卷03（解析版）-2023年高考数学预测卷(天津卷)

2023年高考金榜预测卷（三）

数学（天津卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.本试卷分第I卷（选择题）和第I［卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分.每小题给出的四个选项

只有一个符合题目要求.

X

1.已知集合A={xeN∣Y-2X≤3^B=<x∈R≤0,则AC(45)=()

X—2

A.{3}B.{0,3}C.{2,3}D.{0,2,3}

【答案】C

【详解】解：A={xeN∣√-2x≤3}={Λ≡N∣-l≤x≤3}={0,1,2,3),

X得｛tU"解得。≤x<2,

由≤0

x—2,

所以8=[X∈RM≤0∣=[0,2),

所以48=(-∞,0)u[2,+∞),

所以Ac(4B)={2,3}.

故选：C.

u,,u,,

2.∣<∣⅛log2α>log2⅛β<j().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若a=T,6=-2,则满足而不满足Iog2α>log2b,

当log24>log,b时，a>b>0,所以二>二>0,即

αbab〃。

所以，q<：，，是，，log?a>Iog2b”的必要不充分条件，

故选：B

3.已知α=log32,6=ln2,c=203,则。也C的大小关系为（）

A.a>h>cB.Oa>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【详解】解：由题意

Iog23>log,e>1

I1,,

a=---<--------=⅛<1

Iog23Iog2e

ob>a

故选：D.

4.像“3,4,5”这样能够成直角三角形的数称为勾股数，又称为（）

A.毕达哥拉斯数B.杨辉数C.拉格朗日恒等数D.三角数

【答案】A

【详解】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，

故勾股数又称为毕达哥拉斯数.

故选：A.

5.函数/（x）=5∕在［-3,3］上的大致图象为（）

【答案】C

【详解】函数/(χ)定义域为R,/(T)=二/：1=-⅛⅞Γ=T(X)'即函数/(X)是奇函

数，其图象关于原点对称，排除B；

而/(I)=Hl>1,排除D,又/(3)=6二e<2<l,排除A,选项C符合题意.

28282

故选：C

22

6.已知双曲线C:]-马=1(a>0/>0)的左，右焦点分别为耳，F2,A为C的左顶点，

ab~

5π

以耳苞为直径的圆与C的一条渐近线交于P,Q两点，且NPAQ=则双曲线C的离心

O

率为()

A.2√3B.噜C.√13D.浮

【答案】C

【详解】如图，由题意可得：OP=OQ=C,OA=a,

不妨设渐近线/：y=2x,即直线/的斜率加=2,则tanNAOP=-2,故

aaa

cosNAoP=-cosZ.AOQ=--,

在&AOP中，AP2=OA2+OP2-2OAOPcosZAOP=a2+c2-2×a×c×∖--]=3a2+c2,即

AP=y∣3a2+c2>

在AAOQ中，AQ2-OA2+OQ2-2OAOQ∞sZAOQ=a2+c2-2×a×c×-=c2-a2,即

AP=y∣c2-a2>

在4APQ中，PQ2=AP2+AQ2-2AP-AQcosZPAQ,即

4C2=3a2+C2+C2-a2

整理可得:c4-14α2c2+13a4=0,即e,-14/+13=0，解得e?=13或1=1(舍去),

故双曲线C的离心率为J万.

故选：C.

yl

≡■

7.一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两个底面和三个侧面

都相切，若棱柱的体积为48石，则球的表面积为（）

A.16πB.4πC.8πD.32π

【答案】A

【详解】由题意，设正三棱柱的底面边长为

则其内切球的半径为'且〃=迫所以正三棱柱的高为/?=2-=立4,

3263

又棱柱的体积为丫邛邛/?=9=48石’得a=45

所以球的表面积为S=4π∕=4ττ{*∙α）=^a2=16π.

故选：A.

