《结构动力学》小题库

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页〇、名词解释（一）名词解释阐明下述概念，须要时可借助图形。（1）振型阻尼比；（2）主振型、振型正交性；（3）瞬态响应、稳态响应；（4）频响函数；（5）决定性系统、非决定性系统；（6）临界阻尼；（7）简谐振动；（8）单元质量矩阵；（9）对数衰减率；（10）材料阻尼。1、动力自由度2、静力凝结3、振型4、达朗贝尔原理在质点系运动的随意瞬时，倘若出了实际作用于每一质点的主动力和约束力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬时质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡。1、反应谱2、一致质量矩阵3、虚功原理4、对数衰减法4、共振放大法4、半功率点(带宽)法：半功率带宽法利用自功率谱的共振峰寻找系统的固有频率，再按照其谱线求得系统阻尼。在纵坐标上寻找半功率点，即取峰值的，并过此值作一水平线，它与功率谱曲线的交点称为半功率点。4、哈密顿原理4、广义坐标4、动力反应：动力荷载引起的结构内力、变形及结构运动加速度与速度等的统称。4、阻尼比：阻尼比用于表达结构阻尼的大小，是用构自身阻尼与临界阻尼的比值，描述结构在振动过程中某种能量耗散。子空间迭代法：是把迭代法和瑞利-里兹法相结合并交替使用的一种主意，既利用瑞利-里兹法来缩减自由度，又在计算中利用迭代法使振型逐步趋近其精度。子空间迭代法中首先选定n个（n<N，N为体系的总自由度数）试向量，对这n个向量同时举行迭代，通常结构的自由度成千上万，而所需求解振型不过数十个，子空间迭代主意不需要全局求解，而是点到即止。子空间迭代主意以迭代法求得的向量作瑞利-里兹法向量，在用瑞利-里兹法求n个近似特征对，这归结为解退化了的子空间里的特征对问题。这种主意能同时求出模较大的一些特征值和相应的特征向量，也能在迭代过程中应用Rayleigh-Ritz原理举行加速。因此，同时迭代法比乘幂法更便于举行自动计算，而且加快了收敛速度，它是求解大型、稀疏矩阵特征值问题的最有效的主意之一。（二）英汉名词互译参考Clough和Chopra书后名词互译（三）翻译段落1.G.W.Housnerwasinstrumentalinthewidespreadacceptanceoftheconceptoftheearthquakeresponsespectrum—introducedbyM.A.Biotin1932—asapracticalmeansofcharacterizinggroundmotionsandtheireffectsonstructures.Nowacentralconceptinearthquakeengineering,theresponsespectrumprovidesaconvenientmeanstosummarizethepeakresponseofallpossiblelinearSDFsystemstoaparticularcomponentofgroundmotion.G.W.Housner对地震反应谱的概念被广泛采纳起到了庞大的作用，反应谱是于1932年由M.A.Biot引入的，它作为一种实用工具用来描述地面运动及其对结构的效应。现在，作为地震工程中的一个核心概念，反应谱提供一种方便的手段来概括所以可能的线性单自由度体系对地面运动的某个特定分量的峰值响应。2.Theprocessbywhichvibrationsteadilydiminishesinamplitudeiscalleddamping.Indamping,theenergyofthevibrationsystemisdissipatedbyvariousmechanisms,andoftenmorethanonemechanismmaybepresentatthesametime.Inactualstructures,however,manyothermechanismsalsocontributetotheenergydissipation.Itseemsimpossibletoidentifyordescribemathematicallyeachoftheseenergy-dissipatingmechanismsinanactualstructure.使自由振动的振幅稳定减小的作用称之为阻尼。因为阻尼，振动体系的能量可由各种耗能机制耗散，并且常常是多于一种的机制同时展示。在实际结构中，许多其他机理也对能量耗散起作用，因此识别或采用数学描述这些能量耗散机理中的每一项似乎是不可能的。3.D’Alembert’sprincipleofdynamicequilibriumisbasedonthenotionofafictitiousinertiaforce,aforceequaltotheproductifmasstimesitsaccelerationandactinginadirectionoppositetotheacceleration.Itstatesthatwithinertiaforcesincluded,asystemisinequilibriumateachtimeinstant.达朗贝尔的动平衡原理是基于假想的惯性力的概念，惯性力等于质量与加速度的乘积，作用方向与加速度方向相反。该原理指出，将惯性力包括在内时，体系在每一眨眼都处于平衡。4.Numericalproceduresthatleadtoboundedsolutionsifthetimestepisshorterthansomestabilitylimitarecalledconditionallystableprocedures.Proceduresthatleadtoboundedsolutionsregardlessofthetime-steplengtharecalledunconditionallystableprocedures.Theaverageaccelerationmethodisunconditionallystable,whilethelinearaccelerationmethodandthecentraldifferencemethodareconditionallystable.倘若时光步长比稳定界限短，则导致有界解答的数值主意为条件稳定主意。不管时光步长的长短，均导致有界解答的主意为无条件稳定主意。平均加速度法是无条件稳定的，而线加速度法和中央差分法为条件稳定的。1、Lagrange’sequationsareadirectresultofapplyingHamilton’svariationalprinciple,underthespecificconditionthattheenergyandworktermscanbeexpressedintermsofthegeneralizedcoordinates,andoftheirtimederivativesandvariations.ThusLagrange’sequationsareapplicabletoallsystemswhichsatisfytheserestrictions,andtheymaybenonlinearaswellaslinear.ThefollowingexamplesshouldclarifytheapplicationofLagrange’sequationsinstructural›dynamicsanalysis.2、Becausethemode­shapematrixconsistsofNindependentmodalvectors,,itisnonsingularandcanbeinverted.Thus,itisalwayspossibletosolveequationdirectlyforthenormal­coordinateamplitudesinwhichareassociatedwithanygivendisplacementvector.Indoingso,however,itisunnecessarytosolveasetofsimultaneousequations,duetotheorthogonalitypropertyofthemodeshapes.

