压轴小题10 迎刃而解平面解析几何综合问题（原卷版）

压轴小题10迎刃而解平面解析几何综合问题压轴压轴秘籍点到直线的距离公式点，直线，点到直线的距离为：两条平行线间的距离公式，，直线与圆的位置关系直线，圆代数关系，几何关系圆上一点的切线方程圆与圆的位置关系设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；两圆内含，公切线的条数为0条；弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有：则或：椭圆离心率，双曲线离心率，椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）双曲线焦点三角形面积公式：抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有6.椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:公式2:变形证明:公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率证明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则证明:由正弦定理有.公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或7.双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则证明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率证明:由正弦定理,有即又公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或8.椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为AB,过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕着定点Pm,0转动时,则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.

其中,当P点为左(右)焦点时9.双曲线中的阿基米德三角形设双曲线C:x2a2-y2b2=1a,b>0的弦为AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕者定点Pm,0转动时,则其所对顶点Q落在直线x=a2m上.

其中,当P点为左(右)焦点时10.抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为AB,过A，B阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+c=底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为p在阿基米德三角形中,∠AF⋅抛物线上任取一点I(不与A,B重合),过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接AI,BI,则△压轴训练压轴训练一、单选题1．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（

）．A． B．C． D．15．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考二模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．9．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为（

）A． B．2 C． D．10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．11．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．二、多选题12．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（

）．A．若，则点的轨迹为圆B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分C．存在唯一的一组点，使得D．的取值范围是13．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）若点P是棱长为2的正方体表面上的动点，点M是棱的中点，则（

）A．当点P在底面内运动时，三棱锥的体积为定值B．当时，线段长度的最大值为4C．当直线AP与平面所成的角为45°时，点P的轨迹长度为D．直线DM被正方体的外接球所截得的线段的长度为14．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（

）A．的最小值为4B．当时，C．四边形面积的最大值为16D．为定值15．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（

）A．当时， B．当时，C．存在使得 D．存在使得16．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知经过点的圆C的圆心坐标为(t为整数)，且与直线l：相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（

）A．圆C的标准方程为B．若，则实数a的值为C．若，则直线m的方程为或D．弦AB的中点M的轨迹方程为17．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线，抛物线，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有（

）．A．直线是曲线和的公切线；B．曲线和的公切线有且仅有一条；C．最小值为；D．当轴时，最小值为．18．（2023秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（

）A．若直线的斜率为，则B．使得为等腰三角形的点有且仅有四个C．点到两条渐近线的距离乘积为D．已知点，则的最小值为519．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（

）A．直线AB过定点(－1，2) B．MN的最小值为C．∠MPN为锐角 D．最小值为－120．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（

）A．若直线l经过焦点F，且，则B．若，则直线l的倾斜角为C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切21．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆.过点作斜率分别为和的两条直线，，其中与交于两点，与交于两点，且，则（

）A．的离心率为 B．C． D．四点共圆22．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（

）A．点的横坐标的取值范围是B．的取值范围是C．面积的最大值为D．的取值范围是23．（2023·江苏·高三专题练习）设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（

）A．的最大值为B．直线的斜率乘积为定值C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或D．直线过定点24．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（

）A．当时，的斜率为2 B．当时，C．当时，符合条件的直线l有两条 D．当时，符合条件的直线l有四条25．（2023·江苏盐城·校考三模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（

）A．椭圆的蒙日圆方程为B．记点到直线的距离为，则的最小值为C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为D．的面积的最小值为，最大值为26．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（

）A．的最小值为8B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6C．为定值D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为27．（2023·江苏·统考模拟预测）椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线：，下列结论正确的是（

）A．曲线关于点对称B．曲线关于直线对称C．当时，曲线上点的横坐标的取值范围为D．若曲线上存在位于y轴左侧的点，则28．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（

）A．若，则B．若，则直线的斜率为C．不可能是正三角形D．当时，点到的距离的最小值为29．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，，为垂足，则（

）A．当点的坐标为时，直线的方程为B．设，则的最小值为4C．D．30．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动圆（），则下列说法正确的是（

）A．存在圆经过原点B．存在圆，其所有点均在第一象限C．存在定直线，被圆截得的弦长为定值D．所有动圆仅存在唯一一条公切线三、填空题31．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）设椭圆T：的右焦点为F，过点的直线l与椭圆交于点A，B，M为AB的中点，使得是、的等比中项，则a的最小整数值为32．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在两点处的切线交于点，则弦的长为.33．（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为．34．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知直线与双曲线C：交于点，.为C上一点，且，，则△PAB的面积最大值为.35．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知点在抛物线上，过点A作圆的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为．36．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的动直线与圆交于点，，若的面积最大值为，则的最大值为.37．（2023·江苏·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为