼，因此她需要另外购

买一个体积加倍的新鱼缸.那么下述符合她所购买的新鱼缸的条件是（）

A.比旧鱼缸的长度及宽度都加倍的鱼缸

B.比旧鱼缸的长度、宽度及深度都加倍的鱼缸

C.比旧鱼缸的宽度及深度都加倍但长度减半的鱼缸

D.比旧鱼缸的深度加倍但长度减半的鱼缸

E.比旧鱼缸的宽度加倍但长度减半的鱼缸

【分析】根据长方体的体积公式：Y=α协分别得到给出选项中购买的新鱼缸的容积，得

到是原来鱼缸体积加倍的一个即为所求.

【解答】解：A、V=2a∙2b∙h-=4abh,是原来鱼缸体积的4倍，不符合题意；

B、V=2a∙2b∙2h=8abh,是原来鱼缸体积的8倍，不符合题意；

C、V=12a∙2h∙2h=2abh,是原来鱼缸体积的2倍，符合题意；

D、V=I2a∙b*2h=abh,和原来鱼缸体积相等，不符合题意；

E、V=12a∙2b∙h-abh,和原来鱼缸体积相等，不符合题意.

故选：Co

【点评】考查了长方体的体积的实际应用，本题关键是找到新鱼缸与原来鱼缸体积之间

的关系.

17.一个正方体的棱长扩大3倍后，体积是162立方厘米，原正方体的体积是（）立方

厘米.

A.54B.18C.6D.81

【分析】根据正方体的体积公式V="3,再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于

因数扩大倍数的乘积，一个正方体的棱长扩大到原来的3倍后，体积是162立方厘米，

也就是正方体的体积扩大了3X3X3=27倍，把162缩小27即可求出原正方体的体积；

由此解答.

【解答】解：一个正方体的棱长扩大到原来的3倍后，

也就是正方体的体积扩大了3X3X3=27倍，

162÷（3×3×3）

=162÷27

=6（立方厘米）

故选：Co

【点评】此题主要考查正方体的体积计算方法和因数与积的变化规律，由此列式解答即

可.

18.在一个棱长为5分米的正方体容器中装有50升水，在把一块石头完全浸没其中，水面

上升了3厘米，这块石头的体积是（）立方分米。

A.2B.3C.7.5

【分析】上升的水的体积等于石头的体积，根据“上升的水的体积=水池底面积X3”计

算即可。

【解答】解：3厘米=0.3分米

5×5×0.3

=25X0.3

=7.5（立方分米）

答：这块石头的体积是7.5立方分米。

故选：Co

【点评】解答此题关键是要明确：（1）水的体积不变；（2）不规则物体的体积等于上升

水的体积。

19.如图，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角分别剪去一个边长为2厘

米的小正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是_立方厘米。（）

I-——13——

A.80B.85C.90D.95

【分析】首先根据题意，用长方形硬纸板的长减去正方形的边长的2倍，求出长方体纸

盒的长是多少；然后用长方形硬纸板的宽减去正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的

宽是多少：最后根据长方体的容积=长X宽X高，求出这个纸盒的容积是多少立方厘米

即可。

【解答】解：（13-2X2）X（9-2X2）×2

=9×5×2

=90（立方厘米）

答：这个容器的体积是90立方厘米。

故选：Co

【点评】此题主要考查了长方体的底面积和体积的求法，耍熟练掌握，解答此题的分别

求出长方体纸盒的长、宽、高各是多少。

20.如图，是边长为«的几个正方形，如果边长缩小3倍，则其围成的几何体的体积（）

缩小4倍C.缩小9倍D.缩小27倍

【分析】正方形边长缩小3倍，即围成的正方体的棱长缩小3倍，根据正方体的体积公

式和积的变化规律可知，体积缩小3X3X3倍，据此解答即可.

【解答】解：其围成的几何体的体积缩小3X3X3=27倍.

故选：D.

【点评】解答本题关键是明确一个正方体的棱长缩小〃倍，那么体积缩小/倍.