一、绪论0、绘制一幅逻辑框图来表达结构动力学的核心内容及其逻辑关系。1.结构动力分析的目的是什么？结构动力计算与静力计算的差异表现在哪些方面？(北工大)答：目的：决定结构的动力特性，以及动力荷载作用下结构的内力和变形。差异：（1）动力反应要计算所有时光点上的一系列解，比静力问题复杂且消耗更多的时光；（2）动力计算需要考虑惯性力和阻尼作用。2.广义力是标量还是矢量，它与广义坐标的乘积具有怎样的量纲？(北工大)4.按照荷载随时光的变化逻辑，动力荷载可以划分为哪两类？每类荷载又包括哪些类型，每种类型请给出一种实例。(北工大)5.结构离散化主意包括哪些，结构离散化主意的实质是什么？(北工大)

结构离散化主意包括哪些，采用的手法有什么不同？答：结构离散化主意包括：扩散质量法、广义坐标法、有限元法。

其实质是把无限自由度问题转化为有限自由度的过程。

扩散质量法：把延续分布的质量扩散到若干个点上；广义坐标法：定义若干个广义坐标和形函数；有限元法：广义坐标的异常应用。6.什么叫有势力，它具有怎样的性质？(北工大)7.简述结构动力学涉及的四类问题及其特点。答：第一类问题：反应分析（结构动力计算），已知结构和输入荷载，求解结构反应。第二类问题：参数（或称系统）识别，已知输入荷载及其反应，求解结构的特性参数。第三类问题：荷载识别，已知结构及其反应，求解输入荷载。第四类问题：控制问题，通过在结构体系中参加控制系统（能量或装置），来改变输入荷载下结构的动力反应。杜哈美积分可以用来计算单自由度系统在随意荷载作用下的动力响应。设多自由度系统受迫振动的运动方程为：，试简述用模态分析法计算多自由度系统在随意荷载作用下动力响应的求解过程。设多自由度系统无阻尼自由振动的运动方程为：，试简述用模态分析法计算多自由度系统在初始条件和下动力响应的求解过程。模态分析法求解过程。(4)模态分析法求解过程。9.阻尼对自由振动有什么影响？减幅系数的物理意义是什么？10.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？答：动力自由度是指结构体系在随意瞬时的一切可能变形中，决定所有质量位置所需的自立参数的数目。静力自由度是指决定体系在空间中的位置所需的自立参数的数目。前者是因为系统的弹性变形而引起各质点的位移分量；而后者则是指结构中的刚体因为约束不够而产生的刚体运动。11.若将结构动力学的内容分为六、七部分，分离是什么？主要包括哪些内容？第一部分绪论与概述第二部分运动方程的建立第三部分单自由度体系第四部分多自由度体系第五部分逐步积分法第六部分实用振动分析(动力自由度挑选)第七部分分析参数体系12.绘制结构动力学的核心内容的逻辑图，朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页二、运动方程（一）简答题1.建立质点系运动方程的主意有哪几种，其中属于标量主意的有哪些？(北工大)2.简述四种建立运动方程的主意及其各自特点。答：建立结构运动方程的常用主意有：D’Alembert原理、虚位移原理、Hamilton原理、Lagrange方程。（1）D’Alembert原理：一种容易、直观的建立运动方程的主意，得到广泛的应用。更重要的是D’Alembert原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些主意可以直接推广到动力问题。（2）虚位移原理：部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。（3）Hamilton原理：一种建立运动方程的能量主意(积分形式的变分原理)，倘若不考虑非保守力作的功（主要是阻尼力），它是彻低的标量运算，但实际上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。（4）Lagrange方程：和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个彻低的标量分析主意，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为艰难的处理对象。3.如下图所示的两层两跨的框架结构体系，体系的质量扩散在各个节点上。假定该体系只能在平面内运动。若同时考虑梁和柱的轴向变形以及各节点的转动惯性，每个节点有哪几个动力自由度，体系的动力自由度的总数是多少？若忽略梁和柱的轴向变形但考虑各节点的转动惯性，体系的动力自由度的总数是多少？它详细包含哪些动力自由度？(北工大)4.在举行结构动力反应的计算分析时，重力的影响如何考虑，这样处理的前提条件是什么？(北工大)答：考虑重力影响的结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程彻低一样，研究动力反应时可以彻低不考虑重力的影响；结构的总位移等于静力加动力解。这样处理的前提条件是加上结构是线弹性的，而且重力是在动力分析之前就已经存在。（二）计算题1、如图？所示的两自由度系统，弹簧的刚度系数为，质量通过一根长度为的无质量刚性杆绕质量块的中央摆动，为作用在上的水平力，

