2023届高考数学三轮复习卷：利用导数研究函数的最值（含解析）

2023届高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的最值

一、选择题(共20小题；)

1.函数f(x)=3%-4∕(χe[o,ι])的最大值是()

A.1B.-C.0D.-1

2

2.若方程炉-3%+血=0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()

A.[-2,2]B.[0,2]

C.[-2l0]D.(—∞,—2)U(2,+8)

3.函数/(x)=e%-X(e为自然对数的底数)在区间[一1,1]上的最大值是()

1

A.l+iB.1C.e+1D.e-1

e

4.函数/O)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是()

1

A.1B;C.0D.-1

2

5.函数f(x)=/一3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意X1，x2,都有If(XI)-fG⅛)∣≤3则实

数t的最小值是()

A.20B.18C.3D.0

6.已知函数/(%)=(2x-x2)ex,则()

A√(√2)是/(x)的极大值也是最大值

B.∕(√2)是f(x)的极大值但不是最大值

C.∕(-√2)是/(x)的极小值也是最小值

D./(x)没有最大值也没有最小值

7.设直线X=t与函数f(x)=/,g(X)=Inx的图象分别交于点M1N,则当IMN|达到最小时t的

值为()

A1BC至D.—

∙∙Ξ22

8.函数f(x)=3x-4炉，(x∈[0,1])的最大值是()

A.iB.-1C.0D.1

2

x

9.函数/(x)=∣e(sinx+cosx)在区间p闫上的值域为()

A,[ɪ,ɪeŋB.(i,iei)C.[l,eɪ]D.(l,

10.已知f(x)=3sinx-πx,对任意的Xe(O弓)，给出以下四个结论：

Φf(x)>0:

②f'(x)<O:

③f(x)>O;

④f(x)<O∙

其中正确的是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

11.函数y=T的最大值为()

A.e^1B.eC.e2D.-

3

12.若函数∕∙(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为()

A.-10B.-71C.-15D.-22

13.把长为12Cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的

最小值是()

A3怖2

A.——Cm4B.4cm2C.3√2cm2D.2√3cm2

2

14.函数/(%)=3x-4/(X∈[0,l])的最大值是()

A.1B.-C.OD.-1

2

15.函数/(%)=Xlnx的最小值是()

A.eB."eC.e-1D.-e^1

16.已知函数/(x)=/+τn与函数g(x)=-ln∣-3x(X∈[∣,2∣)的图象上至少存在一对关于x轴

对称的点，则实数M的取值范围是()

A.∣∣+ln2,2]B.[2-ln2,∣+lnz]

C.S+ln2,2-ln2]D.[2-ln2,2]

M

17.已知函数/^(x)=/一7n%2+27UC+1,r(χ)是函数/(χ)的导数，且函数∕(X)的图象关于直线

X=I对称，若f(x)≥l在[l,n]上恒成立，则实数Ti的取值范围为()

A.(-∞,∣]B.(~∞--0C.[∣,+∞)D.[π,+∞)

18.若函数/(X)=∣x3+x2-∣在区间(ɑ,a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

19./(x)=X3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()

A.-2B.0C.2D.4

20.若对任意的正实数％,不等式e'≥ax+/Ex恒成立，则正整数a的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(共5小题；)

21.y=%-e”在R上的最大值是.

22.如果对于函数/(%)定义域内任意的3都有/(%)≥M(M为常数)，称M为/(X)的下界，下

界M中的最大值叫做f(x)的下确界.定义在[l,e]上的函数/(x)=2x-1+Inx的下确界

M=.

23.若函数fM=/一3ax—a在((U)内有最小值，则实数Q的取值范围为.

24.设直线％=£与函数/(%)=/,g(%)=Inx的图象分别交于点M,N,则当IMNl达到最小时

t的值为.

25.己知函数/"(x)=e*+minx(τn∈R,e为自然对数的底数)，若对任意正数与，X2<当Xι>

x2时都有/(x1)-/(x2)>x2-%1成立，则实数m的取值范围是.

三、解答题(共5小题；)

26.已知函数/(x)=(x+α)eL其中e是自然对数的底数，α∈R.