二.填空题(共20小题)

21.一个长方体容器内装有一些水。容器的底面是边长为36的正方形，容器内水面高度

为12∕≡0乌鸦往容器中放入一块棱长为18∕≡的正方体石块。这时水面的高度是16

ιnmo

【分析】设这时水面的高度是高为石块浸入水中的高就是水面的高度，根据等量

关系：“石块浸入水中的=水上升的体积=长方体容器的底面积X水面上升的高度”，据

此列方程解答即可。

【解答】解：设这时水面的高度是笛加小

36×36×(.χ-12)=18X18x

4(x-12)=X

3x=48

X=I6

答：这时水面的高度是16mmO

故答案为：16。

【点评】明确题中的等量关系：“石块浸入水中的=水上升的体积=长方体容器的底面积

X水面上升的高度”是解题的关键。

22.球的体积公式是V=43τ√i,其中r是球的半径。在一个圆柱体容器内刚好可以放入若

干个和圆柱底面有相同半径的实心铁球。往容器内倒水，当容器内水的体积是一个铁球

体积的6倍时，水面刚好到达容器口。容器内放了12个铁球。

【分析】设容器内放了X个铁球，根据题中的等量关系：“6个球的体积+X个球的体积=

圆柱体容器的容积”据此列方程解答即可。

【解答】解：设容器内放了X个铁球。

（6+x）×43πrs=πr2×2r×x

43(6+x)—2x

23(6+x)-X

13X=4

x=12

答：容器内放了12个铁球。

故答案为：12。

【点评】明确题中的等量关系：“6个球的体积+x个球的体积=圆柱体容器的容积”是解

题的关键。

23.一个长方体，长：宽=2：1,宽：高=3：2。如果长方体所有棱长之和是220厘米，则

长方体的体积是4500立方厘米。

【分析】首先将长与宽的比的前项和后项同时乘3,进一步求出长、宽、高的比，再根据

“长+宽+高=所有棱长之和÷4”求出长+宽+高的和，再根据按比例分配的方法求出长、

宽、高分别是多少，最后根据“长方体的体积=长X宽X高”即可解答。

【解答】解：长：宽=2：1=6：3,宽：高=3：2

所以长：宽：高=6：3：2

220÷4=55（厘米）

55÷（6+3+2）

=55÷11

=5（厘米）

6×5=30（厘米）

5×3=15（厘米）

2X5=10（厘米）

30×15X10

=45OX10

=4500（立方厘米）

答：长方体的体积是4500立方厘米。

故答案为：4500,

【点评】熟练掌握比的性质、按比例分配的方法以及长方体体积的计算方法是解题的关

键。

24.有一个长方体容器（如图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是18厘米。

【分析】先根据长方体的体积公式V=α",求出长方体内水的体积，由于箱内水的体积

不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高

度，然后即可解答。

【解答】解：30×20×6÷（20X10）

=3600÷200

=18（厘米）

答：里面的水深应该是18厘米。

故答案为：18。

【点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体箱的底面积（左面那个

面的面积），就是水面的高度。

25.若一个长方体的长边减少1厘米，可变成正方体、表面积就减少16平方厘米。原长方

体的体积是80立方厘米。

【分析】根据题意可知，一个长方体的长边减少1厘米，可变成正方体，说明长方体的

宽和高相等，长比宽多1厘米，设长方体的长、宽、高分别为（4+l）厘米，0厘米，a

厘米，长边减少1厘米后，减少的表面积为4a，即4a=16,据此求出”,就知道了长方

体的长、宽、高，再根据“长方体的体积=长X宽X高”即可解答。

【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为（α+D厘米，。厘米，α厘米。

44=16

所以α=16÷4=4

(4+1)×4×4

=20×4

=80（立方厘米）

答：原长方体的体积是80立方厘米。

故答案为：80o

【点评】明确减少的面积就是以原长方体的宽为长、1厘米为宽的4个长方形的面积是解

题的关键。

26.市面上最近出现了一款带有两个水箱的智能加湿器设备。它除了可以提供加湿器的基本

功能以外，还可以通过配套的手机应用查看水箱的剩余水量高度。然而，智能设备最怕

出现故障，故障之后手机应用显示的水箱剩余水量可能出现固定量的误差。

小明想利用这两个水箱量出自己魔方（可以看作完美实心正方体）的体积。因为设备故

障无法直接知道水箱的准确水量高度，已知水箱A外壳上记录的长、宽分别为15厘米和

12厘米，水箱B外壳上记录的长、宽分别为12厘米和9厘米；很巧合的是.这时候小明

目测出这时两个水箱的水位高度相同。这时，他把两个一模一样的魔方各放入一个水箱，