（1）挑选广义坐标体系；（4分）

（2）建立系统的运动方程。（12分）【刘章军P20】图？解：（1）设质量块中央点的直角坐标为，质量的直角坐标为。而系统的约束方程可写为：，(a)因此，系统有2个自由度。这里，选取和作为广义坐标。（2）质量的直角坐标可表示为：，直角坐标分量的速度为：，系统的动能和势能为：(b)下面，求相应于广义坐标和的广义力和。利用虚功条件(在两种坐标中主动力所作的虚功应相等)即可求得：(c)由式(c)可知，相应于广义坐标的广义力，而相应于广义坐标的广义力，则，(d)将式(b)和式(d)代人拉格朗日方程式中，并注重到。可得：(e)假设运动是极小的，与[例0-2]类似，式(e)可简化为：(f)1.如下图所示一质量为的质量块可沿光洁水平面运动，其右端与刚度系数为的弹簧相连，左端与阻尼系数为c的阻尼器相连。摆锤以长为的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。在如图所示的坐标系中建立以广义坐标和m1km2Luθ表示的体系的运动方程（坐标原点取静平衡位置）。(北工大)6.已知物块A的质量为m1，另一质点的质量为m2，两者通过一个无重刚杆铰接，物块可在光洁水平面上运动，并受到弹簧k和阻尼c的约束，受力如图？所示，试应用拉格朗日方程推导该体系的运动。（a）动力系统（b）运动及坐标暗示图？解：如下图所示选取广义位移,其中是相对于弹簧无变形时的位移。为便于公式推导，简写成。重力势能参考零点选取体系运动到无重刚杆铅垂时对应的位形。物块A的动能：质点B的位移：，质点B动能：体系的动能：体系的势能：体系的虚功：，，将上述各式代入拉格朗日方程，可得体系的运动方程：2.拉格朗日方程：武兰河例题3.4。3.求下图所示结构体系的自振频率和振型。4.拉格朗日法，二连杆，武兰河例题3.5。5.如图？所示的一质量为、长为L的匀称刚性直杆在重力作用下摆动。一扩散质量沿杆轴滑动并由一刚度为的无质量弹簧与摆轴相连，设体系无摩擦，并考虑大摆角，用图中的广义坐标和建立体系的运动方程。解：设弹簧原始长度（无伸缩状态）(1)(2)(3)(1)、(2)代入（3），当i=1时：(4)当i=2时：（4）、（5）即为所求运动方程。7.张亚辉例题2-28.分析图示体系的静力自由度和动力自由度，并利用D’Alembert原理建立体系的运动方程。（PPT第2章，选自北方工大课件）9.利用刚度法和柔度法求解运动方程系列：（PPT第2章，选自北方工大课件）（1）抗弯刚度无穷大的直杆上有两个扩散质量，试决定该体系的动力自由度并建立运动方程。（2）简支梁的右端为弹簧支承，跨中有一扩散质量，试建立该体系的建立运动方程。（3）简支折杆的竖杆上端有一扩散质量，水平杆中点受一简谐干扰力作用。10.对图2所示体系，（1）挑选广义坐标；（3分）（2）列出运动方程；（4分）（3）决定固有频率和阻尼比。（3分）【18年考题】图2答：⑴挑选A点的竖向位移作为广义坐标，如下图所示，画出如下图所示的隔离体图，⑵考虑AO段刚性杆平衡，取力矩平衡点（O点），得注重到，上式可改写为…①考虑AC段无质量刚性杆的平衡，对C点取矩，则有上式化为…②注重到…③由②、③式联立，求得代入式①中，得或改写为式中，⑶在无阻尼情况下，自振频率考虑阻尼影响时，阻尼比朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页三、单自由度体系（一）简答题1.结构地震反应分析的反应谱主意的基本原理是什么？(北工大)2.简述三种常见测量结构阻尼的主意。（刘：P61）3.阐述Duhamel积分的物理意义和适用条件。答：物理意义：把普通荷载分解成一些列脉冲，然后获得每一个脉冲作用下结构的反应，最后叠加每一脉冲作用下的反应得到结构总反应的解析解。使用条件：因为Duhamel积分采用了叠加原理，故只适用于弹性范围内而不能用于非线性分析。4.图1（a）、（b）是单自由度体系在简谐荷载下的响应特性曲线，