8.一种药在病人血液中的量不少于1500,咫才有效，而低于500,四病人就有危险.现给某

病人注射了这种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物

的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附:

Ig2≈0.3010,Ig3≈0.4771,结果精确到0.M）

A.2.3小时B.3.5小时C.5.6小时D.8.8小时

【答案】A

【详解】设应在病人注射这种药X小时后再向病人的血液补充这种药，

贝IJ500≤2500x(1-20%)*≤1500,整理可得：0.2≤0.8'≤0.6，

log0,80∙6≤X≤Iog080.2,

lg2

Iog080.6=度处=处」=吆2+怆3-1X2.3,Iog080.2=更空=~1≈7.2,

08Ig0.8lg8-l31g2-l08Ig0.831g2-l

.∙.2.3≤x≤7.2,即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.

故选：A.

(x-2)IΠ(Λ+l),-ɪ<x≤m,

已知加＞函数（）

9.0,/x={cost3x÷-l,∕n<x≤π,恰有3个零点，则机的取值范围是（）

兀5π)Γ,3π^「兀5兀1Γn3π^∣C(C5π∖3兀、(t.5兀)Γ,3π

心适Bc∪

A∙IM∙⅛^1rτj∙Kd[2,jD.[θ,-J^2,τ

【答案】A

【详解】设g(x)=(x-2)In(X+1),MX)=COS(3x+?}

r-23

求导g'(X)=In(X+1)+——=ln(x+1)+1一一—

'x+1x+1

由反比例函数及对数函数性质知g'(χ)在(T间,加>0上单调递增，

且g'(∖<0,g'(l)>0,故g'(χ)在加内必有唯一零点X。，

当X∈(T,Λ⅛)时,g,U)<0,g(x)单调递减;

当xe(Λ0,m]时，g<x)>0,g(x)单调递增；

令g(x)=O,解得X=O或2,可作出函数g(x)的图像,

令MX)=0,即3x+J=∣→左肛上eZ,在(0,句之间解得X=T或技或3,

作出图像如下图

故选：A

二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线

上.)

1-i..

10.复数Z满足^=T+2i,则IZI=.

【答案】叵

5

【详解】由题⅞∙z=上-=(IT)(THi)=厘J

1件醉J田超惠-l+2i(-l+2i)(-l-2i)55'

-Bin，

故答案为：包■

5

11.函数F(X)=X(InX-1),g(x)=αx+b(α,heR),若α=l时，直线y=g(x)是曲线/(x)

的一条切线，则匕的值为.

【答案】Y

【详解】当。=1时，g(x)=x+"∕'(x)=lnx,设切点为A(Λ0,/(%)),

因为g(x)=x+b是/(χ)的一条切线，

所以/'(%)=ln⅞=l,解得Xo=e,

所以%)=f(e)=0,

又切点A(e,0)在切线y=x+6匕

所以O=e+b,得Z?=-e.

故答案为：Y

12.在(石-2)的展开式中，不含Y的各项系数之和为.

【答案】TIl

【详解】令X=I可得各项系数之和为(1-2)8=1,

二项展开式的通项公式为J=CX=(-2)'Cx~r,r=0,l8,

令手1=2,则厂=2,

故含一项的系数为(-2)2(^=112,则不含一的各项系数之和为ιτi2=Tll.

故答案为：TlL

13.接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自2021年1月9日起实施全民免费接

种新冠疫苗.截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗(腺病毒载体疫苗、新冠病

毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗)供接种者选择，每位接种者任选其中一种.若5人去接种

新冠疫苗，恰有3人接种同一种疫苗的概率为.

…才40

【答案】—

o1

【详解】由题意，每位接种者等可能地从3种任选一种接种，

山分步乘法计算原理知，共有3$=243不同的结果，

恰有3人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有C；种结果，

这个小团体有3种疫苗可选，另外两人各有2种疫苗可选，故共有C"3x22=120种，

故恰有三人接种同一种疫苗共有120种不同结果，

由古典概型概率计算公式得：/,=-.

