中考数学一轮复习精讲精练(全国通用)第二讲 一元二次方程及其应用-满分之路（解析版）

模块二方程(组)与不等式(组)第二讲一元二次方程及其应用知识梳理夯实基础知识点1:一元二次方程及其解法适用情况方程的根直接开平方ax²+bx+c=0(a≠0,△≥0)→公式法因式分解法知识点2:一元二次方程根的判别式一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的判别式方程实数根方程实数根易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件知识点3:一元二次方程的根与系数关系(韦达定理),知识点4:一元二次方程的应用变化率问题(3)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)”=b;当m为平均下降率，b为下降后的量时，a(1-m)"=b利率问题本息和=本金+利息利息=本金×利率×期数销售利润问题纯利润=销售总额-进货总额-其他费用单循环问题若共有n个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛n(a-)场直击中考胜券在握1.(2023·临沂中考)方程x²-x=56的根是()A.x₁=7,x,=8B.x=7,x,=-8C.x₁=-7,x,=8D.x₁=-【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项.【详解】Ex₁=-7,Xz=8.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.2.(2023·丽水中考)用配方法解方程x²+4x+1=0时，配方结果正确的是()A.(x-2)²=5B.(x-2)²=3C.(x+2)²=5D.(x+2)²=3【答案】D【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，式写成平方形式即可.【详解】【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方.3.(2023·聊城)关于x的方程x²+4kx+2k²=4的一个解是-2,则k值为()【答案】B【分析】【详解】解关于k的一元二次方程得：k=0或4,【点睛】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键.【答案】A【分析】【详解】解：园一元二次方程x²-3x+1=0的两根为x₁,x₂,【点睛】本题主要考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，熟练掌握ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x;,x₂,则,是解题的关键.,5.(2023·台州中考)关于x的方程x²-4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A.m>2B.m<2【答案】D【分析】【详解】解：团关于x的方程x²-4x+m=0有两个不相等的实数根，【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则判别式高、广各几何?”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈(1丈=10尺),那么门的高和宽各是多少?”如果设门的宽为x尺，则可列方程为()A.x²+(x+6)²=10²B.x²+(x+6)²=1²C.x²+(x-6)²=10²D.x²+(x-6)²=12【答案】A【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可.【详解】【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正7.(2023·烟台中考)已知关于x的一元二次方程x²-mnx+m+n=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定的正负，即可判断.【详解】RB=m²n²-4(m+n),m²n²>0,【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别进行判断.8.(2023·江苏如皋·八年级期末)某省正加速布局以5G等为代表5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x,根据题意列方程，得()A.6(1+x)²=17.34B.17.34(1+x)²=6C.6(1-x)²=17.34D.17.34(1-x)²=6【答案】A【分析】根据2020年底及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【详解】即6(1+x)²=17.34.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元9.(2023·龙东中考)已知关于x的一元二次方程标kx²-(2k-1)x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0;由方程有两个不相等的实数根，得出“>0”,解这两可得到k的取值范围.【详解】【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式(组)的解集等，本题对学生的计算10.(2023·内蒙古·呼和浩特市敬业学校九年级期中)如图，把一块长为40cm,宽为30cm四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600cm²,设剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为()A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=600【分析】设剪去小正方形的边长是xcm,则纸盒底面的长为(40-2x)cm,宽为(30-2x)cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm²,即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm,则纸盒底面的长为(40-2x)cm,宽为(30-2x)cm,根据题意得：(40-2x)(30-2x)=600.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键.A.7B.7或6C.6或-7D.6【分析】结论.【详解】【点睛】A.1B.-1【分析】【详解】故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键.13.(2023·上海中考)若一元二次方程2x²-3x+c=0无实数根，则c的取值范围为【分析】【详解】解：关于x的一元二次方程2x²-3x+c=0无实数根，Bc的取值范围是,【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠O)的根的判别式R=b²-4ac:当@>0,方程有两个不相等的实数根；当B=0,方程有两个相等的实数根；当0<0,方程没有实数根.14.(2023·全国·九年级专题练习)已知m是一元二次方程x²+x-6=0的一个根，则代数式m²+m的值等【答案】6【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m²+m=6即可.【详解】解：Bm为一元二次方程x²+x-6=0的一个根.故答案为6.【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.15.