（1）指出图中横坐标、纵坐标的物理意义；

（2）说明简谐荷载作用下振动响应（含共振）的主要特性。（a）（b）图1简答题3答：（1）横坐标均为频率比，即荷载频率与固有频率之比，；图（a）的纵坐标为动力放大系数,图（b）的纵坐标为相位角。（2）当0<ξ<0.7时，结构反应显然放大(D约大于1.4)，其峰值浮上在频率比临近于1时(共振反应)，并随着阻尼比增大而疾驰衰减。注重到，当阻尼比ξ>0.7时，体系D<1.0，即不浮上放大效应。另外，β>2以后，阻尼比对几乎没有影响。当初β=0，D=1为静力反应。5.自振频率与。（刘：P45）6.共振7．动力放大系数8.绘制无阻尼体系在简谐荷载作用（零初始条件）下共振时的动力反应时程曲线，其共振反应是否瞬时趋于无穷大？为什么？其相邻循环的振幅增量有何特点？（石岩，刘：P53，Chopra：P52）答：当体系发生共振时，共振反应是逐渐增大的过程，而不是瞬时趋于无穷大的。9.下面的公式表示什么动力反应？该式表达了哪几种反应形态？分离有何特点？分离说明、和的物理意义。（石岩，刘：P54）答：表示有阻尼体系的简谐荷载反应（运动方程的全解）。