243ol

故答案为：940

o1

14.已知.ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2,圆M为.√1BC的外接圆，

ME=；(MA+MB),则MEAB=；若P为圆M上的动点，则PM∙FE的取值范

围为.

【答案】0[2-^,2+√2]

【详解】在等腰直角；/WC中，AB=AC=2,由ME=；(MA+MB)得，点E是弦AB的中

点,

在圆M中，MELAB,因此ME∙A8=0;

依题意，以圆M的圆心M为原点，直线CB为X轴，点A在y轴正半轴上，建立平面直角

坐标系，如图,

=2,因为P为圆M上的动点,

设P(√2cosθ,&sin6∙)(0<θ<2π),

PM=(-75cosθ,-72sinθ),PE=(------41cosθ,--------gsin。)，

22

于是得PM∙PE=2cos2^+2sin2e-cos6-sin0=2-&sin(9+匹),

4

而E≤6+f<"，因此当。=£时，(PM∙PE)min=2-√L当。=毛时,

44444

(PM-PE)nm=2+42,

所以PΛ∕∙PE的取值范围为[2-JΣ,2+√Σ].

故答案为：0;[2-√2,2+√2]

15.已知函数=g(x)=∣x(x-2)∣,则〃g⑵)=,若方程

/(g(x))+g(x)-w=O的所有实根之和为4,则实数m的取值范围是.

【答案】1m<∖

【详解】g(2)=0,贝ιj∕(g(2))=∕(θ)=2°=l

令r=g(χ),则M=O的实根个数即

函数y=∕(χ)与函数y=m-χ图像交点个数

当R>I时，函数y=∕(χ)与函数y=m-χ图像有1个交点，且交点横坐标大于1,

即g(x)=f>1,函数y=g(x)与函数y=f(f>l)有2个交点，

则方程f(g(x))+g(x)-机=0有两根，且两根和为2,不符合题意；

当机=1时，函数y=∕(x)与函数V=6一》图像有2个交点，6=0也=1

即g(x)=0或g(x)=l,则Xl=O或七=1或X3=2,

则方程f(g(x))+g(x)-m=0有3个根，且3根和为3,不符合题意；

当施<1时，函数y=f(χ)与函数丁=加一%图像有2个交点，tj<0,0<r4<1

即g(x)=q<。或g(x)=f4,0<Q<l

函数y=g(χ)与函数y=4(4<0)无交点，不符合题意；

函数y=g(χ)与函数y=∕4(o<L<ι)有4个交点，且4个交点横坐标之和为4,

则方程f(g(x))+g(x)-W=O有4个根，且4根和为4,符合题意

综上，实数〃?的取值范围是，”<1

故答案为：1：m<1

三、解答题：(本大题5个题，共75分)

16.在ABC中，内角AB,C所对的边分别为α,。，c,己知4$山2上0+441^抽3=2+夜

2

(1)求角C的大小；

⑵已知b=4,ABC的面积为6,求：

①边长C的值；

②CoS(28-C)的值.

【答案】(1)；(2)①加；②且

410

【详解】(1)由题意可得：

A-BI-COs(A-B)

4sin9--------+4sinΛsinβ=4×------------------+4sinΛsinβ=2-2cosAcosB-2sinAsinB+4sinΛsinβ

22

=2-2(cosAcosB-sinAsinB)=2-2cos(A+B)=2÷2cosC=2+V2,

可得COSC=正，

2

∖∙C∈(0,π),

C=-

4

(2)①:，ABC的面积S=JabSinC=IXαx4x-^∙=6,

222

•∙U=35/2，

由余弦定理：c∙2=∕+∕-2α力CoSC=I8+16-2x3√∑χ4x立=10,则c=√I5;

2

a2+c2-b218+10-16√5HUA∕π)

②YCoSB=-------7=-J==—>n0,B∣Jθ∈0,-,

2ac2×3√2×√105I2；

则SinB=JI-CoS2B=

5

∙*∙sin28=2sinBcosB=2×^-×^^∙=-,cos2B=2cos2B-∖=2×--∖=~—

55555

√24√2√2

故cos(28-C)=cos28CoSC+si∏2BsinC=—X-----F-X----=-----

525210

17.如图,在四棱锥P-ABCO中，%，平面ABC。，AB//CD1^CD=2fAB=I,βC=2√2,

Λ4=2,ABlBC,N为P。的中点.

