2023-2024学年青岛市58中高二数学第二学期期初检测卷附答案解析

-2024学年青岛市58中高二数学第二学期期初检测卷2024.2注意事项：1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.第I卷为选择题，共58分；第II卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟.2.第I卷共2页，请将选出的答案标号（A､B､C､D）涂在答题卡上.第II卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线和直线垂直，则的值为（

）A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-12．双曲线的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（

）A．B．C． D．3．若数列满足，且，，则（

）A． B． C． D．4．已知非零向量不共线，如果，则四点（

）A．共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．共面 D．不共面5．函数的部分图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

6．在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知，若存在，使得，则的取值范围为（

）A．B．C． D．二､多选题：共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得2分､3分或4分.有选错的得0分.9．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（

）A． B．的一个周期是4C．是偶函数 D．10．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于两点，点为劣弧上不同于的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则下列四个命题中正确的是（

）A．点的纵坐标的取值范围是B．等于点到抛物线准线的距离C．圆的圆心到抛物线准线的距离为2D．周长的取值范围是11．公比为的等比数列满足：，记，则下列说法中正确的有（

）A．B．C．当取最小值时，D．当取最小值时，使成立的最小值是17.第II卷三､填空题：本题共3小题，每小题满分5分，共15分.12．数列满足，求数列的通项公式为.13．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，分别是的中点，过点的平面记为，则平面截直四棱柱所得截面的面积为.

14．已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为6，其中一条渐近线方程为，点，若点在双曲线上，且满足，则外接圆的面积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.15．如图，在以为顶点的五面体中，平面为等腰梯形，，平面平面.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.16．已知函数，(1)若，求函数在处的切线方程：(2)若恒成立，求实数的取值范围.17．若数列满足：对，都有（常数），则称数列是公差为d的“准等差数列”.(1)数列中，，对，都有.求证：数列为“准等差数列”，并求其通项公式；(2)数列满足：.将（1）中数列中的项按原有的顺序插入数列中，使与之间插入项，形成新数列.求数列前100项和.18．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点.①求证：点在定直线上，②求的面积的最大值.19．函数.(1)若函数在上存在极值，求实数的取值范围；(2)若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；(3)是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.1．B【分析】由两直线垂直直接计算.【详解】由两直线垂直可知，解得或，故选：B.2．D【分析】根据双曲线的标准方程表示焦距长，进而求出，得到双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线的焦距长为8，所以，，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D.3．A【分析】根据已知推导出数列的首项，并得到为等比数列，根据等比数列求和公式求解.【详解】令，根据已知可得，令，则，所以，所以数列是首项和公比都为的等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列前项之和.所以.故选：A4．C【分析】根据空间向量共面定理即可得解.【详解】因为，显然不共线，则三点不共线，所以，所以共面，又为公共始点，所以四点共面.故选：C.5．D【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D.【详解】因为定义域为，，所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B；因为，，所以，故C错误，D正确，故选：D.6．A【分析】建系，借助空间向量线面角的求法，求出与底面所成角的正弦值.【详解】如图分别以所在直线为轴､轴､轴建立直角坐标系，由已知，得，则重心，因而，设与底面所成的角为，则.故选：A.7．B【分析】由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的最大值.【详解】连接，如下图所示：设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，由向量线性运算可知正方体的棱长为2，则球的半径为1，，所以，而所以，即，的最大值为2故选：B8．A【分析】先讨论、与1的大小关系确定，进而确定的取值范围，再结合函数的单调性进行求解.【详解】①当时，则，，又由，得，所以，则；②当时，因为，，所以不存在，使得；③当时，则，，又由，得，则，，令，因为当时，，所以在上单调递增，所以，则；综上所述，得取值范围为，故选：A.9．BC【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得，从而可判断C项，在中，令代入计算可判断D项.【详解】因为函数是奇函数，，所以，所以，即：，故的周期为4，所以，故的一个周期为4，故B项正确；，故A项错误；因为函数是奇函数，所以，所以，即：，所以为偶函数，故C项正确；因为，所以，令，可得，解得：，故D项错误.故选：BC.10．BCD【分析】画出图形，然后得出抛物线的焦点坐标和准线方程，圆的圆心和半径，两点的纵坐标，然后逐一判断即可.【详解】圆的圆心为，半径，与正半轴的交点为，抛物线的焦点为，准线为，联立圆的方程和抛物线的方程可得两点的纵坐标为3，所以点的纵坐标，故A错误，由抛物线的定义可得等于点到抛物线准线的距离，故B正确，圆的圆心到抛物线准线的距离为2，故C正确，的周长为，故D正确.故选：BCD11．BCD【分析】由，得判断A；依题意，，构造函数，求导根据单调性求出取极小值，得到，判断B；依题意取最小值为，求出判断C；根据，求出，进而得到使成立的最小值，判断D.【详解】选项A：是等比数列，，故A错误；选项B：又，所以，设函数，当时，时，单调递增，当时，，单调递减，在时，取最小值，故B正确；选项C：由题意，故C正确；选项D：，故D正确，故选：BCD.12．【分析】根据递推公式，累加即可求解.【详解】由，可得，将上述式子累加，得，所以，又因为满足上式，所以，因为，所以，故答案为：.13．【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可.【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，所以平面截直四棱柱的截面为五边形.由平行线分线段比例可知：，故，故为等腰直角三角形，所以，故，则，.连接，易知，所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分，等腰梯形的高，则等腰梯形的面积为.又，所以五边形的面积为，