包括稳态反应和瞬态反应。

瞬态反应：振动频率等于体系的自振频率，因为阻尼的存在而迅速衰减为零；

稳态反应：以外荷载的激振频率振动，反映输入荷载的性质。、和分离表示有阻尼体系的圆频率、荷载的频率和二者的频率比。备注：还可以变动无数形式，比如放大系数，10.有阻尼体系的动力反应与施加动力荷载相位关系有何特点？频率比如何影响？共振时反应与荷载的相位差为多少？（石岩，刘：P57-58）答：存在反应滞后效应。频率比越大，动力反应的滞后时光越长。共振时差90°。11.决定等效粘滞阻尼比的原则是什么？滞变阻尼有何优点？（石岩，刘：P65）12.什么是地震反应谱？常见的反应谱有哪些？（石岩）13.什么是临界阻尼？其的物理意义是什么？在自由振动反应中不浮上震荡所需要的最小阻尼值。14．给图解释动力放大系数15．无阻尼、临界阻尼和低阻尼单自由度体系的自由振动各自有何特征？（二）计算题1.已知某单自由度体系的质量m=75t，刚度k=m/kN1200，不考虑阻尼的影响。其初始位移为u=cm0.1)0(，而t=s5.1时的位移为，试求：cm0.5（1）时的位移；（t=s5.22）自由振动的振幅u0；（3）若该体系的阻尼系数c×=5s/kg105.1，求体系的阻尼比ξ。(北工大)1.图2所示，一长为l，弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端有一质量为m的小球，小球又被支承在刚度为k2的弹簧上，忽略梁的质量，求系统的固有频率。图22.某单层厂房结构，可简化为单自由度体系。结构扩散质量m＝30000kg，柱（2根）总刚度为1200kN/m。阻尼比ξ为0.05，PGA为0.34g的ElCentro地震动记录的反应谱Sa（ξ=0.05）如图(b)所示。求解：（1）单层厂房在该地震动作用下柱子的最大受力和屋盖的最大位移反应；（2）该ElCentro地震动作用下，单自由度结构的最大动力放大系数；（3）对一刚性单自由度结构，在该地震动作用下结构的最大加速度地震反应。（石岩）(a)单层厂房结构(b)ElCentro地震动反应谱Sa图1解答：（1）体系周期T=2.0π/ω＝0.993s=1s；周期T=1秒对应的加速度反应谱值Sa=5m/s2，则柱子的最大受力F=mSa,代入m=30000kg，计算得到F=150kN；屋盖最大位移：。（2）从反应谱可知，ElCentro地震动下单自由度结构的最大反应Sa,max=9.0m/s2，最大动力放大系数Rd=Sa,max/PGA=9.0/3.4=2.65。（3）对一刚性单自由度结构，其周期临近于零，结构的最大加速度反应为Sa(T=0)=PGA=0.34g。3.如图1所示单层屋架结构，设BC杆的刚度，质量为m。先用一钢索给结构屋面施加一73kN的水平力使结构产生5cm的水平位移，然后骤然切断钢索使结构自由振动，发现经过2s，结构完成了4次振动，振幅变为2.5。由以上数据计算：（1）结构的阻尼比；（2）无阻尼自由振动的周期和圆频率；（3）阻尼系数；（4）振幅衰减到0.5cm时所需要的时光。图？解：阻尼比：因为使小阻尼系统，故系统无阻尼振动周期与实测周期近似相等，即无阻尼频率系统的刚度系统的等效质量阻尼系数由得所需要得时光3+.刘晶波例题3.2，附加质量3.如图1所示单层屋架结构，先用一钢索给结构屋面施加一100kN的水平力使结构产生5cm的水平位移，然后骤然切断钢索使结构自由振动，发现经过2s，结构完成了5次振动，振幅变为2.0。由以上数据计算：（1）结构的阻尼比；（2）无阻尼自由振动的周期和圆频率；（3）阻尼系数；（4）振幅衰减到0.5cm时所需要的时光。图？解：阻尼比：因为使小阻尼系统，故系统无阻尼振动周期与实测周期近似相等，即无阻尼频率系统的刚度系统的等效质量阻尼系数由得所需要得时光4.已知某单自由度体系的质量，刚度，不考虑阻尼的影响。其初始位移为，而时的位移为,试求：（1）时的位移；（2）自由振动的振幅；（3）若该体系的阻尼系数，求体系的阻尼比。（北工大，钟正午）解：（1）计算圆频率：无阻尼自由振动的解为：，代入上式得：所以（2）自由振动的幅值为：（3）临界阻尼阻尼比：4A.图E2-1所示建造物的分量W为889.6kN，从位移为3.048cm（t=0时）处骤然释放，使其产生自由振动。倘若t=0.64s时往复摆动的最大位移为2.184cm，试求求：