⑴求证：AN//平面尸BC；

(2)求平面B4。与平面Pa)夹角的余弦值；

(3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为华，求点M到平面PCO的

距离.

ʌ/ɜ\/6

【答案】(I)证明见解析(2)9(3)3

【详解】(1)记Co的中点为E,连结AE,

因为A3〃CD,CE=^-CD=↑=AB,所以四边形ABeE是平行四边形，则AE=I,

2

因为AS/8C,所以平行四边形ABCE是矩形，则AEJ"Λfi,

因为B4J■平面A8Cf>,AE,ABu平面ABC£),所以PA_L4E,PA_LAB,则PAAE,48两两

垂直，

故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP为x，Xz轴建立空间直角坐标系，如图,

则A(0,0,0),β(O,l,O),f(2√2,θ,θ),θ(2√2,-l,θ),C(2夜,1,0),P(0,0,2),

因为N为P。的中点，所以N

设平面PBC的一个法向量为加=(x,y,z),而8P=(O,-1,2),BC=(2√2,0,0),

Jm`BP=-V+2z=O

''LBC=2√2X=0'令Z=I则，〃=(0,2,1),

UUlnIT1UUUlU

所以AJV•机=-5x2+l=O,则ANJ.,〃，

又AN<z平面尸BC,所以AN//平面PBC.

(2)设平面PAz)的一个法向量为"=(α,4c),≡AP=(0,0,2),AD=(2√2,-l,0),

APn=2C=O

所以令a=l,则7=(1,20,0)，

AD∙n=2∖∣2a-b=O

设平面PCZ)的一个法向量为"=(r,s,f),而CO=(0,-2,0),PC=Qyfi,1,-2),

CD∙u=-2S=O

所以令r=l,贝!]"=(l,0,夜),

PCU=2Λ∕2Γ+s-2f=O

记平面PAZ)与平面PcD夹角为α,则O＜a＜；,

∣ι+o+o∣V3

所以COSa=COS=

--

川.√l+8×√i+29

所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为且.

9

(3)依题意，不妨设AM=Mo≤%≤2),则/=(0,(U),CΛ∕=(-2√2-1J),

又山(2)得平面PAr)的•个法向量为：=(1,2夜,0),记直线CM与平面上4£＞所成角为夕,

I/?-CMI∣-2√2-2√2∣4√5

所以sin/?=kos(〃,⅛~⅛=',-------LT=笠，解得上=1(负值舍去)，

n∙CM√1+8∙√8+1+⅛215

所以M(0,0,1),则MP=(0,0,1),

而由(2)得平面PCz)的一个法向量为"=(l,0,亚),

∖MP-U∖√2而

i

所以点M到平面PCO的距离为、r∙=ɪɪ=ɪ-

u√l+23

18.已知等比数列｛q｝的前"项和为5“，也｝是等差数列，52=0,R-%=l,h3+a2=5,

2⅛5=⅛+3%.

⑴求｛4,,｝和也｝的通项公式；

(2)设圾｝的前“项和为乙，生=(2"：1)4,〃eN*.求证：∑ς<l.

【答案】⑴4,=(T严；bn=2n

(2)证明见解析

【详解】(1)4-q=1①，⅛i+%=5②，2⅛5=⅛t+3&③,，

②一①可得4-仇+q+/=4,

因为S?=q+%=。，所以4-仿=4,

设也｝的公差为d,5UJ2d=4,即d=2,

代入③可得2(b,+4d)=4+3d+33+d),解得4=2,所以〃=2+2(〃-1)=2〃；

由①②可得4=1,a2=-l,等比数列｛”“｝的公比为-1,所以4=(-l)"T.