故答案为：.14．【分析】根据双曲线焦距为求出，根据双曲线渐近线方程即可求出双曲线方程，根据，利用，即可求出，设，根据数量关系列出关于的等式即可求出，根据正弦定理求出外接圆的半径即可求解.【详解】

因为双曲线焦距为，所以，因为双曲线渐近线方程为，所以，根据，所以，，所以，因为，，所以，因为，所以，因为，所以，因为，因为点在第一象限，所以，所以，设，所以，所以，所以，因为，所以外接圆半径为，所以外接圆的面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出，设，根据数量关系列出关于的等式即可求出的分析.15．(1)证明见解析(2).【分析】（1）作于H，连BD，证明，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理作答.（2）在平面内过点P作，以P为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【详解】（1）在等腰梯形中，作于，连，则，且，则，即，而，因此，，即，因面面，面面平面，而，则平面，又平面，于是有，又平面，则有平面又平面，因此，（2）在面内过点作，因面面，面面，则面，因此，两两垂直，以点为原点，建立如图直角坐标系，令，则，有，从而得，设平面的一个法向量，则,令，得，设直线与平面所成角为，则有，所以直线与平面所成角的正弦值为.16．(1)(2)【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜率式方程可得切线的方程；（2）当时，，恒成立，当时，恒成立，即，构造函数，借助导数，得到在单调递减，得到答案.【详解】（1）当时，，，，所以，所以在处的切线方程，即（2）时，恒成立，即恒成立①时，，恒成立②时，恒成立，即令令时，，即恒成立，则在单调递增，，所以时，时，，所以恒成立，即在单调递减，，所以17．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据准等差数列的定义证明即可，然后分奇偶求出数列的通项即可；（2）由题意可知，在数列的前100项中，数列一共有94项，共中47项为奇数项，47项为偶数项，数列一共有6项，再利用分组求和法即可求出答案.【详解】（1）∵，∴，两式相减得，所以数列为“准等差数列”，∵，∴，∴的奇数项成以2为首项，2为公差的等差数列，故，，的偶数项成以0为首项，2为公差的等差数列，故，，综上可得；（2）由题意可知，在数列的前100项中，数列一共有94项，共中47项为奇数项，47项为偶数项，数列一共有6项，∴.18．(1)(2)①证明见解析；②.【分析】（1）根据题意列出关于的方程，可求得答案;（2）①当直线斜率不为0时，设直线方程为，并联立椭圆方程，得到根于系数的关系式，求得相关点的坐标，进而得到证明；②利用三角形面积之间的关系得到，将换元，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题知，因为的面积为1，所以.又直线的方程，即，因为点到直线的距离为，所以，解得，所以陏圆的方程为.（2）①由题意，当直线斜率为0时，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，得，易知.设，则，因为轴，轴，所以，所以直线

(1)，直线

(2)，联立(1)(2)解得，所以点在定直线上②因为与直线平行，所以因为所以，令所以当且仅当是等号成立所以的面积的最大值为.19．(1)(2)(3)存在，证明见解析【分析】（1）由题意可得函数在区间上存在极值，即在上有实数解，利用导数解得即可；（2）由（1）可得在上单调递减，故时，恒有，等价于，在上恒成立．令，则上述问题等价于函数在上单调递减，利用导数解得即可；（3）由（1）知，在时，，．结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明在内有一解，即在内有一解，令，利用判断函数的单调性，证明函数在上有零点，即可得出结论．【详解】（1）由得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，，，解得，即实数的取值范围是.（2）由（1）知在上单调递减，，由得，即，恒成立.令，则上述问题等价于函数在上单调递减，又在上恒成立，得在上恒成立，而