(1)求函数<x)的单调区间;

(2)当X∈［0,4］时，求函数f(x)的最小值.

27.己知函数f(x)=lnx+?，其中α为常数，且α>0.

(1)若曲线y=/(x)在点(Lf(I))处的切线与直线y=∣x+l垂直，求a的值；

(2)若函数f(x)在区间［1,2］上的最小值为点求α的值.

28.证明：ex-Inx>2.

29.已知函数/(%)=Inx+

(1)当QVo时，求函数/0)的单调区间；

(2)若函数f(x)在［l,e］上的最小值是|,求α的值.

30.已知函数/(%)=/+α%+b,g(χ)=2x+a(a,ð∈R),且函数/(%)与g(%)的图象至多有一

个公共点.

(1)证明：当工≥0时，f(x)≤(x÷b)2；

(2)若不等式f(ɑ)-f(b)≥L(ɑ2一b2)对题设条件中的q,匕总成立，求L的最小值.

答案

1.A【解析】f'(x)=3-12/,令/(X)=3-12/>o,解得-g<χ<g,

f(x)在［θ曰上单增，在去1］单减，/(χ)max=∕Q)=l.

2.A【解析】令f(x)=/-3x+m,则f'(X)=3χ2-3=3(久+l)(x-1).因为当x6(0,1)时，

r(x)<O,当Xe(1,2)时，/'(%)>0,所以f(x)在［0,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增,且图象

是连续的.又因为f(0)=τn<∕(2)=2+m，所以方程/一3x+m=O在［0,2］上有解，只需

/(1)≤0且f(2)≥0,得一2≤m≤2.

3.D

4.A

5.A

【解析】因为r(x)=3/-3=3(x+1)(X-1),令f'(x)=0,得x=±l,且f(一3)=

-19J(-1)=IJ(I)=-3,/(2)=1,所以在区间［-3,2］±/(x)max=l,∕(x)min=-19,由题意知，

在［-3,2］上，IfGOmax-F(X)min∣≤3所以t≥20,则实数t的最小值为20.

6.A【解析】由题意得r(x)=(2-2x)eX+(2x-χ2)e∙ιc=(2—χ2)e*,当-√∑<x<√∑时，

/'(X)>0,函数f(x)单调递增；当X<一企或无>或时，/,(X)<0,函数/(x)单调递减，所以

f(x)在X=√Σ处取得极大值，在X=-√Σ处取得极小值，又/(√Σ)=2(√Σ-l)e√1>0,/(-√2)=

2(—√2—l)e-λ^<0,当XT+8时，f(x)→—8,当XT-8时，/(χ)→0,所以f(x)无最小值，

有最大值，且f(或)是f(x)的极大值，也是最大值.

7.D【解析】由题可得IMNl=X2—［nx(x>0),不妨令∕ι(x)="—］11χ,则“(X)=2x—令

∕ι'(x)=0解得%=γ.

因为当Xe(O,当)时，"(x)<0,当x∈(^,+∞)时，”(x)>0,

所以当X=当时，IMNl达到最小，即t=净.

8.D【解析】函数f(x)=3x-4x3的导数为∕,(x)=3-12x2=3(1-4x2),

由f'(x)=O,可得X=：(—之舍去)，

f(x)在［θ,J递增，81)递减，

可得f(x)在X=T处取得极大值，且为最大值L

9.A【解析】∕,(x)=∣ex(sin%+cosx)+^ex(cos%—sinx)=excos%,

当0≤%≤1时，f(x)≥0,

所以f(x)是［θ用上的增函数.

所以f(x)的最大值在％=1处取得，∕g)=∣ei,

f(x)的最小值在x=0处取得，/(0)=i.

所以函数值域为品闻

10.D

【解析】由己知∕,(x)=(3sinx—πx)'=3cosx—π,

因为％∈j)'

所以cos%∈(0,1),

所以rθ)V0,

所以f(x)在XW(O,以，是减函数，

所以f(x)<f(0)=0；故②④正确.