力"(2+2〃)(2π+l)an(2π+1)(-1)"'

⑵T,=—ɔ—="(〃+1)，c—~^z-=-ɪr^-

2Tn〃(〃+1)

W、，…，2M+12n+3111111

ɪn为7∏∙0'Jj^,c+cI=-------------------------=—I------------------------=-----------,

n(n+∖)(Π+1)(∕7+2)nπ+1n+↑n+2nn+2

昌111111

/Ci=C.÷C7÷...÷=1----1-------F...4------------------=1----------.

⅛rf,122”3352w-l2〃+12n+∖

]2"

由〃eN*,有1-^~-<1,即Eq<1.

2"+lM

22

19.已知椭圆C:「+与=I(a”>0)的离心率为;，椭圆的右焦点F与抛物线V=4x的

焦点重合.椭圆C的左顶点为A,直线AP与椭圆C的另一个交点为P,点尸关于原点的对称

点为点Q,直线P4,QA与y轴分别交于M,N两点.

(1)求椭圆C的方程.

⑵是否存在定点7,使得NMTW=若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴兰+片=1

43

⑵存在，r⅛(√3,o)∏!c(-√3,o)

【详解】(1)抛物线V=4x的焦点为尸(1,0),

c=l。=2

由题意可得：∙4=从+C?解得"=G,

c_1C=I

.a-2

22

故椭圆方程为TpL

JT

(2)存在定点7,使得NMTN=万，理由如下:

由⑴可得：A(-2,0),

设「优,%)(%≠°)，则Q(F)，-%),

故直线PA的斜率k∖=ɪ≠θ,直线%的斜率*2=-ɪ=ɪ

X0+2-Λ0+2Λ0-2

则城2=焉'已=法’

人OIJ人0J√vθ•

；点。(%,九)在椭圆上，则4→[∙=ι,即£=1(4-引，

:∙kk一*力一.3,即一奈，

k'-XJ-44%

直线抬的方程为y=K(χ+2),

令X=O,则y=2吊，即M(0,24),

同理可得：N(0,2哈,

UUUIlLUl

设T[m,n),则MT=(S2勺)，NT=(犯〃一2&),

故

UUlTUUD3

MTNT=病+(n-2⅛)(n-2⅛)=∕n2+n2—2〃(4+&)+4k∖h——2九k`----+机2÷77~—3,

12\秋)

TTUUUUUtl/、/\

若NMTTV=5,则MT∙NT=O对任意4C(Y),。)U(O,+∞)恒成立,

-2n=0m=±5/3

可得疗+/-3=0'解得'

n=0

故存在定点T为(6,0)或卜GO),使得NMTN=与

20.设加为实数，函数/(x)=InX-，nx.

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)当加=e时，直线y=αr+6是曲线y=∕(x)的切线，求α+2Z＞的最小值；

⑶若方程/(x)=(2-，〃)x+〃(〃eR)有两个实数根VX?),证明：2X∣+X2＞∣∙.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(1)当m≤0时，函数/S)的单调递增区间为Q+8)；当用＞0时，函数f(x)的单调

递增区间为(0」)，单调递减区间为(',+O;

mm

⑵-e-21n2;

(3)详见解析.

【详解】(1)因为/(x)=lnx-e,

所以/'(x)=!-m=笠土ɪ,(x>0),

当加≤O时，/*)>0在(0,*«)上恒成立，函数/(χ)在(O,∙κ≈)上单调递增；

当m>0时,由f'(x)>O,解得0<x<L函数/(χ)在(0—)上单调递增，

mm

由尸(x)<0,解得x>L,函数/(X)在(工,+8)上单调递减；

m