魔方沉底且没有水溢出。放入后，小明观察到手机应用显示的水箱A的水位上升1厘米，

水箱8的水位高度上升2厘米。那么小明的两个魔方体积均为216立方厘米。

【分析】A水箱水下体积为15X12X1=180（立方厘米）；B水箱水下体积为12×9×2

=216（立方厘米），因为180W216立方厘米，所以至少有一个没有浸没。若A、8两个

都没有浸没，所以魔方的底面积为（216-180）÷（2-1）=36（平方厘米），所以魔方

的棱长为6厘米，魔方的体积为216立方厘米，恰好等于B水下体积，所以A、B两个

都没有浸没不符合。所以A没有浸没，8恰好浸没，即魔方体积为216立方厘米。

【解答】解：15X12X1

=180X1

=180（立方厘米）

12×9×2

=108X2

=216（立方厘米）

180≠216

所以至少有一个没有浸没。

若A、B两个都没有浸没，魔方的底面积为：

（216-180）÷（2-1）

=36÷1

=36（平方厘米）

所以魔方的棱长为6厘米，魔方的体积为216立方厘米，恰好等于3水下体积，所以A、

8两个都没有浸没不符合。

所以A没有浸没，B恰好浸没，即魔方体积为216立方厘米。

故答案为：216o

【点评】本题考查了长方体、正方体体积的计算方法的灵活应用。

27.一个长方体的棱长都是质数，其中相邻的两个表面长方形的面积之和是209平方厘米,

则这个长方体的体积是374立方厘米.

上面`

正面-

【分析】设这个长方体的长宽高分别为X、y、Z；不妨设相邻的两个表面长方形就是正面

和上面的面积之和为209；即Xy+xz=x(y+z)=209=11X19。

分别讨论X=11,y+z=19；X=I9,y+z=ll这两种情况即可。

【解答】解：设这个长方体的长宽高分别为x、Az；

不妨设相邻的两个表面长方形就是正面和上面的面积之和为209；

即xy+xz-X(y+z)=209=11X19。

分类讨论：当X=Il时，

(y+z)=19=2+17,满足题中质数条件，

此时长方体的体积为：11X2X17=374(立方厘米)；

当X—19时，

)H-z-11=2+9=3+8=5+6,不满足题中质数条件；

所以长方体体积=XyZ=2X17X11=374(立方厘米)。

故答案为：374立方厘米。

【点评】本题的关键在于将209分解后得出尤和尹Z的值，再根据题中所有棱长为质数

进行讨论即可。

28.把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成A、B两个长方体.当A、B的表面

积之比为3：5时，如果A长方体的体积为312cv√i,那么B长方体的体积为936c∕;Λ

【分析】设原正方体的每个面的面积为S,则原正方体的表面积为6S,将其分成A、B

两个长方体时，此时两个长方体的表面积之和是85,根据表面积之比是3：5,求到A的

表面积是3S,B的表面积是5S.这样可知A的上下前后四个面的面积和为3S-2S=S,

8的上下前后四个面的面积和是5S-2S=35,因此这两个长方体的宽之比是S：35=1：

3,它们的长和高分别相等，所以体积比也就是1：3.

【解答】解：设原正方体的每个面的面积为S.

6S+2S=8S

85÷（3+5）X3=3S

8S-3S=5S

（35-25）：（55-2S）=1：3

312÷1×3=936（平方厘米）

故答案为：936.

【点评】此题的关键是求出两个长方体的体积之比，这个比等于这两个长方体的宽之比，

而宽之比又等于上下前后四个面的面积和之比.

29.如图是由若干个2CTOX2CTOX2C∕M的小立方体组成的立体图形，其中阴影部分是中空的

【分析】最上面一层有4X4-3=13个小立方体，第二层有13-5-2=6（个）小立方体，

第三层有13-2-5=6（个），最下面一层有13个，这样一共有13+6+6+13=38（个）小

立方体，然后求出体积.

【解答】解：最上面一层有4X4-3=13（个）小立方体

第二层有13-5-2=6（个）小立方体

第三层有13-2-5=6（个）小立方体

最下面一层有13个小立方体

这样一共有13+6+6+13=38（个）小立方体

2×2×2×38=304（立方厘米）

故答案为：304.

【点评】此题的关键是分析每一层有多少个小立方体，在分析的时候要做到不重复无遗

漏.

30.已知长方体M的长、宽、高的比是5：4：3,M的所有棱长之和为240厘米，则例的

体积是7500立方厘米.

【分析】长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，相对的面的面

积相等，长方体的棱长总和=（a+b+h）×4,据此即可求出这个长方体的长、宽、高的

和，进而利用按比例分配的方法即可分别求出这个长方体的长、宽、