第三章 正弦电流电路分析

第三章

正弦电流电路分析

§3-2

正弦量§3-3正弦量的相量表示§3-1

复数§3-4

电路定律的相量形式§3－5RLC的串联电路和复阻抗§3－6RLC的并联电路和复导纳§3－7正弦电流电路的功率§3－8正弦电流电路的计算§3－9电路中谐振§3-1

复数一.复数F表示形式：F=a+jb1、代数形式：Re[F]=a取复数F的实部和虚部用符号表示为：取复数F的实部Im[F]=b取复数F的虚部

2、三角形式：F=a+jb=|F|（cos

q+jsin

q

）|F|为复数的模，

为复数的幅角。|F|a=|F|cos

qb=|F|sinq

或：3、指数形式：欧拉公式=|F|q

指数形式F=|F|（cos

q+jsin

q

）4、极坐标形式：二复数运算则F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——代数形式F1F2+1+jOF1=a1+jb1F2=a2+jb2若+1+jOF1F2-F2F=F1-

F2F=F1+F1(2)乘除运算——指数形式或极坐标形式F1F2所以：乘法：模相乘，角相加；若F1=|F1|

1，若F2=|F2|

2F1

F2=|F1||F2|q1+q2则所以：除法：模相除，角相减。(3)旋转因子：A•ejq任意复数相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。+1+jOejq

aA

Aejq复数ejq

=cosq+jsinq=1q复数ejq

=1q是一个模为1，辐角为q的复数。一.正弦量的三要素在选定的参考方向下，可以用数学式表达瞬时值电流i(t)：i(t)=Imcos(w

t+

i

)i+_uwT=2

w=2

/T=2

f

§3-2

正弦量Im,w,yi

这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这3个量为正弦量的三要素。二.相位差：u(t)=Umcos(w

t+yu)两个同频率正弦量相位角之差。i(t)=Imcos(w

t+yi)设j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。则相位差:j不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是随时间变动。三.周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小，工程上采用有效值。电流有效值I定义为：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。有效值也称均方根值(简记为rms。)1.有效值定义同样，可定义电压有效值U：2.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+yi

)最大值与有效值之间有固定的。1.正弦量的相量表示复函数没有物理意义对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：

若对A(t)取实部：是一个正弦量，有物理意义。复常数称为正弦量i(t)对应的相量。§3-3正弦量的相量表示称为正弦量i(t)对应的相量。

i

相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：

不同频率的相量不能画在一张向量图上。q将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域：时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。一.电阻时域形式：相应的相量形式：相量模型§3-4电路定律的相量形式若：有：有效值关系相位关系

(uR

,iR同相)

u

i=

或：二.电感时域形式：若：相应的相量形式：有效值关系相位关系

或：

(uL

超前

iL90°)

i相量模型BL=-1/L，感纳，单位为S(同电导)XL=L，称为感抗，单位为(欧姆)时域形式：相量形式：相量模型若：

或：三、电容

u

或：

(iC

超前

uL90°)有效值关系：相位关系：BC=wC，称为容纳，单位为S频率和容抗成反比,w

0，|XC|

直流开路(隔直)w|XC|令XC=-1/wC，称为容抗，单位为W(欧姆)w

，|XC|0高频短路(旁路作用)四、线性受控源VCCS（电压控制的电流源）相量形式：相量模型五、基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一结点的所有电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路电压用用相量表示时仍满足KVL。单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系§3－5

RLC的串联电路和复阻抗若则电流、电压的关系uRLCi总电压与总电流的关系式相量方程式:(根据KVL)则相量模型RLC设（参考相量）R-L-C串联电路——相量图先画出参考相量相量表达式：RLC电压三角形Z：复阻抗实部为阻虚部为抗容抗感抗令则R-L-C串联电路中的欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式RLC在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,元件参数用复阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。

Z说明：

RLC关于复阻抗Z

的讨论由欧姆定律的相量形式可得：结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ的辐角则为总电压和总电流的相位差。1.Z和总电流、总电压的关系2.Z

和电路性质的关系

一定时电路性质由参数决定

当

时，

表示u

领先i

－－电路呈感性当时，

表示u

、i同相－－电路呈电阻性当

时，表示u

落后i

－－电路呈容性阻抗角RLC假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！

当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。

3.阻抗（Z）三角形阻抗三角形4.阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似正误判断因为交流物理量除有效值外还有相位。？RLC在R-L-C串联电路中？正误判断而复阻抗只是一个运算符号。Z不能加“•”反映的是正弦电压或电流，正误判断在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流电路中？？？？？