(2023·全国·九年级专题练习)设x,x₂是关于x的方程x²-3x+k=0的两个根，且x₁=2x₂,则k= 【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3,求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可.【详解】故答案为：2.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公ax²+bx+c=0(a≠0),其两根之和为,两根之积为【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出x+x₂以及x;x₂,然后根据条件变形代入求解即可.【详解】。【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记基本公式，并灵活进行变形是解题关键.【答案】-3【分析】【详解】的两个根分别是x;,x,解：园一元二次方程的两个根分别是x;,x,,,【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系：是解本题的关键.18.(2023·全国·九年级单元测试)关于x的方程x²-2mx+m²-m=0有两个实数根a,β.则 【答案】3【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得α+β=2m,aβ=m²-m,再根据方程，解方程即可得m的值.【详解】可得一个关于m的化成整式方程为m²-3m=0,解得m=0或m=3,故答案为：3.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键.【答案】3【分析】将n²+2n-1=0变形为出答案【详解】.据此可得是方程x²-2x-1=0的两根，再根据根与系数的关系即可得【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m,是方程x²-2x-1=0的两根现水稻亩产700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产1008公斤的目标.如果第二阶段、第三阶段水稻亩产量的增长率相同，则这两年的平均亩产增长率为.【答案】20%(或0.2)【分析】设亩产量的平均增长率为x,根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量×(1+增长率)?,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】解得：x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不合题意，舍去).答：亩产量的平均增长率为20%.故答案为：20%(或0.2).【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程.21.(2023·襄阳二模)要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划共计持续7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者共邀请了支球队；【答案】8【分析】值代入即可.【详解】解；设每支球队都需要与其他球队赛(x-1)场，但2队之间只有1场比赛，解得：Xi=-7(不合题意舍去),x₂=8,答：比赛组织者应邀请8队参赛.故答案为：8.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.22.(2023·阜宁一模)据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万.已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了人.【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，再根据“经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎”建立方程，解方程即可得.【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人由题意得：1+x+x(x+1)=144,解得x=11或x=-13<0(不符题意，舍去),即每轮传染中平均每人传染了11人，故答案为：11.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键.23.(2023·兰州中考)解方程：x²+4x-1=0.【详解】试题分析：方程变形后，利用配方法求出解即可.考点：解一元二次方程-配方法24.(2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)解方程：x(x-7)=8(7-x).【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可.【详解】【点睛】本题考查了解一元二次方程一因式分解法，解题的关键是找准公因式.25.(2023·辽宁台安·九年级期中)按照要求解方程：(1)x²-2x-8=0(配方法);(2)5x²-3x=x+1(公式法).【答案】(1)x₁=4,xz=-2;(2),x=1.【分析】(1)按照配方法的过程求解即可；(2)将方程化为一般形式，然后利用公式法求解即可.【详解】解：(1)方程移项得：x²-2x=8,(2)方程整理得：5x²-4x-1=0,这里a=5,b=-4,c=-1,【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，涉及了配方法和公式法，解题的关26.(2023·北京中考)已知关于x的一元二次方程x²-4mx+3m²=0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值。【答案】(1)见详解；(2)m=1【分析】(1)由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；(2)设关于x的一元二次方程x²-4mx+3m²=0的两实数根为x₁x₂,然后根据一元二次方程根与系数的关【详解】(2)解：设关于x的一元二次方程x²-4mx+3m²=0的两实数根为xj,x₂,则有：【点睛】27.(2023·菏泽中考)列方程(组)解应【详解】【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌则x=6.则x-3=0或3-x-3=0,【分析】【详解】两边同除以(x-3),得则x=6.小霞：移项，得3(x-3)-(x-3)²=0,解得x₁=3,x₂=6.【点睛】29.(2023·山西中考)2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示),若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65,求这个最小数(请用方程知识解答).451五29六3【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8,设最小数为x,则最大数为x+8,结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可.【详解】解得x=5,x₂=-13(不符合题意，舍去).答：这个最小数为5.【点睛】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得30.(2023·宜昌中考)随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和