11.A【解析】令,=Onx叱mχ.χ∙=手=o,x=e,

X2X2

当x>e时，y'<0；

当X<e时，V>0，y极大值=/(e)=；，

在定义域内只有一个极值，

所以Smax=；•

12.B【解析】f'(x)=3x2-6%-9=3(X-3)(x+1).

由/(%)=0，得％=3或%=—1.又/"(—4)=k—76,

/(3)=fc-27,

/(-l)=k+5,/(4)=fc-20.

由/(x)max=+5=10,得A=5，

所以/COmin=k-76=-71.

13.D【解析】设一个三角形的边长为％cm,则另一个三角形的边长为(4-％)cm,两个三角形的面

积之和为

S-—X2÷—(4-%)2=-X2—2√3x+4√3.

44z2

令S'=V3x-2√3=0,贝IJX=2,

所以Smin=2√3cm2.

14.A【解析】∕,(X)=3-12X2,

令f'M=0，则％(舍去)或％=$

/(θ)=o,/(D=-1,

染)=1'j

所以/(x)在［0,1］上的最大值为1.

15.D

【解析】/(%)的定义域为(0,+8),f(χ)的导数/'(%)=1+Inx.

令r(%)>0,解得令r(X)VO,解得OVxVa

从而/(%)在(Oq)上单调递减，在@,+8)上单调递增.

所以，当％=，时，f(%)取得最小值一不

16.D【解析】由题意知方程/(%)+g(%)=/+血—］n：—3%=0在住,2］上有解，等价于m=

-X2+3%—Inx.

令h(x)=-x2+3x—Inx,则h'(x)=-侬，).

令∕ΓQ)=O,得％=；或1,则由九(1)=2,h(2)=2-ln2,比较大小知九(%)πiax=2,

九(X)min=2-In2.

所以实数m的取值范围是［2-ln2,2］.

17.C【解析】依题意可得f'(X)=3/-2mx+2n,

因为7'O)的图象关于直线％=|对称，

所以一二2=2,解得=2,

63rn

故/(%)=X3—2x2+2nx+1,

因为f(x)≥1在［‰π］上恒成立，

所以n≥-//-2%)在［ifτι］上恒成立，

因为函数g(x)=-i(x2-2x)在［l,π］上单调递减，

所以函数g(x)在［l,π］上的最大值为:，

所以n≥点

故实数n的取值范围为原+8).

18.C【解析】由题意，得/'(%)=/+2%=%(%+2),

故f(%)在(-8,-2),(0,+8)上是增函数，在(一2,0)上是减函数，

作出其图象如图所示，

令2X?+%2—2=一三得，%=。或%=—3,

333

则结合图象可知，dlɑn°,

LQ+5>0,

解得a∈［-3,0).

19.C

20.B

【解析】当x=l时，有Q≤e,所以正整数Q的可能取值为1,2.

当α=2时，不等式为ex-2x≥x2lnx,即三一？一Inx≥0对任意的x>0恒成立.

记gM=W-inχ,则g'M=铝艺+⅛-j="-21jr)(%>0),

显然e%>x,所以当％∈(0,2)时，g<%)V0,函数g(%)单调递减；

当％∈(2,+8)时，g,(χ)>0,函数g(%)单调递增.

所以g(%)≥g(2)=](e2-4—41n2)>0,所以当α=2时;对任意的正实数》,不等式e"≥Q%+

%2Inx恒成立，

所以正整数Q的最大值为2.

21.-1

22.1

【解析】根据下确界的定义，满足函数的最小值大于M,函数/(%)=2》一1+111%在定义[1,6|上单

调递增，∙∙∙x=l时，函数有最小值/(1)=1,即函数的下确界为1.

23.(0,1)

【解析】∕,(x)=3x2-3α,

由于/(%)在(0,1)内有最小值，故a>0且r(x)=0的解为％ι=√H,X2=-∖[a,同时返6(0,1),

所以OVQV1.

24.史

2

【解析】当X=t时，/(t)=t2,g(t)=Int,

所以y=IMNI=t2-lnt(t>0).