正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？

？

正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？？

§3－6

RLC的并联电路和复导纳RLC的并联电路和复导纳iRLCRCL相量方程式:(根据KCL)Y：复导纳实部G称为电导虚部B称为电纳令则R-L-C并联电路中的欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式RCLY是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。导纳（Y）三角形导纳三角形

一定时电路性质由参数决定

当

时，

表示u

领先i

－－电路呈电感性当时，

表示u

、i同相－－电路呈电导性当

时，表示u

落后i

－－电路呈电容性复阻抗和复导纳的等效互换ab＋-Pab＋-RRjXab＋-RG-jB复阻抗概念：复导纳概念：设:则:电导G电纳B导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子(s

)。导纳图中,I1=10A,I2

=10A,U=200V,R=5

,XL=R2

;试求I,XC,XL,R2R2R-jXCjXLAB例3-13I=10A,XC=15

,R2=7.5,XL=7.5R2R-jXCjXLAB瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率1.瞬时功率§3－7

正弦电流电路的功率＋-Nui设

2.平均功率

P

（有功功率）平均功率P与总电压U、总电流

I

间的关系：

总电压总电流u与i

的夹角-----功率因数

在R、L、C串联的电路中，储能元件R、L、C

虽然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：3.无功功率Q：4.视在功率S：电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：伏安、千伏安PQ（有助记忆）S注：S＝UI

可用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）视在功率5.功率三角形无功功率有功功率_++_p

设i

领先u

，（电容性电路）R、L、C

串联电路中的功率关系iu电压三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLC复功率复功率：是的共轭复数。日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相量关系如下图。uiRLCOS

I当U、P

一定时，

希望将COS

提高功率因数的提高P=PR=UICOS

其中消耗的有功功率为：负载iu说明： 由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。功率因数和电路参数的关系RZ40W白炽灯40W日光灯发电与供电设备的容量要求较大例3-14提高功率因数的原则：

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。提高功率因数的措施:uiRL并电容C并联电容值的计算设原电路的功率因数为cos

L，要求补偿到cos

须并联多大电容？（设U、P

为已知）RLC分析依据：补偿前后P、U不变。由相量图可知：iuRLC简单正弦电流电路的计算§3－8

正弦电流电路的计算Z1Z2iZ1Z2Z1Z2iZ1Z2Y1、Y2

---导纳Y1Y21、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图一般正弦交流电路的解题步骤3、用复数符号法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：已知R1=100

,R2=200,L=0.1H,

C=5

F,Z=50+jX

求:欲使Z中流过的电流的有效值最大，

X=?Imax=?ZR1R2-jXCjXL例3-15ZR1R2-jXCjXL解：用戴维南定理求解。从A、B两点把待求支路断开，分别求A、B两点的开路电压和AB端的入端阻抗ZAB。设参考节点如图所示。AB求:AB端开路电压-jXCR1R2ABjXL可见：(1)当X=50

时电流的有效值达到最大。(2)Imax=1.1A求:AB端入端阻抗ZAB-jXC求:I和XR1R2ABjXLZABZAB+-移相电路已知:R1=R2,

证明:当R由0

变化时,

的有效值不变,

与的相位差在

0180o间变化。R1R2RC12例3-16已知：：复数运算解法1R1R2RC12当R=0时

=180°R=

时

=0º

R1R2RC12解：(1)首先在电路图中标出所用电量的正方向和参考节点。

(2)用相量图表示各相量的关系。解法2：画相量图

由相量图可见:(1)与的相位差总等于90

。如果以为直径作一个半圆,当

R由0

变化时，

与构成的直角顶点总在这个半圆上。(2)UO=0.5Ui=U

即UO的有效值恒定不变。(3)

当R=0时，UR=0V

,=180

当R=

时，UC=0V,=0因此，相位差在0180o间变化

下图中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的读数解题方法有两种：1.利用复数进行相量运算2.利用相量图求结果AAB

C25

UOC1例3-17解法1:利用复数进行相量运算已知：I1=10A、

UAB=100V，则：A读数为10安

求：A、UO的读数即：设：为参考相量，AAB

C25

UOC1UO读数为141伏

求：A、UO的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25

UOC1解法2:利用相量图求解设：45°由已知条件得：、领先90°45°落后于I=10A、UO=141V由图得：求：A、UO的读数已知：I1=10A、UAB=100V，UC1=IXC1=100VuC1落后于

i90°AAB

C25

UOC1已知：R1、R2、L、C求：各支路电流的大小例