（1）侧移刚度k；

（2）阻尼比ξ；

（3）阻尼系数c。【克拉夫习题2-1】解：（1）侧移刚度k：（2）阻尼比ξ：（3）阻尼系数c：4B.假设图1所示结构的质量和刚度为m=8.755×105kg，k=3502kN/m，且不考虑阻尼。倘若初始条件(0)=4.572cm，而t=1.2s时的位移依然为4.572cm，试求（a）t=2.4s时的位移；（b）自由震动的振幅。【克拉夫习题2-3】图1解：5.ADDINCNKISM.UserStyle如下图所示的等截面匀称悬臂梁，其单位长度的质量为，抗弯刚度为，梁端有一扩散质量，试建立该悬臂梁的频率方程。(北工大，王浩浩)解：如图所示，设在悬臂端作用一个荷载，则荷载所产生的挠曲线形状为可求得此时梁的最大势能为梁的最大动能可以分成两部分计算：一部分为梁的最大动能，另一部分为所支承分量的动能其中，梁的动能为扩散质量的动能为则总动能为使最大动能和最大势能相等，得到频率方程为：6.如图？所示为一单层建造的计算简图。设横梁的刚度EI=∞，屋盖系统和横梁分量以及柱子的部分分量可以认为扩散在横梁处，设质量m=1×104kg。为了决定水平振动时门架的动力特性，举行以下振动实验：在横梁处加一水平力P=98kN，门架发生侧移u0=0.5cm，然后骤然释放，使结构自由振动。此时侧得周期T’=1.5s，并测得一个周期后横梁摆回的侧移为u1=0.4cm。计算：（1）结构的圆频率、阻尼比和阻尼系数；（2）振动5周后的振幅。（徐赵东例题3.1）图3.5单层建造计算简图解：（1）刚度：圆频率：阻尼比：阻尼系数：（2）振动5周后的振幅：。7.如图？所示为一单层建造的计算简图。设横梁的刚度EI=∞，屋盖系统和横梁分量以及柱子的部分分量可以认为扩散在横梁处，设质量m=1×104kg。为了决定水平振动时门架的动力特性，举行以下振动实验：在横梁处加一水平力P=392kN，m产生侧移20mm，然后骤然敞开，体系产生自由振动，振动4周后测得侧移为10mm。试求：（1）结构的阻尼比和阻尼系数；（2）振动10周后的振幅。（徐赵东例题3.2）图3.5单层建造计算简图解：（1）体系的刚度和周期、圆频率体系刚度：自振周期：圆频率：（2）阻尼比和阻尼系数：（3）振动10周后的振幅：因此，振动10周后的振幅为3.531mm。6.徐赵东例题3.2（三）计算题：广义单自由度体系1、决定如图1所示体系的广义物理特性，，和广义荷载，这些特性都按照位移坐标Z(t)定义。计算结果用所给物理特性及尺寸来表达。【克拉夫习题8-3】图1（1）变形图（2）参数（3）虚功原理2、决定如图3所示体系的广义物理特性，，和广义荷载，这些特性都按照位移坐标Z(t)定义。计算结果用所给物理特性及尺寸来表达。图23、决定如图3所示体系的广义物理特性，，和广义荷载，这些特性都按照位移坐标Z(t)定义。计算结果用所给物理特性及尺寸来表达。（提醒：这个体系仅有一个动力自由度；它是与质量m的转动惯量相联系。）【克拉夫习题8-5】图3解：朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页四、多自由度体系（一）简答题1.多自由度体系动力反应计算的振型叠加法的理论基础是什么？请写出这种性质成立的条件。(北工大)2.说明自振频率和自振振型的物理意义。(北工大)答：自振频率和振型是结构的固有属性，频率是指在单位时光内的振动次数。振型是结构不同自由度变化时的比例关系，是结构振动反应中最易发生的变形形态，，与结构的刚度、质量分布和边界约束条件有关。3.简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及适用条件分离是什么？答：振型叠加法的基本原理是利用了振型的正交性，既对于多自由度体系，必有：，（式中、为结构的第、阶振型，、为结构的质量矩阵和刚度矩阵）。利用正交性和正规坐标，将质量与刚度矩阵有非对角项耦合的N个联立运动微分方程转换成为N个自立的正规坐标方程（解耦）。分离求解每一个正规坐标的反应，然后按照叠加V=ΦY即得出用原始坐标表示的反应。因为在计算中应用了叠加原理，所以振型叠加法只适用于线性体系的动力分析。若体系为非线性，可采用逐步积分法举行反应分析。4.什么是振型的正交性？说明振型正交性的物理意义。答：振型的正交性是指在多自由度体系以及无限自由度体系中，随意不同频率的振型直接存在如下关系：，，其中。其物理意义包括两个方面：（1）某一振型的惯性力不会在其他振型上做功，从能量的角度来说，某一振型做简谐振动的能量不会转移到其他振型上。（2）与某一振型相关的等效静力在经历其他阶振型位移时所做的功为零。5.为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？6.写出Rayleigh阻尼矩阵的公式并解释其物理意义；当两个振型阻尼比相等时，写出比例系数的表达式及其量纲。答：Rayleigh阻尼假设结构的阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的组合：，和是两个比例系数，分离具有和s的量纲。两个振型阻尼比相等时，即时，。（二）计算题1.某两自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、激振力和振型如下：，，，。用振型分解法求解该系统正则坐标下的运动微分方程。（韩）答：根据，设正则坐标分离为和，则有或写成：上式即为解耦后以正则坐标表示的运动微分方程。3.已知三自由度体系的质量矩阵为，刚度矩阵为，其频率向量为，三个振型的振型向量分离为，，，体系的初始位移和初始速度向量分离为，，用振型叠加法求体系的自由振动反应。（北工大，李军）解：按照题意，有等式（1）其中为广义质量，则有（2）将与初始位移相关的振型坐标幅值写成矩阵形式，可得（3）将与初始速度相关的振型坐标速度写成矩阵形式，可得（4）按照已知质量矩阵和振型向量，得广义质量矩阵为由此可得则初始振型坐标幅值为；初始振型坐标速度为无阻尼结构每一个振型坐标的自由振动反应形式为（5）由此可得按照这些振型的结果，总算可由叠加关系获得三自由度体系的自由振动反应。4.振型叠加法(徐例4.10，P105，PPT上有文本)4.徐赵东例题4.15.如图2所示的一个两层剪切型框架结构，因为假定梁理想化为刚性梁，同时忽略柱的轴向变形，因而结构系统惟独两个平动自由度u1和u2。试求解：（1）决定结构系统的固有频率和振型。（2）无阻尼系统因为初始位移而产生的自由振动反应。（3）无阻尼系统因为初始位移而产生的自由振动反应，如图6-6(b)所示，其中。(刘章军例题6-5)（a）无阻尼体系（b）有阻尼体系图？解：(1)结构系统的固有频率和振型。结构系统具有两个平动自由度u1和u2，这样位移向量。结构系统的质量矩阵和刚度矩阵分离为：，其频率方程为：其中，。计算行列式(b)，可得到：求解方程式(c)得到两个根为，。于是，两个固有频率为：，将式(d)分离代入特征值问题中，并令特征向量的第二个元素，这样得到两个固有振型为：，6.张亚辉习题3-83.图1所示两质点动力体系，用D’Alembert原理求运动方程。图12.如图E9.2a所示，一个匀称刚性杆，总质量为，两端支撑在两个弹簧和上，承受动力作用。杆受到约束，只能在纸的平面内沿竖向移动。在这一约束下，体系具有两个自由度。对于两端的位移和，建立两个自由度的运动方程。(刘晶波：习题4.2，ChopraE9.2)解：（1）决定作使劲。外力没有作用在自由度方向，用虚功原理将其转化为沿自由度方向的等效力和。若沿自由度1引入虚位移，则外力所作的功为同理，等效力所作的功为由上述两组力所作的功相等，得类似的，引入虚位移，可得（2）决定刚度矩阵。（3）决定质量矩阵。（4）决定运动方程。7.刘章军例题6-1，刘晶波习题4.2.分离采用图6-1（a）与（b）所示的两组坐标，即与决定系统的固有频率和振型；并证实这两组坐标所决定的固有频率和振型相同。解：（1）系统在坐标下的运动方程可参见[例5-7]，因此，质量矩阵个刚度矩阵分离为：，于是，频率方程为：(a)将式（a）化简后，可得：(b)式（b）是关于ω2的二次代数方程，其解为：，(c)再将式（c）开平方根，即可得到固有频率ω1和ω2。将ω2＝ω12代入式（6-9）中，可得：(d)现在，挑选其中一个未知量为随意的非零数，譬如ū11＝1，则可以求出ū21＝0.366。于是，固有振型ϕ1可取为：(e)同样地，将ω2＝ω22代入式（6-9）中，给出：(f)挑选，则另一个未知量为。于是，固有振型ϕ2可取为：(g)图6-1(C)绘出了这两种振型情况。(2)采用第二组坐标描述的系统质量矩阵和刚度矩阵可参见[例5-8]。，(h)则频率方程为：(i)将式(i)化简后，得到：显然，这个频率方程与式（b）相同。因此，它给出的固有频率即为式（c）中的和。为了决定第i个固有振型，考虑式（6-9）中的随意一个方程，注重利用式（i），可以给出第一个方程为：或(j)将和代入式（j）中得到：，倘若取，则；倘若取，则。这样，两个振型可取为：，(k)图6-1（d）绘出了这两种振型情况。（3）采用这两组坐标所得到的固有频率是一致的。对于这两组坐标，振型分离由式（e）、式（g）和式（k）给出，从图6-1（c）和（d）可以看出，这两组振型具有等效性。固然，这种等效性也可以通过从一组坐标到另一组坐标的变换关系来证实。第一组坐标与第二组坐标之间的变化关系为：或（l）第二组坐标u2的两个振型由式（k）给出。将式（k）的第一个振型代入式（l）中，导出，并将向量归一化，得到，即为式（e）中的ϕ1。类似地，将式（k）中的第二组振型带入式（1），得到，即为式（g）中的ϕ2。8.武兰河例题3.19.9.如图？所示的一个具有2自由度的有阻尼系统，其中m=1.0kg，k1=987N/m，k2=217N/m，c1=0.6284N·s/m，c2=0.0628N·s/m，。试建立该体系的运动方程，并求解圆频率和振型。(求动力特性、矩阵、稳态反应。刘章军例题7-3)解：(1)系统的运动方程为:M其中：M=m00mK=k1+k2-无阻尼系统的特征值问题为:K-通过求解特征方程K-ω2ω12=将已知的k1、k2及m值代入式(c)ω1=31.42，ω而相应的振型为:ϕ1=119.求稳态反应。刘章军例题7-1.10.求锐利阻尼。刘章军例题7-2.10.如图？所示的结构由两个梁单元构成，试决定结构的自振频率和振型。梁的弯曲刚度均为EI（忽略轴向变形，采用扩散质量法，梁的质量扩散到梁端，而梁成为无质量梁）。【刘晶波例题4.4】解：梁的自由度选为水平梁右端的水平位移和竖向位移（如图4-6所示）。质量阵为柔度阵（用结构力学中的分析主意）为则刚度阵为（用结构力学中的分析主意）运动方程的特征方程令则特征方程可以表示为频率方程频率方程的两个根为代入得将和分离代入特征方程，由第二式得（令）结构振型图如下：