所以y'=2t—?=个=⅛⅛fl

当0<t<当时，y'<0；

当t>当时，y'>0.

所以y=IMNI=/一mt在t=当时有最小值.

25.[0,+∞)

【解析】依题意得，对于任意的整数与，x2,当∕>X2时，都有/(Xi)-%>/(孙)一冷，

因此函数g(%)=/(%)-%在区间(0,+8)上是增函数，

于是当％>0时，g'M—f'M—1=e"+?—1≥0,即%(ex—1)≥—m恒成立∙

记∕ι(%)=%(e*-1),X>0,则有

h,(x)=(x+l)ex—1

>(0+l)e0-1

=0(x>0),

h(%)在区间(0,+∞)上是增函数,h(x)的值域是(0,÷∞),

因此-m≤0,m≥0.

故所求实数m的取值范围是[0,+∞).

26.(1)因为/(%)=(%+ɑ)e”,x∈R,

所以∕,(x)=(%+Q+l)ex.

令f'M=0，得％=—CL—1.

当X变化时，/(X)和rα)的变化情况如下：

X(―∞,—a—1)—a—1(—a—1,+∞)

∕,(χ)-O+

fM、/

故f(x)的单调减区间为(一啊一。一1)；单调增区间为(一a-1,+8).

(2)由(1),得f(x)的单调减区间为(-8,—a-l)；单调增区间为(一a—1,+8).

所以当-a-l≤O,即a≥-l时，f(x)在［0,4］上单调递增，故/(x)在［0,4］上的最小值为

/Wmin=F(O)=a；

当O<—a—1<4,即—5<a<—1时，f(∙x)在(O,-∙a—1)上单调递减，f(x)在(―a—1,4)上单调

a1

递增,故/(x)在［0,4］上的最小值为/(x)min=/(-a-D=-e-^;

当一a-1≥4,即a≤-5时，f{x}在［0,4］上单调递减，故f(x)在［0,4］上的最小值为f(x)πiin=

/(4)=(a+4)e4.

a,a≥-1,

-e-ɑ-ɪ,-5<a<-1,

{(a+4)e",a≤—5.

27.(1)∕∙'(x)=-+-χ~^-χ)1_ɪ(>o),

jXXi=XX2=Xix

因为曲线y=/(x)在点(Ij(I))处的切线与直线y=∣x+l垂直，

所以∕,(1)=—2,即1—Q=—2,解得a=3.

(2)(i)当OVa≤1时,∕,(x)>O在(1,2)上恒成立，这时f(x)在［1,2］上为增函数，

λ/(ɪ)min=/(ɪ)=ɑ-1≤0,不合题意，舍去•

(ii)当IVQ<2时，由∕,(x)=O得，X=aE(1,2),

,

X∈(l,a)时有∕(x)<O,/(x)在［lfa］上为减函数；

X∈(Q,2)时有/,(%)>O,/(x)在［af2］上为增函数.

・•・/(ɪ)min=f3)=Ina.

令Ina=%得a=粕6(1,2),满足题意.

(iii)当Q≥2时，∕l(x)<O在(1,2)上恒成立，这时/(x)在［1,2］上为减函数，

λ/(χ)min=/(2)=1∏2÷-1≥ln2>|,不合题意，舍去•

综上所述，a=√e.

28.设/(x)=ex—lnx(x>0),则∕,(x)=ex—ɪ,

令h(x)=/'(%),则h,(x)=ex+ɪ>0,

所以r(%)在(0,+8)上是增函数，

又rG)=后一2VO,r(l)=e-l>O,

所以在6，1)上存在％0使/'(%0)=0,即X0=-ln⅞»

所以在(O,xo)±∕(x)单调递减,在(x0,+∞)±∕(x)单调递增,

所以/(%)在％=而处有极小值，也是最小值，

所以/(%o)=θ⅞-InXo=ɪ+X0>2,

故/(x)>2,即e"—Inx>2.

29.(1)易得函数/(%)=Inx+亍的定义域为(0,+8),

")=5-委=詈

因为α<0,X∈(0,+∞)ɪ

所以rα)