五、数值分析主意1.一种逐步积分主意的优劣，主要由哪些方面举行判断？(北工大)（1）收敛性：当初光离散步长Δt→0时，数值解是否收敛于确切解。（2）计算精度：截断误差与时光步长Δt的关系，若误差∝0（ΔtN）,则称主意具有N阶精度。（3）稳定性：随计算时光步数i的增大，数值解是否变得无穷大（即远离确切解）。（4）计算效率：所花费计算时光的多少。2.一种好的逐步积分算法必须具有哪些特点？(北工大)一个好的数值分析主意必须是收敛的、有充足的精度（例如2阶精度，满意工程要求）、良好的稳定性以及较高的计算效率。在逐步积分法的发展过程中，也确实发展了一些具有高精度但很费时的主意，因而得不到应用和推广。3.动力反应的数值分析主意是一种近似的计算主意，这种近似性表现在哪些方面？(北工大)4.解释动力反应数值分析主意中的显式主意和隐式主意。答：显式主意定义为：在每一时光步内计算新的反应值仅仅依赖于前面步已获得的量，所以分析直接从一步到下一步举行；隐式主意中，对给定步给出新值的表达式包含与本步有关的一个或多个值，因此必须假定所需量的试探值，然后通过延续迭代来改善。5.非线性分析时通常采用的迭代求解主意有Newton-Raphson法和修正的Newton-Raphson法，二者有何区别，其优缺点分离是什么？（石岩，刘：P149）6.简述如图？所示的Newton-Raphson法迭代过程。（石岩，笔记）7.数值分析中采用的Newmark-β法，当参数γ=0.5而β分离取何值时，可以得到哪些主意？答：β=1/4时，平均常加速度法；β=1/6时，线性加速度法；β=0时，中央差分法（冲击加速度法）。六、分布参数体系（一）简答题1.已知等截面直梁的偏微分运动方程为：（1）该方程中的4项分离表示梁振动时考虑的哪些因素？（2）按照考虑因素的不同，梁可分为哪几种？在上面的方程中如何体现？答：（1）第1项：纯弯曲的运动方程；第2项：转动惯量影响；第3项：剪切变形影响；第4项：剪切变形和转动惯量耦合影响（2）分为欧拉(Euler)梁和铁木辛柯(Timoshenko)梁；前者仅为第1项，后者方程中的4项都考虑。（二）计算题1.如下图所示的等截面匀称悬臂梁，其单位长度的质量为m，抗弯刚度为EI，梁端

有一扩散质量M=mL，试建立该悬臂梁的频率方程。（本题10分）(北工大)2.如下图所示的等截面匀称悬臂梁，其单位长度的质量为m，抗弯刚度为EI，梁端有一刚度系数为k的弹簧，试建立该悬臂梁的横向振动频率方程。(北工大)(4)如图所示的等截面悬臂梁，抗弯刚度为，单位长度的质量为，自由端固结的扩散质量，试建立梁横向自由振动的频率方程。（设梁无阻尼自由振动的普通解为，其中，频率参数与固有频率的关系为：。)(5)软土地基上的桩基础可简化为一端自由、一端弹性支承的等截面直杆。设桩长为，截面积为，单位体积的质量为，弹簧的刚度系数为，如图所示。已知杆作纵向自由振动的解为，其中，为由边界条件决定的固有频率，为纵波在杆中传扬的速度，试建立系统作纵向自由振动的频率方程。（三）证实推导题1.ADDINCNKISM.UserStyle设有如图？所示的非匀称简支梁(假设为Euler梁)，沿梁长度方向变化的抗弯刚度为，单位长度的质量为，作用在梁上的横向荷载及梁的横向位移均为随坐标和时光延续变化的函数，推导该梁的偏微分运动方程。图？解：取梁上任一截面处的微段为隔离体。该微段上除作用在两个截面上的弯矩、剪力和分布外荷载外，按照达朗伯原理，还有假设的惯性力，其中为分布惯性力，其大小等于分布质量与运动加速度的乘积，即。如图2所示，该微梁段在运动过程中处于动平衡状态。由竖向力平衡条件，得到第一个平衡方程(1)收拾得：(2)由力矩平衡条件，对微段右截面和轴的交点取矩，得到第二个平衡方程(3)略去式中的高阶微量，收拾得(4)将式（4）代入式（2），得